压杆稳定 1.图示结构,AB为刚性杆,其它杆均为直径d=10mm的细长圆杆,弹性模量 E=200GPa屈服极限σ=360MPa,试求此结构的破坏载荷F值。 解:H=2.37m,sin()= F=-FD=0.169F(↓) F3=0.507F H 由杆1,4,FN1=0.507F=A,E=G、A=58kN 0.507 由杆2,3,F2=F=xE =0673kN,h=0.507=13kN 结构破坏载荷F=1.33kN 2.图示桁架由5根圆截面杆组成。已知各杆直径均为d=30mm,l=1m。各杆 的弹性模量均为E=200GPa,不=1004=61,直线经验公式系数 a=304MPa,b=1.12MPa,许用应力[σ]=160MPa,并规定稳定安全因数 [n=3,试求此结构的许可载荷[F] 解:由平衡条件可知杆1,2,3,4受压,其轴力为 FNI=FN2=FN3= FN4=FN √2 杆5受拉,其轴力为F=F 按杆5的强度条件,Fs≤[ 1, FSAo]=113kN A 按杆1,2,3,4的稳定条件=133 由欧拉公式Fx=7848kN m≥[nl F≤37.1kN [F]=371kN 3.钢杆和铜杆截面、长度均相同,都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联 如图,此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时,将会导致结构失稳?已 知杆长l=2m,横截面积A=20cm2,惯性矩l=40cm4;钢的弹性模量 152
152 压杆稳定 1. 图示结构，AB 为刚性杆，其它杆均为直径 d =10 mm 的细长圆杆，弹性模量 E = 200 GPa, 屈服极限 s = 360 MPa ，试求此结构的破坏载荷 F 值。 解： 1 2.37 m, sin( ) 2 6 H = = , 0.169 ( ) F F F Cy Dy = − = , N1 N4 N2 N3 F F F F F = = − = − = 0.507 由杆 1，4， N1 1 s F F A = = 0.507 ， s 1 55.8 kN 0.507 A F = = 由杆 2，3， 2 N2 cr 2 π 0.673 kN EI F F l = = = , cr 2 1.33 kN 0.507 F F = = 结构破坏载荷 F =1.33 kN 2. 图示桁架由 5 根圆截面杆组成。已知各杆直径均为 d l = = 30 mm, 1 m 。各杆 的 弹 性 模 量 均 为 E = 200 GPa, p 0 = = 100, 61 ， 直 线 经 验 公 式 系 数 a b = = 304 MPa, 1.12 MPa ，许用应力 [ ] 160 MPa = ，并规定稳定安全因数 st [ ] 3 n = ，试求此结构的许可载荷 [ ] F 。 解：由平衡条件可知杆 1，2，3，4 受压，其轴力为 N1 N2 N3 N4 N 2 F F F F F F = = = = = 杆 5 受拉，其轴力为 F F N5 = 按杆 5 的强度条件： N5 [ ], [ ] 113 kN F F A A = 按杆 1，2，3，4 的稳定条件 p = 133 由欧拉公式 cr F = 78.48 kN cr st N [ ] F n F F 37.1 kN [ ] 37.1 kN F = 3. 钢杆和铜杆截面、长度均相同，都是细长杆。将两杆的两端分别用铰链并联， 如图，此时两杆都不受力。试计算当温度升高多少度时，将会导致结构失稳？已 知杆长 l = 2 m ，横截面积 2 A = 20 cm ，惯性矩 4 I z = 40 cm ；钢的弹性模量 1.2m A F C F B H D 0.4m 1 3 2 4 l F 45 l 1 2 3 4 5
E=200GPa,铜的弹性模量E=100GPa,钢的线膨胀系 数a,=12.5×106℃1,铜的线膨系数a。=16.5×106℃。 解:铜杆受压,轴力为F,钢杆受拉,轴力为F,FN=FN=F 由协调条件M=M即aAM+=a2M-k EA E FN A(a 兀2EI 铜杆为细长杆=P2=987kN 当κ=巴时失稳,此时△t=185C 4.图示矩形截面杄AC与圆形截面杆CD均用低碳钢制成,C,D两处均为球铰, 材料的弹性模量E=200GPa,强度极限σ,=400MPa,屈服极限σ=240MPa, 比例极限σn=200MPa,直线公式系数a=304MPa,b=1.118MPa =100,4=61,强度安全因数团n=2.0,稳定安全因数l=30,试确定结构 的最大许可载荷F。 2 解:(1)由梁AC的强度 M-2F 3,、的 ≤[a] h802的 得F≤97.2 (2)由杆CD的稳定性 A=200>,F=15.50kN.FD-3FcD F 江≥3 F≤1550kN,[F]=15.50kN 5.图示两端固定的工字钢梁,横截面积A=26.1cm2,惯性矩L=1130cm 1n=93.1cm4,长度l=6m,材料的弹性模量E=200GPa,比例极限 p=200MPa,屈服极限a=240MPa,直线公式的系数 a=304MPa,b=12MPa,线膨胀系数a1=125×10/℃,当工字钢的温度升高 M=10℃时,试求其工作安全因数 解:=1587>=993 由欧拉公式,可得临界应力σa=782MPa 温度应力σ=aAE=25MPa 工作安全因数n==3
