能量法 1.试就图示杆件的受载情况,证明构件内弹性应变能的 数值与加载次序无关 证:先加F1后加F2,则 VEI=F(a+b)/(2EA)+F2a/(2EA)+ FF2a/2EA) 先加F2后加F1,则 Vs2=F2a/(2EA)+F(a+b)/(2EA)+FF2a/2EA) 所以 2.直杆的支承及受载如图,试证明当F1=2F3时 杆中应变能最小,并求出此时的应变能值。 解:FC=F-F V=(F-F1)22EA)+F2EA)=(F-2FF1+3F1/2)(EA) /F1=0:-2F+3F1=0,F1=2F/3 smin=F7/EA) 3.图示杆系的各杆EA皆相同,杆长均为a。求杆系内的总应变能,并用功能原 理求A、B两点的相对线位移AAB 解:V=5F2a/(6EA) 视CD相对固定2×FAB4=5FP2a(6EA AB=5Fa(3EA)(拉开) 4.杆AB的拉压刚度为EA,求 (a)在F1及F2二力作用下,杆的弹性应变能 (b)令F2为变量,F2为何值时,杆中的应变能 最小?此时杆的应变能是多少? Fc=F-F (a)V=(F1-F2)2/2EA)+F21/(2EA)=l(F-2FF2+3F2/2)EA) (b)ov/OF2=0,-2F1+3F2=0,F2=2F1/3 此时vmn=F1l/3E4)
111 能 量 法 1. 试就图示杆件的受载情况，证明构件内弹性应变能的 数值与加载次序无关。 证：先加 F1 后加 F2，则 2 2 1 2 1 2 V F a b EA F a EA F F a EA ( ) /(2 ) /(2 ) /(2 ) = + + + 先加 F2 后加 F1，则 2 2 2 1 1 2 V F a EA F a b EA F F a EA /(2 ) ( ) /(2 ) /(2 ) = + + + 所以 V 1 = V 2 2. 直杆的支承及受载如图，试证明当 F1=2F/3 时， 杆中应变能最小，并求出此时的应变能值。 解： F F F AC = − 1 ； F F BC = − 1 2 2 2 2 1 1 1 1 V F F l EA F l EA F FF F l EA ( ) 2 /(2 ) /(2 ) ( 2 3 / 2) /( ) = − + = − + 1 = V F / 0： − + = 2 3 0 F F1 ， F F 1 = 2 /3 2 min V F l EA /(3 ) = 3. 图示杆系的各杆 EA 皆相同，杆长均为 a。求杆系内的总应变能，并用功能原 理求 A、B 两点的相对线位移 AB。 解： 2 V F a EA 5 /(6 ) = 视 CD 相对固定 2FAB /4 = 5F 2a/(6EA) AB = 5Fa/(3EA) ( 拉开 ) 4. 杆 AB 的拉压刚度为 EA，求 (a) 在 F1 及 F2 二力作用下，杆的弹性应变能； (b) 令 F2 为变量，F2 为何值时，杆中的应变能 最小？此时杆的应变能是多少？ 答： F F F N 1 2 AC = − ， F F N 2 BC = − (a) 2 2 1 2 2 V F F l EA F l EA ( ) 2 /(2 ) /(2 ) = − + 2 2 1 1 2 2 = − + l F F F F EA ( 2 3 / 2) /( ) (b) 2 = V F / 0 ，− + = 2 3 0 F F 1 2 ， F F 2 1 = 2 /3 此时 2 min 1 V F l EA /(3 ) = a b F1 F2 F 2l l EA B F1 A C F A C a D a B F a a a 2l l F1 F2 A C B
5力F可以在梁上自由移动。为了测定F力作用在C 点时梁的弯曲轴线,可以利用千分表测各截面的铅垂位 移。问:如果不移动千分表而移动F力,则千分表应放 在x=处,其根据是 答:x=l-a;位移互等定理。 6.试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数E、G、v间有如下关系: G=E/[2(1+v)] 证:(1)纯切应力状态应变能密度为 r2/(2G) (2)纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示,其上的主应力为 应变能密度为:l z2(1+v)/E z2/(2G) E/[2(1+v)] 7.图示简支梁,受均布荷载q作用,试问与广义力q相 对应的广义位移是什么?并给予证明。 解:设梁的弯曲轴线方程为w=v(x),则广义力q所作之功为 W=∫qdx·w(x)=q∫w(x)d 与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积 8图示等截面直杆,受轴向载荷F作用,已知杆件的横截面面积为A,材料的 应力应变关系为σ=Cg1,其中C为已知常数。试 计算外力所作的功。 W=2F/(3C242) 9.处于水平线上的两杆铰接如图所示,两杆拉压刚度均为 EA。试求在图示力F作用下的应变能 解:F=2 FNSin≈2FNb,E=(l/cos0-ly1≈022,FN=aA=EEA=02EA2, 6=[FEA)]3 δ=1=l[F(EA) =「Fd6=「(EA1P)d6=F4/4(式中A为C点的最终位移)
