塑性极限分析 1.图示空心圆截面杆,材料为理想弹塑性。 设r2=2r,试求此圆截面杆外表面处开始屈 服时的扭矩与整个横截面屈服时的极限扭 矩之比。 解:由τm=r,=72,得屈服扭矩Ttr;(r2-r) 而极限扭矩T=2xrp 2兀r(23-r3)mT 则=124。 2.图示理想弹塑性矩形截面梁,极限弯矩与弹 凵b 性最大弯矩之比有四种答案: (A)3 (B)2; (C)15;(D)1。 谷:C 3.图示T形截面梁,在对称面内纯弯曲。材料为低碳钢, 可视作理想弹塑性。当截面内最大正应力进入材料的屈服 极限后,继续加载,其中性轴位置有四种答案: (A)永过截面形心C: (B)从截面形心向上移 (C)从截面形心向下移 (D)永过截面1-1线 谷:B 4.T形横截面梁,在对称面内弯曲,设δ<a,材料为理想弹塑性,屈服应力为 σ。试求梁的极限弯矩与刚出现塑性变形时的弯矩之比 解 a M×3a/4 屈服应力σ 可得屈服弯矩 53/24 18 极限状态,中性轴在翼腹交界处 ,则一=1.8
180 塑性极限分析 1. 图示空心圆截面杆，材料为理想弹塑性。 设 2 2 1 r = r ，试求此圆截面杆外表面处开始屈 服时的扭矩与整个横截面屈服时的极限扭 矩之比。 解：由 p 2 max s s I r = = T ，得屈服扭矩 ( ) 2 π 4 1 4 s 2 2 s r r r T = − 。 而极限扭矩 − = = 2 1 3 2π ( ) 2π d 3 1 3 s 2 p s r r r r T ，则 1.24 s p = T T 。 2. 图示理想弹塑性矩形截面梁，极限弯矩与弹 性最大弯矩之比有四种答案： (A) 3； (B) 2； (C) 1.5； (D) 1。 答：C 3. 图示 T 形截面梁，在对称面内纯弯曲。材料为低碳钢， 可视作理想弹塑性。当截面内最大正应力进入材料的屈服 极限后，继续加载，其中性轴位置有四种答案： (A)永过截面形心 C； (B)从截面形心向上移； (C)从截面形心向下移； (D)永过截面 1-1 线。 答：B 4. T 形横截面梁，在对称面内弯曲，设 a ，材料为理想弹塑性，屈服应力为 s 。试求梁的极限弯矩与刚出现塑性变形时的弯矩之比。 解： 4 a yC ， 3 24 5 I z a 。 屈服应力 5 / 24 3 / 4 3 s s a M a = ，可得屈服弯矩 s 2 s 18 5 M = a 。 极限状态，中性轴在翼腹交界处， s 2 p 2 1 M a ，则 1.8 s p = M M 。 r1 r2 O O s s F l/2 l/2 b h C 4a a 1 1 4a a s O a a
5.图示T形横截面梁,材料为理想弹塑性,屈服应力12922 σ=240MPa。试求梁的极限弯矩,及塑性弯曲截面系数 与弹性弯曲截面系数的比值 解:极限弯矩时,中性轴为,A=A Wp=S+S=48×10°m3,Mn=an=1152kNm 弹性状态,中性轴为2,W=1=272×10-m3, y HEX 0 则=1.76 6.梁的横截面如图所示,在对称面内纯弯曲。当截 面完全进入塑性状态时,试求: (1)截面中性轴z的位置 (2)塑性弯曲截面系数。 解:z轴以下面积A1 2a2(yc-a/5,z轴以上面积 a/5)a A 由A=A,得yc=5,Wn=S1+S2=0618a。 7.工字形截面简支梁如图所示,l=4m。材料为理想弹塑性,屈服应力 σ、=240MPa,安全因数n=16。试按极限弯矩确定许用载荷 100 解 FI 。由A1=A2,得yc=5m,S+S2=1.93×10°m 极限弯矩Mn=σ、(S1+S2),则由 得许用载荷[F]=290kN