153 s E = 200 GPa ，铜的弹性模量 c E =100 GPa ，钢的线膨胀系 数 6 s 12.5 10− = ℃-1，铜的线膨系数 6 c 16.5 10− = ℃-1。 解：铜杆受压，轴力为 FNc ，钢杆受拉，轴力为 FNs ， F F F Nc Ns N = = 由协调条件 s c = l l 即 N N s c s c F l F l tl tl E A E A + = − N c s s c 1 1 ( ) ( ) F t A E E = + − 铜杆为细长杆 2 c cr 2 π 98.7 kN E I F l = = 当 F F Nc cr = 时失稳, 此时 =t 185 C 4. 图示矩形截面杆 AC 与圆形截面杆 CD 均用低碳钢制成，C，D 两处均为球铰， 材料的弹性模量 E = 200 GPa ，强度极限 b = 400 MPa ，屈服极限 s = 240 MPa ， 比例极限 p = 200 MPa ， 直 线 公 式 系 数 a = 304 MPa , b =1.118 MPa 。 p 0 = = 100, 61 ，强度安全因数 [ ] 2.0 n = ，稳定安全因数 st [ ] 3.0 n = ，试确定结构 的最大许可载荷 F。 解：(1) 由梁 AC 的强度 2 max max max 2 , , [ ] 3 6 97.2 kN z z F bh M M W W F = = = 得 (2) 由杆 CD 的稳定性 cr p cr N N 1 200 , 15.50 kN, , 3 3 15.50 kN, [ ] 15.50 kN CD CD F F F F F F F = = = = 5. 图示两端固定的工字钢梁，横截面积 2 A = 26.1 cm ，惯性矩 4 I z =1 130 cm ， 4 I y = 93.1 cm , 长 度 l = 6 m ， 材 料 的 弹 性 模 量 E = 200 GPa ， 比 例 极 限 p = 200 MPa ，屈服极限 s = 240 MPa ，直线公式的系数 a b = = 304 MPa, 1.12 MPa ，线膨胀系数 7 125 10 / l − = ℃，当工字钢的温度升高 =t 10 ℃时，试求其工作安全因数。 解： p = = 158.7 99.3 由欧拉公式，可得临界应力 cr = 78.2 MPa 温度应力 25 MPa l = = tE 工作安全因数 cr st n 3.13 = = 钢 铜 1m D C 20 180 100 2m F A B 1m z y l
6.图示正方形平面桁架,杆AB,BC,CD,DA均为刚性杆。杆AC,BD为弹性 圆杆,其直径d=20mm,杆长l=550mm;两杆材料也相同,比例极限 ap=200MPa,屈服极限a,=240MPa,弹性模量E=200GPa,直线公式系数 a=304MPa,b=1.12MPa,线膨胀系数ax1=12.5×10-/℃,当只有杆AC温度 升高,其他杆温度均不变时,试求极限的温度改变量△ 解:由平衡方程可得:Fc=FB=F(压) 由变形协调方程,并注意到小变形,有△。÷△BD 即aA==Ewn EA 又由2=104n=99,知Fa=P 令F=F,得 Id =130.5℃ 7.图示结构,已知三根细长杆的弹性模量E,杆长l,横截面积A及线膨胀系数 a均相同。问:当升温M为多大时,该结构将失稳 FNA 解:由a/AtEA 可得FN=a1MEA 细长杆:F 当F=E时失稳aMEA=x得M=x a,Al 8.图示结构ABC为矩形截面杆,b=60mm,h=100mm,l=4m,BD为圆截面 杆,直径d=60mm,两杆材料均为低碳钢,弹性模量E=200GPa,比例极限 p=200MPa,屈服极限a=240MPa,直线经验公式为a=(304-1.12)MPa, 均布载荷q=1kNⅧm,稳定安全因数[ηl=3。试校核杆BD的稳定性 解:(1)由协调方程,fB= 得2(2)acos45(2)3FNa√21 384EI 48E EAcoS 45 b 解得FNBD=7 (2)杆BD:=377>=100 由欧拉公式:F=39kN F [n,安全
