弯曲变形 1.已知梁的弯曲刚度E/为常数,今欲使梁的挠曲M1 线在x=∥3处出现一拐点,则比值M1/M2为: (A)M/M2=2 (B)Mel/Me2=3 (C)MM2=12 (D)Me/Me2=1/3 答:(C) 2.外伸梁受载荷如图示,其 挠曲线的大致形状有下列 直线 (A)、(B)、(C),(D四种 (A) 答:(B) (C 3.简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M剪力Fs与分布载荷q之间的关 系以及挠曲线近似微分方程为: dM (A) Fs des dw M(x) dM dF d M(x) dM M(x) q, dM =-9,d2M(x。 答:(B) 4.弯曲刚度为EⅠ的悬臂梁受载荷如图示,自由端 F1 M 的挠度wB= 则截面C处挠度为: 3(3)+(3 F(2 (↓) Fl/32 3EⅣ(3 2E(3(4); C)F(21)+M2+(F/2n(+);(①)3E3 M-(F/3)(2 2EⅠ 2EⅠ 答:(C)
75 F l l/3 Me B A C 弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度 EI 为常数，今欲使梁的挠曲 线在 x=l/3 处出现一拐点，则比值 Me1/Me2 为： (A) Me1/Me2=2； (B) Me1/Me2=3； (C) Me1/Me2=1/2； (D) Me1/Me2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如图示，其 挠曲线的大致形状有下列 (A)、(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩 M、剪力 FS 与分布载荷 q 之间的关 系以及挠曲线近似微分方程为： (A) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = S = = ； (B) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = − S = − = ； (C) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = − S = = − ； (D) EI M x x w q x F F x M ( ) d d , d d , d d 2 2 S = S = − = − 。 答：(B) 4. 弯曲刚度为 EI 的悬臂梁受载荷如图示，自由端 的挠度 EI M l EI Fl wB 3 2 2 e 3 = + （↓） 则截面 C 处挠度为： (A) 2 e 3 3 2 3 2 2 3 + l EI M l EI F （↓）； (B) 3 2 3 2 2 / 3 3 2 3 + l EI Fl l EI F （↓）； (C) 2 e 3 3 2 2 ( / 3) 3 2 3 + + l EI M Fl l EI F （↓）；(D) 2 e 3 3 2 2 ( / 3) 3 2 3 − + l EI M Fl l EI F （↓）。 答：(C) Me1 Me2 x l A B w x q(x) EI F A F B a a a C 直线 (A) (B) (C) (D)
5.画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答 直线 直线 直线 6.试画出图示梁的挠曲线大致形状。 答 M 直线 7.正方形截面梁分别按(a)、(b两种形式放 置,则两者间的弯曲刚度关系为下列中的 哪一种: (A)(a)>(b) (C)(a=(b) (D)不一定 8.试写出图示等截面梁的位移边界条件,并定性地画出梁的挠曲线大致形状 答:x=0,w1=0,w1=0;x=2a,w2=0,w3=0;x=a,w1=2;x=2a,w2=w3。 9.试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线的大致形状
76 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。 答： 7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放 置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的 哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x=0, w1=0, w1 =0；x=2a，w2=0，w3=0；x=a，w1=w2；x=2a，w2 w3 = 。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力 F 作用下挠曲线的大致形状。 答： F z F z (a) (b) Me Me Me Me Me Me (a) (b) (c) (a) (b) (c) 直线 直线 直线 直线 a a a a Me Me Me M x 直线 a a a w F x = w右 0 0 = = w w = 0 w左 F 2a a a a 直线 F
10.画出图示各梁的挠曲线大致形状。 Me=Fl (b) 答 M 直线 直线 11.作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。 答 M 挠曲线 拐点 12.弯曲刚度为EⅠ的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其 自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支座间的距离应为12a=0.577 提示:△/=」dx=Jmd 令外伸端长度为a,内跨长度为2b,b=-a,因对称性,由题意有:
77 10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。 答： 11. 作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。 答： 12. 弯曲刚度为 EI 的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其 自 重 引起 的弯 曲 而有 所改 变时 ,证 明 两支 座间 的距 离 应为 l-2a=0.577l。 = = l l x w l x 0 0 提示:Δ d d 证： 令外伸端长度为 a，内跨长度为 2b， a l b = − 2 ，因对称性，由题意有： A F B M D l l l C e=Fl A B D l l l C Me=Fl F (a) (b) (a) (b) M x x Me Me M 直线 直线 2F F D B C A l/2 l/2 l/2 M Fl/4 Fl/2 x 拐点 挠曲线 a a l a a q l q q M x M x q
