弯曲应力 1.圆形截面简支梁A,B套成,A,B层间不计摩擦,材料的弹性模量EB=2E 求在外力偶矩M作用下,A,B中最大正应力的比值厘有4个答案: (A) (B 答:B 2.矩形截面纯弯梁,材料的抗 拉弹性模量E大于材料的抗压 弹性模量E,则正应力在截面 上的分布图有以下4种答案 (B)(C)(D) 答:C 3.将厚度为2mm的钢板尺与一曲面密实接触,已 知测得钢尺点A处的应变为 则该曲面在点A 1000 处的曲率半径为 mm。 答:999mm 4.边长为a的正方形截面梁,按图示两 种不同形式放置,在相同弯矩作用下, 两者最大正应力之比吗 max丿b 5.一工字截面梁,截面尺寸如图,h=b,b=10r。试证明,此梁上,下翼缘承担 的弯矩约为截面上总弯矩的88%。 M 2M x y(ybdy)=1820x .=690t h/2 =1820×- 690488% 其中:积分限B=1+h4hM为翼缘弯矩
57 Me Me l 2d d A B M (A) (B) (C) (D) A 2 mm O 弯曲应力 1. 圆形截面简支梁 A , B 套成， A , B 层间不计摩擦，材料的弹性模量 2 E E B A = 。 求在外力偶矩 Me 作用下， A , B 中最大正应力的比值 max min A B 有 4 个答案： (A) 1 6 ； (B) 1 4 ； (C) 1 8 ； (D) 1 10 。 答：B 2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗 拉弹性模量 Et 大于材料的抗压 弹性模量 Ec ，则正应力在截面 上的分布图有以下 4 种答案： 答：C 3. 将厚度为 2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已 知测得钢尺点 A 处的应变为 1 1000 − ，则该曲面在点 A 处的曲率半径为 mm。 答：999 mm 4. 边长为 a 的正方形截面梁，按图示两 种不同形式放置，在相同弯矩作用下， 两者最大正应力之比 max a max b ( ) ( ) = 。 答： 1/ 2 5. 一工字截面梁，截面尺寸如图， h b b t = = , 10 。试证明，此梁上,下翼缘承担 的弯矩约为截面上总弯矩的 88%。 证： 4 1 2 , ( d ) 1 820 3 B A z z z My M Mt M y yb y I I I = = = 4 690 z I t = 4 1 4 1 1 820 88% 3 690 M t M t = 其中：积分限 1 , 2 2 h h B t A M = + = 为翼缘弯矩 (a) (b) z a a z y t h/2 t z t b h/2
6.直径d=20mm的圆截面钢梁受力如图,已知弹性模量E=200GPa a=200mm,欲将其中段AB弯成p=12m的圆弧,试求所需载荷,并计算最大 弯曲正应力。 1 M 而M=F 0.785×10-8 F 0.654kN M·dFad0654×103×0.2×20×10 167 MPa 2/ 2/ 2×0.785×10 7.钢筋横截面积为A,密度为ρ’放在刚性平面上,一端加力F,提起钢筋离 开地面长度。试问F应多大? 解:截面C曲率为零 A、FPg4(13)=0.F=6 Al 8矩形截面钢条长l,总重为F,放在刚性水平面上,在钢条A端作用向上 的拉力时,试求钢条内最大正应力。 F/3 解:在截面C处,有 即M F F AC段可视为受均布载荷q作用的简支梁 F q(lc)2/8 br2/6 3E 9.图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成,在两端用刚性平板牢固联接。 已知:钢和铝的弹性模量关系为E=3En;在纯弯曲时,应力在比例极限内 试求铝管和钢杆的最大线应变之比EE及最大正应力之比σn/、。 解: 钢杆 铝管 又 os=[E. a]: Es Es I
58 6. 直 径 d = 20 mm 的 圆 截 面 钢 梁 受力 如 图 ， 已知 弹 性 模量 E = 200 GPa , a = 200 mm ，欲将其中段 AB 弯成 = m 的圆弧，试求所需载荷，并计算最大 弯曲正应力。 解： 1 M EI = 而 M Fa = 4 8 4 0.785 10 m , 0.654 kN 64 d EI I F a − = = = = 3 3 max 8 0.654 10 0.2 20 10 167 MPa 2 2 2 0.785 10 M d Fad I I − − = = = = 7. 钢筋横截面积为 A ，密度为 ，放在刚性平面上，一端加力 F ，提起钢筋离 开地面长度 3 l 。试问 F 应多大？ 解：截面 C 曲率为零 2 ( / 3) 0, 3 2 6 C Fl gA l gAl M F = − = = 8. 矩形截面钢条长 l ，总重为 F ，放在刚性水平面上，在钢条 A 端作用 3 F 向上 的拉力时，试求钢条内最大正应力。 解：在截面 C 处， 有 1 0 MC EI = = 2 ( ) 2 0, 3 2 3 AC C AC AC F F l l M l l l 即 = − = = AC 段可视为受均布载荷 q 作用的简支梁 2 max max 2 2 ( ) /8 / 6 3 M q lAC Fl W bt bt = = = 9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。 已知：钢和铝的弹性模量关系为 S a E E = 3 ；在纯弯曲时，应力在比例极限内。 试求铝管和钢杆的最大线应变之比 a s / 及最大正应力之比 a s / 。 解： a = S , a 2 a = a ∶ S =2∶1 又 = E a ∶ S =[ Ea a ] ∶ S [E S 2 ] 3 = F F B a D a C A A C B F 2l/3 l/3 A B l b t F/3F/3 q=F/l B A C Me Me 2a a 铝管 钢杆