112 5. 力 F 可以在梁上自由移动。为了测定 F 力作用在 C 点时梁的弯曲轴线，可以利用千分表测各截面的铅垂位 移。问：如果不移动千分表而移动 F 力，则千分表应放 在 x = 处，其根据是。 答：x = l – a ；位移互等定理。 6. 试用能量法证明各向同性材料的三个弹性常数 E、G、 间有如下关系： G = E / [ 2 ( 1+ ) ] 证：(1) 纯切应力状态应变能密度为： u = 2 /（ 2G ） (2) 纯切应力状态也可以用主应力的单元体表示，其上的主应力为 1 = ， 2 = 0 ， 3 = - 应变能密度为： u = 2 ( 1+ ) / E 2 / ( 2G ) = 2 ( 1+ ) / E 得： G = E / [ 2 ( 1+ ) ] 7. 图示简支梁，受均布荷载 q 作用，试问与广义力 q 相 对应的广义位移是什么？并给予证明。 解：设梁的弯曲轴线方程为 w = w(x) ，则广义力 q 所作之功为 W = l qdx w (x) = q l w (x) dx 与广义力相对应的广义位移为梁变形前后其轴线所围的面积。 8. 图示等截面直杆，受轴向载荷 F 作用，已知杆件的横截面面积为 A，材料的 应力应变关系为 = C 1/2 ，其中 C 为已知常数。试 计算外力所作的功。 解： 3 2 2 W F l C A = 2 /(3 ) 9. 处于水平线上的两杆铰接如图所示，两杆拉压刚度均为 EA。试求在图示力 F 作用下的应变能。 解： F = 2FNsin 2FN ， = ( l /cos - l )/l 2 /2 , FN =A=E A= 2EA/2 , = [F/(EA)]1/3 , = l = l [F/(EA)]1/3 3 3 Δ Δ V F EA l F d ( / ) d = = = / 4 ( 式中 为 C 点的最终位移 ) A x F a B C l q l F l l F C l
10.试用莫尔积分法求图示曲杆在力F作用下,截面A的水平位移Ax及铅垂位 移A。EⅠ为已知 fif: M=FRsin 0, Mi=Rsin0, M2=RO Ax=TFR3/(2E)(水平向左, Ay=2FR/(EI)(铅垂向下) 11.用莫尔法求图示桁架点A的水平位移Ax。各 杆EA均相同。 解:F1=1,F2=F3=F5=F6=0,F4 F=F=N3F A=∑FHEA)=23FaEA)(→) 12.已知梁的EⅠ为常量,试用单位载荷法求下列外伸梁A点的挠度 解:AB:M(x1)=-qx1 0≤x≤l/3) CB:M(x2)=qk26-3q(x2/2-x2/4D), M(x2)=-x22(0≤x2≤2l/3) 23 q4/(405ED) 13.试用莫尔积分法求图示结构C点的铅垂位移。已知 杆AC的弯曲刚度E和BD杆的拉压刚度EA。受弯构 件不计剪力和轴力的影响;BD杆不会失稳 解:梁:CD:M(x)=Fx M(x=x AD:M(x)=F(x+a)-2Fx= Fa-Fx, M(x)=a-x 杆:FmD=22 √2 Acy= 2Fa/(3ED)+82Fa/(EA) 14.简支梁受均布载荷q作用如下,弯曲刚度EⅠ已知。试用莫尔积分法求横截 面A、C之间的相对角位移Oca x /6 1(x2)=1 0c=7a3(12ED)