181 5. 图示 T 形横截面梁，材料为理想弹塑性，屈服应力 240 MPa s = 。试求梁的极限弯矩，及塑性弯曲截面系数 与弹性弯曲截面系数的比值。 解：极限弯矩时，中性轴为 z， At = Ac 。 6 3 p t c 48 10 m − W = S + S = ， M p = sWp = 11.52 kN m 。 弹性状态，中性轴为 z， 6 3 max 27.2 10 m − = = y I W z ， 则 1.76 p = W W 。 6. 梁的横截面如图所示，在对称面内纯弯曲。当截 面完全进入塑性状态时，试求： (1)截面中性轴 z 的位置； (2)塑性弯曲截面系数 Wp 。 解：z 轴以下面积 5 ( / 5) 5 2 2 1 a y a a A C − = + ，z 轴以上面积 5 (2 / 5) 5 2 2 a a y a a A − C − = + 。 由 A1 = A2 ，得 2 a yC = ， 3 Wp = S1 + S2 = 0.618 a 。 7. 工字形截面简支梁如图所示， l = 4 m 。材料为理想弹塑性，屈服应力 240MPa s = ，安全因数 n =1.6 。试按极限弯矩确定许用载荷。 解： 4 max Fl M = 。由 A1 = A2 ，得 yC = 5mm ， 6 3 S1 + S2 =1.9310 mm ， 极限弯矩 ( ) M p = s S1 + S2 ，则由 max p M n M = ，得许用载荷 [F] = 290 kN。 50 C z z 20 20 20 20 60 a z a/5 a/5 a/5 2a 2a y C F l/2 l/2 200 50 250 25 50 100
8.矩形截面梁由两种理想弹塑性材料牢 固粘合而成,如图所示。屈服应力 3h/4 σ2=2σ4。试求极限弯矩 E2h/4 解:由=0,勺k09+1bon1=b0(-y),得Jc=8° h 4 21bh2a 则Mn=(+ 9.对于理想弹塑性的实心圆杆,其屈服扭矩与极限扭矩之比有四种答案: (B)34 (C)2:3; 答:B 10.关于塑性铰,有四种描述: (A)塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向与极限弯矩的方向一致 (B)塑性铰能够抵抗弯矩 (C)当截面上的弯矩小于极限弯矩时,塑性铰的效应也就随之消失 (D)一根梁上只能出现一个塑性铰 答:D 1l.材料为理想弹塑性的矩形截面简支梁,跨中点承受集中力,达到塑性极限载 荷后,卸载,跨中截面的残余应力分布有四种答案: A目 谷 (D) 12.静定梁的塑性极限载荷应满足下列三个条件:(1)在静力学上,满足 (2)梁各横截面的弯矩值均小于或等于」 :(3)结构 将成为具有个自由度的破坏机构 答:静力平衡条件;塑性极限弯矩;1 13.梁在平面弯曲时,若处于线弹性阶段,则横截面的中性轴必定通过 若截面达到完全塑性,且材料为理想弹塑性,则此时横 截面的中性轴必定 答:该截面的形心;平分截面面积
182 8. 矩形截面梁由两种理想弹塑性材料牢 固 粘 合 而 成 ， 如 图 所 示 。 屈 服 应 力 s2 = 2 s1 。试求极限弯矩。 解：由 FN = 0， ) 4 3 ( 4 s1 s1 s2 C C y h y b b bh + = − ，得 8 h yC = 。 则 64 21 16 1 ) 128 1 128 25 ( s1 2 s2 2 s1 2 p bh M = + bh + bh = 。 9. 对于理想弹塑性的实心圆杆，其屈服扭矩与极限扭矩之比有四种答案： (A) 1:2； (B) 3:4； (C) 2:3； (D) 4:5。 答：B 10. 关于塑性铰，有四种描述： (A)塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向与极限弯矩的方向一致； (B)塑性铰能够抵抗弯矩； (C)当截面上的弯矩小于极限弯矩时，塑性铰的效应也就随之消失； (D)一根梁上只能出现一个塑性铰。 答：D 11. 