△l=[cdx EjJoM(x)dr_w q 2 q 得a3+3a2b-2b3=0 a3+a2b+2a2b-2b3=0 a2+2ba-2b2=0 0.21ll 即1-2a=0.5771证毕。 13.等截面悬臂梁弯曲刚度EⅠ为已知,梁下有一曲 面,方程为w=-4x3。欲使梁变形后与该曲面密合(曲 面不受力),试求梁的自由端处应施加的载荷。 解:M(x)=Eh"=-6ElAx Fs(x)=-6ELA x=L, M=-6EIAI 6Fl F=6EMA(↑),M=6EMA(3) 4.变截面悬臂梁受均布载荷q作用,已知q梁长l及弹性模量E。试求截面A 的挠度wA和截面C的转角Oc 解:1()=(x)2=2x En”=M(x) aql b(x)| 1(x) bh El bh Ew Cx+D boh 由边界条件x=1.=w=0得C=3 2ql boh boh 2a4 ()) Eb,h3 3Eb. h
78 = + − + − = = = − b l l a b x x q qbx EI w x qa x x q EI w M x x EI w l x 0 2 0 2 0 2 0 0 d 0 2 d 2 d 2 Δ d ( )d 得 a 3 + 3a 2b -2b 3 = 0 a 3 + a 2b + 2a 2b -2b 3 = 0 a 2 + 2ba -2b 2 = 0 a = ( 3 −1)b a l b = − 2 a = 0.211l 即 l -2a = 0.577l 证毕。 13. 等截面悬臂梁弯曲刚度 EI 为已知，梁下有一曲 面，方程为 w = -Ax3。欲使梁变形后与该曲面密合（曲 面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。 解： M (x) = EIw = −6EIAx FS(x) = -6EIA x=l， M = -6EIAl F=6EIA（↑），Me=6EIAl（ ） 14. 变截面悬臂梁受均布载荷 q 作用，已知 q、梁长 l 及弹性模量 E。试求截面 A 的挠度 wA 和截面 C 的转角θC。 解： x l b h h b x I x 12 12 ( ) ( ) 3 3 0 = = x b h ql I x M x Ew 3 0 6 ( ) ( ) = = − x C b h ql Ew = − + 2 3 0 3 x Cx D b h ql Ew = − + + 3 3 0 由边界条件 x = l, w = w = 0 得 3 0 4 3 0 3 2 , 3 b h ql D b h ql C = = − 3 0 4 2 Eb h ql wA = − （↓） ， 3 0 3 3 8 Eb h ql C = （ ） 6F 6Fl l w l x w q l/3 x l h b0 b(x) b(x) B A C
15.在刚性圆柱上放置一长2R、宽b、厚h的钢板,已知钢板的弹性模量为E。 试确定在铅垂载荷q作用下,钢板不与圆柱接触部分的长度l及其中之最大应力。 解:钢板与圆柱接触处有= R E 故1=2E_|Ebh R M 9l/2 EI/R Eh W bh2/6 bh2/6 2R 16.弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示,试用积分法求梁的最大挠度及其挠 曲线方程 解:Ehn”=M(x)=-90(1-x)3 gott q(x)=gol 1-I Eh=-90 120(-x)3+Cx+D EF和=-90(-x)5+ 40 120l 120 Wmx =qo( 30EI 17.图示梁的左端可以自由上下移动,但不能左右移动及转动。试用积分法求力 F作用处点A下降的位移 解:Ehp"=F-Fx C=0.D= FI F1 Fl 3EI 18.简支梁上自A至B的分布载荷q(x)=Kx2,K为常数。试求挠曲线方程。 解:M"(x)=q 二次积分M(x)=x4+Ax+B (x)=k =0,M=0,B=0
79 15. 在刚性圆柱上放置一长 2R、宽 b、厚 h 的钢板，已知钢板的弹性模量为 E。 试确定在铅垂载荷 q 作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度 l及其中之最大应力。 解：钢板与圆柱接触处有 EI ql R 1 / 2 2 = 故 qR Ebh Rq EI l 6 2 3 = = R Eh bh EI R bh ql W M z / 6 2 / / 6 / 2 2 2 2 = = = = 16. 弯曲刚度为 EI 的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠 曲线方程。 解： 0 3 ( ) 6 ( ) l x l q EIw = M x = − − l x C l q EIw = − − + 0 4 ( ) 24 l x Cx D l q EIw= − − + + 0 5 ( ) 120 120 , 24 4 0 3 0 q l D q l C = = − 24 120 ( ) 120 4 0 3 0 5 0 q l x q l l x l q EIw = − − + − EI q l w 30 4 0 max = − （↓） 17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。试用积分法求力 F 作用处点 A 下降的位移。 解： EIw = Fl − Fx 3 0, 3 Fl C = D = − 2 6 3 3 2 3 Fl x F x Fl EIw = − − EI Fl wA 3 3 = − （↓） 18. 简支梁上自 A 至 B 的分布载荷 q(x)=-Kx2，K 为常数。试求挠曲线方程。 解： 2 M (x) = q = −Kx 二次积分 x Ax B K M x = + + 4 12 ( ) x=0， M=0， B=0 q l R h A x l x B w q0 = − l x q(x) q 1 0 w F A EI B x l w A l B x EI 2 q(x) = kx