113 10. 试用莫尔积分法求图示曲杆在力 F 作用下，截面 A 的水平位移 Ax 及铅垂位 移 Ay。EI 为已知。 解： M FR = sin ， M R 1 = sin ， M R 2 = − (1 cos ) Ax 3 = FR EI /(2 ) （水平向左）， Ay 3 = 2 /( ) FR EI （铅垂向下） 11. 用莫尔法求图示桁架点 A 的水平位移 Ax。各 杆 EA 均相同。 A 解： F1 =1， F F F F 2 3 5 6 = = = = 0， F4 =1 F1 4 = = F F3 ， Ax = /( ) 2 3 /( ) F Fi i i l EA Fa EA = （→） 12. 已知梁的 EI 为常量，试用单位载荷法求下列外伸梁 A 点的挠度。 解：AB： 1 0 1 M x q lx ( ) = − ， 1 1 M x x ( ) = − （ 0 /3 1 x l ） CB： 2 2 2 0 2 0 2 2 M x q lx q x x l ( ) / 6 3 ( / 2 / 4 ) = − − ， 2 2 M x x ( ) / 2 = − （ 0 2 /3 2 x l ） 4 w q l EI A =16 /(405 ) 0 （↓） 13. 试用莫尔积分法求图示结构 C 点的铅垂位移。已知 杆 AC 的弯曲刚度 EI 和 BD 杆的拉压刚度 EA。受弯构 件不计剪力和轴力的影响；BD 杆不会失稳。 解：梁：CD： M x Fx ( ) = ， M x x ( ) = AD： M x F x a Fx Fa Fx ( ) ( ) 2 = + − = − ， M x a x ( ) = − 杆： F F BD = 2 2 ， FBD = 2 2 C y = 3 2 /(3 ) 8 2 /( ) Fa EI Fa EA + 14. 简支梁受均布载荷 q 作用如下，弯曲刚度 EI 已知。试用莫尔积分法求横截 面 A、C 之间的相对角位移 AC 。 解：AB： 2 1 1 1 M x qax qx ( ) 5 / 6 / 2 = − ， 1 M x( ) 1= BC： 2 2 M x qax ( ) / 6 = ， 2 M x( ) 1= 3 7 /(12 ) AC = qa EI R B A F F F 1 2 4 3 5 6 a a 30 A B C l/3 2l/3 F q l = 0 3q0 B C a a EI EI EA F A D 45 A C B a 2a q
15.由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片,截面的弯曲刚度为EI。该弹簧在 B端受水平力F作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。 解:取一半计算水平位移A MErsin 4/2=(/E)「M.Md (1/EI)Fr 8rdo (A=0,B=T) 可得:4=TFr3(E 弹簧刚度:k=F/4=0.32EI/r3 16.试用单位载荷法求图示桁架中杆AB的转角。各杆 的拉压刚度EA相同,且均为常数。 解:1=∑ FF 2+ (顺时针) EA EA 17.试用单位载荷法计算图示结构中铰链A左、右两截面 间的相对转角O1。设各杆的弯曲刚度EⅠ相同,且均为常 数 解:O4=FR2(x-2)/(4E)(反向转动) 18.图示一缺口圆环,Δθ为很小的角度,△θ、EⅠ和R 均已知。为使缺口处两截面恰好密合,试问在缺口处的两 截面上应加多大的力偶M。必须验证此时两截面的相对线 位移为R·4θ。(用莫尔积分法) 解: B=2MRπ/E)=A0,M=△6.E(2TR) 19.图示位于水平面内的半圆形构件,其平均半径为R,C端固定A端自由并作 用一铅垂力F。杆的EⅠ及Gl均为常数。用莫尔积分法求A端铅垂位移和水平位 移的表达式。 解:M,= FRsin,My= Rsin T=FR(1-cos),T=R(l-coso) 4x=0,4=(/2)·FR(l/E/+3/Glp)
114 15. 由两个半圆组成“S”形的等截面弹簧片，截面的弯曲刚度为 EI。该弹簧在 B 端受水平力 F 作用。试用莫尔积分法求该弹簧的刚度。 解：取一半计算水平位移 M F r ( ) sin = ， M r = sin / 2 = (1/ ) EI M M ds = 2 2 (1/ ) sin B A EI Fr r d （ A = 0 ，B = ） 可得： = 3 Fr EI /( ) ， 弹簧刚度：k = F / = 0.32EI / r 3 16. 试用单位载荷法求图示桁架中杆 AB 的转角。各杆 的拉压刚度 EA 相同，且均为常数。 解： ( ) EA F EA F F l i i i AB = = 4 2 + 2 （顺时针） 17. 试用单位载荷法计算图示结构中铰链 A 左、右两截面 间的相对转角 A 。设各杆的弯曲刚度 EI 相同，且均为常 数。 解： A = 2 FR EI ( 2)/(4 ) − （反向转动） 18. 图示一缺口圆环， 为很小的角度， 、EI 和 R 均已知。为使缺口处两截面恰好密合，试问在缺口处的两 截面上应加多大的力偶 M。必须验证此时两截面的相对线 位移为 R 。