10.一根木梁的两部分用单排钉连接而成,已知惯性矩L=113.5×10°m F=3kN,横截面如图示,每个钉的许用剪力[F]=700N,试求钉沿梁纵向的 间距a。(C为形心) 解:缝间水平切应力 Fs·S:FS bl b 3000×[200×50×(87.5-25)+50×(875-502121×O-0.33MPa 50×10×113.5×10 令rb=[F]=700N 则 =424mm rb0.33×10°×50×10 11.图示一起重机及梁,梁由两根 No28a工字钢组成,可移动的起 重机自重P=50kN,起重机吊重 F=10kN,若[G]=160MPa, [r]=100MPa,试校核梁的强度。 (一个工字钢的惯性矩l2=7114.14×104mm =2462mm) 解:MD=(58-6x令、心=0,x=483m (M)-(全梁)=(58-6×483)×483=140kNm 正应力强度校核: 137.7MPa<[a] 切应力强度校核,当轮D行至B附近时 FSma =58 kN, Imx=13.85 MPa< [t] 12.矩形截面梁的上表面受有集度为q的 水平均布载荷作用,如图所示。试导出梁 横截面上切应力τ的公式,并画出切应力r 的方向及沿截面高度的变化规律 解:t(y)=t=(1/4+y/h-3y2/h2) b
59 10. 一根木梁的两部分用单排钉连接而成，已知惯性矩 6 4 I z 113.5 10 m − = ， F = 3 kN ，横截面如图示，每个钉的许用剪力 S [ ] 700 N F = ，试求钉沿梁纵向的 间距 a 。（ C 为形心） 解：缝间水平切应力 * * S 2 9 3 6 3 000 [200 50 (87.5 25) 50 (87.5 50) / 2] 10 0.33 MPa 50 10 113.5 10 z z z z F S FS bI bI − − − = = = − + − = = 令 S ba F = = [ ] 700 N 则 S 6 3 [ ] 700 42.4 mm 0.33 10 50 10 F a b − = = = 11. 图示一起重机及梁，梁由两根 No.28a 工字钢组成，可移动的起 重机自重 P = 50 kN ，起重机吊重 F =10 kN ， 若 [ ] = 160 MPa , [ ] =100 MPa ，试校核梁的强度。 (一个工字钢的惯性矩 4 4 10 mm , z I = max 246.2 mm ( ) z z I S = ) 解： d (58 6 ) , 0, 4.83 m d D D M M x x x x = − = = 令 max ( ) ( ) (58 6 4.83) 4.83 140 kN m MD 全梁 = − = 正应力强度校核： max = 137.7 MPa [ ] 切应力强度校核，当轮 D 行至 B 附近时 Smax max F = = 58 kN, 13.85 MPa [ ] 12. 矩形截面梁的上表面受有集度为 q 的 水平均布载荷作用，如图所示。试导出梁 横截面上切应力 的公式，并画出切应力 的方向及沿截面高度的变化规律。 解： 2 2 (1/ 4 / 3 / ) ) ) q y h y h y y b + − ( = ( = a F 200 87.5 50 200 50 C z 4m F D B 1m1m x C P A 10m h z d 2根No.28a q O l x z y h b q/b h/3
13.试证图示棱形截面的极限弯矩与屈服弯矩之比为2,即〓P=2。(材料为理 想弹塑性) 证:M2=2S0,M=W bh- W 4 2S 2 M W 14.证明:图示矩形截面悬臂梁,中性层上切应力 组成的合力为:3q,并指出这个力由什么来平衡。 4h 日下 证:在离自由端为x的横截面中性轴处的切应力为 由切应力互等定理知在该处中性层上的 h 切应力为r(r=r2) 故F=x4=3灿x=3xdx=34 这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡, FN 15.图示等厚度t,长l,变宽度矩形截面板条, 受轴向拉力F作用。设横截面上的正应力均匀日 分布。试按材料力学方法证明任意x处横截面 上切应力的分布规律表达式为:r=。 证:从板条上x附近取一微段dx如图示,从中再截一小块(见图中阴影处)。设 对轴向拉力为F。由该小块的静力平衡条件∑F=0,得dF+F-FN=0 其中F=Jod=「 F F Fy 天:-o3o=5 bdx dF=r'tdx=rtdx. 6-b=db= 解得 t(1+x/)×[b×(1+x/1)+dby 略去奶b项,得x=P b(+x)2 60