材料为理想弹塑性的矩形截面简支梁，跨中点承受集中力，达到塑性极限载 荷后，卸载，跨中截面的残余应力分布有四种答案： 答：A 12. 静定梁的塑性极限载荷应满足下列三个条件：(1)在静力学上，满足 ；(2)梁各横截面的弯矩值均小于或等于；(3)结构 将成为具有个自由度的破坏机构。 答：静力平衡条件；塑性极限弯矩；1 13. 梁在平面弯曲时，若处于线弹性阶段，则横截面的中性轴必定通过 ，若截面达到完全塑性，且材料为理想弹塑性，则此时横 截面的中性轴必定。 答：该截面的形心；平分截面面积 M h/4 l e b E 3h/4 1 E2 s (A) s /2 s/2 s/2 s/2 s/2 (B) (C) (D)
14.由理想弹塑性材料制成的实心和空心圆 轴分别如图所示,材料为理想弹塑性,屈服 R 应力为r,则实心圆轴的塑性极限扭矩为 空心圆轴的塑性极 限扭矩为 答 2πR 2(R3-r3) 15.超静定杆受力如图所示,横截面面积为A,设a<b。材 料为理想弹塑性,屈服应力为σ,,则杆初始屈服时的载荷为 杆完全屈服时的载荷为 a+b bσ,A;2a,A 16.简单桁架如图所示,两杆的横截面面积均为A, 材料为理想弹塑性,屈服应力为σ,,则桁架的极限 载荷为 答:σ。Asna 17.塑性铰与真实铰的主要区别是: 答:(1)塑性铰是由于截面达到完全塑性产生的,可以抵抗弯矩,该弯矩值即为 该截面的极限弯矩;而真实铰不能抵抗弯矩;(2)当截面上的弯矩小于极限弯矩 时,塑性铰的效应也就随之消失;而真实铰的效应则不会随外载荷的变化而发生 改变 18.超静定杆系受力如图所示,各杆的横截面面积均为A, 材料为理想弹塑性,屈服应力为σ、。试求杆系的屈服载荷 F和塑性极限载荷F。 解:一次超静定结构,F=1+2cos3a F2=F3= cos a +2 ' o F。杆1先屈服,屈服载荷 F=(1+2cos3a)σ,A。杆2和3屈服时,塑性极限载荷 Fp=(+ 2 cos a)o, A
183 F3 F1 F2 F 14. 由理想弹塑性材料制成的实心和空心圆 轴分别如图所示，材料为理想弹塑性，屈服 应力为 s ，则实心圆轴的塑性极限扭矩为 ；空心圆轴的塑性极 限扭矩为。 答： s 3 3 2π R ； s 3 3 3 2π( ) R − r 15. 超静定杆受力如图所示，横截面面积为 A，设 a b 。材 料为理想弹塑性，屈服应力为 s ，则杆初始屈服时的载荷为 ；杆完全屈服时的载荷为。 答： A b a b s + ； 2 s A 16. 简单桁架如图所示，两杆的横截面面积均为 A， 材料为理想弹塑性，屈服应力为 s ，则桁架的极限 载荷为。 答： s Asin 17. 塑性铰与真实铰的主要区别是: 。 答：(1)塑性铰是由于截面达到完全塑性产生的，可以抵抗弯矩，该弯矩值即为 该截面的极限弯矩；而真实铰不能抵抗弯矩；(2)当截面上的弯矩小于极限弯矩 时，塑性铰的效应也就随之消失；而真实铰的效应则不会随外载荷的变化而发生 改变。 18. 超静定杆系受力如图所示，各杆的横截面面积均为 A， 材料为理想弹塑性，屈服应力为 s 。试求杆系的屈服载荷 Fs 和塑性极限载荷 Fp 。 解：一次超静定结构， 1 3 1+ 2cos = F F ， F F F 3 2 2 3 1 2cos cos + = = 。杆 1 先屈服，屈服载荷 F s A 3 s = (1+ 2cos ) 。杆 2 和 3 屈服时，塑性极限载荷 Fp = (1+ 2cos) s A 。 R R r F b a A B F C F