154 6. 图示正方形平面桁架，杆 AB，BC，CD，DA 均为刚性杆。杆 AC，BD 为弹性 圆杆，其直径 d = 20 mm ，杆长 l = 550 mm ；两杆材料也相同，比例极限 p = 200 MPa , 屈服极限 s = 240 MPa ，弹性模量 E = 200 GPa ，直线公式系数 a = 304 MPa , b =1.12 MPa ，线膨胀系数 6 12.5 10 / l − = ℃，当只有杆 AC 温度 升高，其他杆温度均不变时，试求极限的温度改变量 cr t 。 解：由平衡方程可得： F F F N N N AC BD = = (压) 由变形协调方程，并注意到小变形， 有 AC BD 即 N N AC BD l F l F l tl EA EA − = 又由 p = = 110 99 , 知 2 cr 2 π EI F l = 令 F F N cr = , 得 2 2 cr 2 π 130.5 8 d t l = = ℃ 7. 图示结构，已知三根细长杆的弹性模量 E，杆长 l，横截面积 A 及线膨胀系数 均相同。问：当升温 t 为多大时，该结构将失稳。 解：由 N l F l tl EA = ， 可得 F tEA N = l 细长杆： 2 cr 2 π EI F l = 当 F F N cr = 时失稳 2 2 π l EI ltEA = 得 2 2 π Al I t l = 8. 图示结构 ABC 为矩形截面杆， b h l = = = 60 mm, 100 mm, 4 m ，BD 为圆截面 杆，直径 d = 60 mm ，两杆材料均为低碳钢，弹性模量 E = 200 GPa , 比例极限 p = 200 MPa ,屈服极限 s = 240 MPa ，直线经验公式为 cr = − (304 1.12 ) MPa ， 均布载荷 q =1 kN/m ，稳定安全因数 st [ ] 3 n = 。试校核杆 BD 的稳定性。 解：(1) 由协调方程， Δ cos 45 BD B l f = 得 4 3 N N 5 (2 ) cos 45 (2 ) 2 384 48 cos 45 q l F l F l BD BD EI EI EA − = 解得 N F BD = 7.06 kN (2) 杆 BD： p = = 377 100 由欧拉公式： cr F = 39 kN cr st st N 5.56 [ ] BD F n n F = = ，安全。 B D A C l 120 120 q A 45 B C d D l l h b
9.正方形截面杆,横截面边长a和杆长l成比例增加,它的长细比有4种答案: (A减成比例增加;(B)保持不变;(C)按(a)2变化;(①D)按(a/)2变化 答:B 10.非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力,其结果比该杆的实际临界力_ 答:大。 11.两根细长压杆,横截面面积相等,其中一个形状为正方形,另一个为圆形, 其它条件均相同,则横截面为」 的柔度大,横截面为 的临界 力大 答:圆形;正方形。 2.在水平面ABC上用同材料的三根杆支持F。A、B C、D均为铰链节点。铅直力F的作用线恰好通过等边 三角形ABC的形心G。已知DG=AB=h。三杆截面均 为圆形,直径为d,材料的弹性模量为E。适用欧拉公 式的临界柔度是90。已知h=20d,试确定最大力F。 解:BE=hsin60°= 3 BG= 2BE h √3 hx=F×2=FN3=F43 FN Sin.∠DBGs3Fh 2h/√3F,所以F_2F √3 h/3 F d/4924>90 E √3(2h/3)2 所以F=(9×3 兀3Ed4、0.03x3Ed4 13.图示结构,由圆杆AB、AC通过铰链联结而成,若二杆的长度、直径及弹 性模量均分别相等,BC间的距离保持不变,F为给定的集中力。试按稳定条件 确定用材最省的髙度h和相应的杆直径D。(设给定条件已满足大柔度压杆的要 求。) 解:杆达到临界状态时,F 此时之F值为:F=2n2 EI h hxTED/32 h2+P√分2+P√h2+P) 可求得:D=32FVG+P 兀3Eh
155 9. 正方形截面杆，横截面边长 a 和杆长 l 成比例增加，它的长细比有 4 种答案： (A)成比例增加； (B)保持不变； (C)按 2 ( / ) l a 变化； (D)按 2 ( / ) a l 变化。 答：B 10. 非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比该杆的实际临界力 。 答：大。 11. 两根细长压杆，横截面面积相等，其中一个形状为正方形，另一个为圆形， 其它条件均相同，则横截面为 的柔度大，横截面为 的临界 力大。 答：圆形；正方形。 12. 在水平面 ABC 上用同材料的三根杆支持 F 。A 、B 、 C 、D 均为铰链节点。铅直力 F 的作用线恰好通过等边 三角形 ABC 的形心 G 。已知 DG AB h = = 。三杆截面均 为圆形，直径为 d ，材料的弹性模量为 E 。适用欧拉公 式的临界柔度是 90。已知 h d = 20 ，试确定最大力 F 。 