（用莫尔积分法） 解： M M ( ) = ， M ( ) 1 = 2 /( ) AB = = MR EI ， M EI R = /(2 ) 19. 图示位于水平面内的半圆形构件，其平均半径为 R，C 端固定 A 端自由并作 用一铅垂力 F。杆的 EI 及 GI p 均为常数。用莫尔积分法求 A 端铅垂位移和水平位 移的表达式。 解： M FR y = sin ， M R y = sin T FR = − (1 cos ) ，T R = − (1 cos ) x = 0 ， y = 3 ( / 2) (1/ 3/ ) FR EI GI + A B r C r F A B F 1 3 2 4 45 45 5 F A R R A B A C C R A F
20.半径为R的开口圆环受力如图所示,A点F力垂直纸面向外,B点F力垂直 纸面向里。E及G均为常数。试用莫尔积分法求开口处 A及B两点的相对铅垂位移。 解:M= FRsin,M= Rsin go QB T=FR(-cos), T=R(1-cos) MAB =TFR/(ED+3FR/GIp) 21.由拉杆AB、AC和小曲率杆BDC组成的结构及其受 力情况如图。已知各杆的截面积均为A,弯曲刚度均为 EⅠ。试用莫尔积分法求B、C两点之间的相对位移 解:FAB=FAC=F M=(3/2)FRsin+ FR(1-coS )/2, M=Rsin o ABC=(2+√3m)FR3(4E)=1.86FR3(ED)(两点靠近) 22.薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度b、厚度h(见图),弹性模量E。 试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。 解:(1)相对线位移: ,=12+x)FR FR Er=64+ 3(张开) (2)相对角位移 2FR224FR(张 开) EⅠEbh3 23.图示刚架各杆的EⅠ和Gl分别相同,并均 BI 为已知。试用莫尔积分法求由于力F的作用使 缺口两侧上下错开的距离。 解:64=F(a+4b)(6E)+Faba/2+b)/G 24.承受径向均布载荷半径为R的开口 薄壁圆环如图。已知该环的b、h、弹性 模量E。求缺口两侧面的张开位移 解:M=-qR2(1-cosq) M=-R(I-cos o) AMA1=36TgR/(Ebh)
115 20. 半径为 R 的开口圆环受力如图所示，A 点 F 力垂直纸面向外，B 点 F 力垂直 纸面向里。EI 及 GIp 均为常数。试用莫尔积分法求开口处 A 及 B 两点的相对铅垂位移。 解： M FR = sin， M R = sin ； T FR = − (1 cos ) ，T R = − (1 cos ) AB = 3 3 FR EI FR GI /( ) 3 /( ) + 21. 由拉杆 AB、AC 和小曲率杆 BDC 组成的结构及其受 力情况如图。已知各杆的截面积均为 A，弯曲刚度均为 EI。试用莫尔积分法求 B、C 两点之间的相对位移。 解： F F F AB AC = = M FR FR = + − ( 3 / 2) sin (1 cos ) / 2 ，M R = sin BC = 3 3 (2 3 ) /(4 ) 1.86 /( ) + = FR EI FR EI （两点靠近） 22. 薄壁圆环的受力如图所示。已知该环的宽度 b、厚度 h（见图），弹性模量 E。 试用莫尔积分法求缺口两侧面的相对线位移和相对角位移。 解：(1) 相对线位移： 3 3 3 6(4 ) 2 2 1 Ebh FR EI FR ΔAA = + = + （张开） (2) 相对角位移： 3 2 2 2 24 1 Ebh FR EI FR ΔAA = = （张开） 23. 图示刚架各杆的 EI 和 GI p 分别相同，并均 为已知。试用莫尔积分法求由于力 F 的作用使 缺口两侧上下错开的距离。 解： 1 p 3 3 ( 4 )/(6 ) ( / 2 )/( ) AA = + + + F a b EI Fab a b GI 24. 承受径向均布载荷半径为 R 的开口 薄壁圆环如图。已知该环的 b、h、弹性 模量 E。求缺口两侧面的张开位移。 解： 2 M qR = − − (1 cos ) ， M R = − − (1 cos ) AA1= 4 3 36 /( ) qR Ebh R F F A B F A B C D R 30 F 30 A A1 F R h F C h b F F A b a B C a/2 A1 C1 B1 y x z O q A R h h b A1