19.简支梁受力如图,圆截面直径d=20m,塑性弯曲截面系数W=d3/6, 材料为理想弹塑性,屈服应力为a,=240MPa。试求梁的塑性极限载荷F。 解:梁的极限状态为力F作用处出现塑性铰Mn=σW 又M=F×0.6×04/1则F=1.33kN。 20.超静定杆受力如图所示,横截面面积为A,设a<b,材料为理 想弹塑性,弹性模量为E,屈服应力为σ,。试作截面C的轴向位 移δ和载荷F间的关系曲线。 解:一次超静定结构,F+Fn=F,F1=2F2。 解得Fb F, F8 a+b 因a<b,则杆AC段先屈服 当杆AC段屈服时Fa+b 6A E 当杆AC段和BC段均届服时F=20,A,6=b 21.图示结构的水平杆为刚性杆,杆1、2由同一理想弹塑性材料制成,屈服应 力为σ,横截面面积均为A。试求初始屈服时的屈服载荷F和完全屈服时的塑 性极限载荷F 解:一次超静定结构 杆2先屈服,屈服载荷F=σ,A 仝a+a+ 杆1与2均屈服时,塑性极限载荷F=σ,A 22.图示超静定结构的水平杆AB为刚性杆,杆1、 2和3由同一理想弹塑性材料制成,屈服应力为 σ,横截面面积分别为A1、A2和A3,且A A=A3=A,A2=2A。试求塑性极限载荷F。 解:杆1、2和3中任意两根屈服,结构即丧失承载力 (1)杆3拉屈服,杆1压屈服,杆2未屈服时,F=30A F2=3σ,A>2σ、A,此时杆2的应力也达到屈服极限,故不可能。 (2)杆1、2拉屈服,杆3未屈服时,F=70。A,F=40,A>a,A,此时杆 3的应力也达到屈服极限,故也不可能 (3)杆2、3拉屈服,杆1未屈服时,F=250,A,F1=0.50A,此时杆3 的应力未达到屈服极限,则F=2.50,A
184 19. 简支梁受力如图，圆截面直径 d = 20 mm ，塑性弯曲截面系数 / 6 3 Wp = d ， 材料为理想弹塑性，屈服应力为 240 MPa s = 。试求梁的塑性极限载荷 Fp 。 解：梁的极限状态为力 F 作用处出现塑性铰 M p = sWp 又 M p = Fp 0.6 0.4 /1 则 Fp = 1.33 kN。 20. 超静定杆受力如图所示，横截面面积为 A，设 a b ，材料为理 想弹塑性，弹性模量为 E，屈服应力为 s 。试作截面 C 的轴向位 移 和载荷 F 间的关系曲线。 解：一次超静定结构， FA + FB = F ， A FB b a F = 。 解得 F a b b FA + = ， F a b a FB + = 因 a b ，则杆 AC 段先屈服。 当杆 AC 段屈服时 A b a b Fs s + = ， a E s s = 当杆 AC 段和 BC 段均屈服时 Fp = 2 s A， b E s p = 21. 图示结构的水平杆为刚性杆，杆 1、2 由同一理想弹塑性材料制成，屈服应 力为 s ，横截面面积均为 A。试求初始屈服时的屈服载荷 Fs 和完全屈服时的塑 性极限载荷 Fp 。 解：一次超静定结构 杆 2 先屈服，屈服载荷 Fs s A 6 5 = 杆 1 与 2 均屈服时，塑性极限载荷 Fp = s A 22. 图示超静定结构的水平杆 AB 为刚性杆，杆 1、 2 和 3 由同一理想弹塑性材料制成，屈服应力为 s ，横截面面积分别为 A1 、 A2 和 A3 ， 且 A1 = A3 = A， A2 = 2A 。试求塑性极限载荷 Fp 。 解：杆 1、2 和 3 中任意两根屈服，结构即丧失承载力。 (1)杆 3 拉屈服，杆 1 压屈服，杆 2 未屈服时， Fp = 3 s A ， F2 = 3 s A 2 s A ，此时杆 2 的应力也达到屈服极限，故不可能。 (2)杆 1、2 拉屈服，杆 3 未屈服时， Fp = 7 s A， F3 = 4 s A s A ，此时杆 3 的应力也达到屈服极限，故也不可能。 (3)杆 2、3 拉屈服，杆 1 未屈服时， Fp = 2.5 s A， F1 = 0.5 s A ，此时杆 3 的应力未达到屈服极限，则 Fp = 2.5 s A。 F b a B C A FA FB Fp F Fs s p O A B F b a B C A 1 F 2 a a a F 0.6m 0.4m A B 1 F 2 a a a 3