解： 2 3 2 2 2 sin 60 , , 2 3 3 3 3 h BE h h h BE h BG BD h = = = = = + = N 1 2 3 4 N N 3 2 , 3 sin , 2 / 3 3 3 N N N N F h F F F F F F DBG F F h = = = = = = 所以 4 2 3 4 4 3 2 2 2 / 3 2 π π 92.4 90, / 4 64 3 3 (2 / 3) 9 3 π 0.03π ( ) ( ) 8 h F E d d h Ed Ed F h h = = = 所以 = = 13. 图示结构，由圆杆 AB 、 AC 通过铰链联结而成，若二杆的长度、直径及弹 性模量均分别相等， BC 间的距离保持不变， F 为给定的集中力。试按稳定条件 确定用材最省的高度 h 和相应的杆直径 D 。（设给定条件已满足大柔度压杆的要 求。） 解：杆达到临界状态时， cr 2 2 π EI F h l = + ， 此时之 F 值为： 4 2 2 2 2 2 2 3 2π π / 32 ( ) EI h h ED F h l h l h l = = + + + 可求得： 2 2 3 4 32 ( ) π F h l D Eh + = (a) F 3 D B A 1 2 C E G h F A B C l l
二杆之总体积为:p=2DV2+P)_2x√x√F/E×分+P √h =0,得5h2=P2+h2,所以 将(c)式代入(a试式得,D=1.303×F/E×√ 14.长方形截面细长压杆,b/h=1/2;如果 将b改为h后仍为细长杆,临界力F是原来的 多少倍?有4种答案 (A)2倍;(B)4倍;(C)8倍:(D)16倍。 答:C 15.压杆下端固定,上端与水平弹簧相连,如图所示,则压杆长度因 数μ的范围有4种答案 (A)4<0.5 (B)0.5<4<0.7 (C)0.5<<2; (D)4<2 答:C 16.圆截面的细长压杆,材料、杆长和杆端约束保持不变,若将压杆的直径缩小 一半,则其临界力为原压杆的 ;若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面,则其临界力为原压杆的 度《页∠ 3 x」yx) 示压杆的挠度曲线方程y(x)。 证:Ey=-F(+y),令k2=,y”+ky=- kasin(x/D y=Asin(hr)+Bcos(hr)+ sinπx/D) 丌2/k212-1 由x=0,y=0,B=0,x=l,y=0,A=0 得 al-Fsin(x/n) 兀2EⅠ-PF 18.某结构失稳时,挠曲线如图(a)所示,即 上端可水平移动但不能转动,下端固定,试推 导临界力欧拉公式及挠曲线方程 (b)
156 二杆之总体积为： 2 2 2 2 2 5 4 2π ( ) 2 2 / π ( ) 4 D h l F E h l V h + + = = (b) d 2 2 2 0, 5 , d 2 V l h l h h h = = + = 得 所以 (c) 将(c)式代入(a)式得， 4 D F E l = 1.303 / 14. 长方形截面细长压杆， b h/ 1/ 2 = ；如果 将 b 改为 h 后仍为细长杆，临界力 Fcr 是原来的 多少倍？有 4 种答案： (A) 2 倍； (B) 4 倍； (C) 8 倍； (D) 16 倍。 答：C 15. 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示，则压杆长度因 数 的范围有 4 种答案： (A) ； (B) 0.5 ； (C) 0.5 ； (D) 。 答：C 16. 圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的直径缩小 一半，则其临界力为原压杆的 ；若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面，则其临界力为原压杆的 。 答： 1 π ; 16 。 17. 试导出具有初始挠度 0 y a x l = sin(π / ) 的图 示压杆的挠度曲线方程 y x( )。 证： 2 2 2 0 ( ) , , sin(π / ) F EIy F y y k y k y k a x l EI = − + = + = − 令 2 2 sin(π / ) sin( ) cos( ) π / 1 a x l y A kx B kx k l = + + − 由 x y B x l y A = = = = = = 0, 0; 0, , 0; 0 得 2 2 sin(π / ) π al F x l y EI l F = − 18. 某结构失稳时，挠曲线如图（a）所示，即 上端可水平移动但不能转动，下端固定，试推 导临界力欧拉公式及挠曲线方程。 l Fcr b h h h F y 0 O EI x l y y(x) F x Me Fcr x (a) (b) y x y Me Fcr l