60 z h b q l b h x x x b1 b2 FN2 F * N1 * y dx dFS 13. 试证图示棱形截面的极限弯矩与屈服弯矩之比为 2，即 p s 2 M M = 。（材料为理 想弹塑性） 证： p max s s s 2 , M S M W = = z 2 2 max 2 , 12 24 z bh bh S W = = p max s 2 2 z M S M W = = 14. 证明：图示矩形截面悬臂梁，中性层上切应力 组成的合力为： 2 3 4 ql h ，并指出这个力由什么来平衡。 证：在离自由端为 x 的横截面中性轴处的切应力为 3 2 x qx bh = ，由切应力互等定理知在该处中性层上的 切应力为 ( ) x x x = 故 2 S 0 0 3 3 3 d d d 2 2 4 l l x A qx q ql F A b x x x bh h h = = = = 这个力由固定端处下半部的正应力的合力来平衡， 2 N 3 4 ql F h = 15. 图示等厚度 t，长 l，变宽度矩形截面板条， 受轴向拉力 F 作用。设横截面上的正应力均匀 分布。试按材料力学方法证明任意 x 处横截面 上切应力 的分布规律表达式为： 2 ( ) Fly tb l x = + 。 证：从板条上 x 附近取一微段 dx 如图示，从中再截一小块(见图中阴影处)。设一 对轴向拉力为 F。由该小块的静力平衡条件 0 F x = ，得 * * S N1 N2 d 0 F F F + − = 其中 1 * 2 N1 1 1 1 1 d d 2 b A y F F Fy F A t y b t b = = = − 2 * 2 N2 2 2 2 2 d d 2 b A y F F Fy F A t y b t b = = = − S 2 1 d d d d , d b x F t x t x b b b l = = − = = 解得 (1 / ) [ (1 / ) d ] Fy t x l b x l b l = + + + 略去 db 项，得 2 ( ) Fly tb l x = + F b x l 2b F
16.图示截面梁对中性轴惯性矩 17kN 12=291×10mm,y=65mm, C为形 6 14001000 (1)画梁的剪力图和弯矩图 (2)求梁的最大拉应力,最大压应 力和最大切应力 kN 解:F=96kN,F4=34kN 该梁的剪力图和弯矩图如图所示, 6 截面B下缘:(a)=-67MPa M/kN·m 2.04 截面C下缘:(σ)==456MPa zm发生在截面B右中性轴处:zm=4MPa 17.矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开, 列出图示下半部分的平衡条件并画出其受力图。 解:中性层以下部分的受力图如图所示。 其静力平衡条件为 ∑F=05- FF ∫的2 b hi-y )bdy ∑F= Fmax xbl=obdy, 3F7 F 2h/ F/2 F FI FI 12oybdy aby 18.小锥度变截面悬臂梁如图,直径db=2dn,试求最大正应力的位置及大小。 解:在距截面A为x的截面上 M=F (db -da)x d =d+ 32Fx w I(d)(1+x/D) 由 r(d)(+x/)3=0可求得x=2 d=0,即d0=32+x/-3x/D 对应的m 128F1 27x(d发生在梁中间截面的上、下边缘,上拉下压
61 16. 图示截面梁对中性轴惯性矩 4 4 I y z C = = 291 10 mm , 65 mm ， C 为形心。 (1) 画梁的剪力图和弯矩图； (2) 求梁的最大拉应力，最大压应 力和最大切应力。 解： F F B A = = 9.6 kN, 3.4 kN， 该梁的剪力图和弯矩图如图所示， 截面 B 下缘： max ( ) 67 MPa C = − 截面 C 下缘： max ( ) 45.6 MPa t = max 发生在截面 B 右中性轴处： max = 4.4 MPa 17. 矩形截面悬臂梁受力如图,设想沿中性层截开, 列出图示下半部分的平衡条件并画出其受力图。 解：中性层以下部分的受力图如图所示。 其静力平衡条件为 2 0 0 : d 2 h y F F b y = = ， 2 2 2 0 ( ) d 2 2 4 h z F F b h y b y bI = − 2 max 0 0 : d h F bl b y x = = ， 2 0 3 d 2 h z Fl Fl yb y h I = 2 0 0 0 : d 0 2 h Fl M yb y = − + = ， 2 2 0 d 2 h z Fl Fl by y I = 18. 小锥度变截面悬臂梁如图，直径 2 b a d d = ，试求最大正应力的位置及大小。 解：在距截面 A 为 x 的截面上 3 3 ( ) (1 ) 32 π ) (1 / ) x b a x a a a M Fx d d x x d d d l l M Fx W d x l = − = + = + = = ( + 由 d 0 dx = ，即 3 3 d 32 (1 / 3 / ) 0 d π ) (1 / ) a Fx x l x l x d x l + − = = ( + 可求得 2 l x = 对应的 max 3 128 27π ) a Fl d = ( 发生在梁中间截面的上、下边缘，上拉下压。 7 kN 6 kN/m A C B D 600 1 400 1 000 y C z 20 80 10 10 60 y C F S /kN M/kN m 3.4 6 3.6 2.04 3 x x F l b h h/2 max B A F/2 O db B da A F