复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章 定积分计算 Calculations on definite integrals

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integral YLMa@Phys. FDU E>0,存在与arg-a)无关,D内各向同性的]m(s)>0,使当-d=r<p时, (=-a)()-k<E,所以[。f(-(2-a)<E(2-)(=-a=,小模之 比r/r=1,仅仅积分相位即可),即 m[(k=k(-)(方向为正向) 引理3( Jordan引理):当x→∞(0≤argx≤z,即m≥0)时,f()→0(此 限制条件为一致地趋于0,仅仅存在解析部分则mLf(d=0 (实常数m>0),其中C是以原点为圆心,半径为R的上半 圆周,即z=Re(0≤O<z) 证明:由于当0≤argz≤丌,→∞时,f(=)一致地趋于0, 这意味着任给E>0,存在(与arg=无关的,D内各向同性 的)M()>0,使当|=R>M时,|(-)<6据此,令 =Re(0≤6≤m),有 INote:1)|em°=1.2).请检查 是否满足条件,否则积分不存在或者重新补积分回路] <eR e-mRsin d0=2cRe-mRsinede 由右图可见,当0≤0≤x/2时,有0≤-6≤sn0 .(k=d<282c40=n(-c-)<n 20/x (m>0)这样,就证明了mLf(=xd=0 f(x)dx 条件:(1)由f(x)唯一确定的函数f(-)除在上半平面(Imz>0)只有有限个奇 点{b}=bb2…b以及在实轴上最多有有限个单阶极点 an}=a1,a2,…,an以外是解析函数 11

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 11   0 ，存在[与 arg(z  a) 无关，D 内各向同性的] ()  0 ，使当 z  a  r   时， ( ) ( ) z a f z k     ，所以 ( )d  2 1 2 1    Cr f z z ik           （ , i z a re    小模之 比 r /r 1 ，仅仅积分相位即可），即  2 1  0 lim ( )d Cr r f z z ik       （方向为正向）。 引理 3 (Jordan 引理)：当 z   (0  arg z  ,即Imz  0) 时, f (z) 0 (此 限 制 条 件 为 一 致 地 趋 于 0 ， 仅 仅 存 在 解 析 部 分 ), 则 lim ( ) d  0   f z e z imz R CR (实常数m  0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R 的上半 圆周,即 e (0 ). i z R       证明：由于当 0  arg z   ，z   时， f (z) 一致地趋于 0， 这意味着任给   0 ，存在（与 arg z 无关的，D 内各向同性 的） M()  0 ，使当 z  R  M 时， f (z)   .据此，令 e 0  i z R       ，有 [Note：1). cos | | 1. imR e   2). 请检查 是否满足条件，否则积分不存在或者重新补积分回路] cos sin sin sin 0 sin sin 2 0 0 ( ) d ( ) d ( ) d d 2 d . R R z R iR imz mR mR C C mR mR f z e z f z e z f z e R R e R e                              由右图可见，当 0     / 2 时，有    sin 2 0   .   2 2 0 ( ) d 2 d 1 . R mR imz mR C f z e z R e e m m                  ( m  0 ) 这样，就证明了 lim ( ) d  0   f z e z imz R CR . 2．   - f (x)dx 条件：(1)由 f (x) 唯一确定的函数 f (z) 除在上半平面（ Imz  0) 只有有限个奇 点 1 2 { } , , , k N b b b b  以 及 在 实 轴 上 最 多 有 有 限 个 单 阶 极 点 1 2 { } , , j n a a a a  ， 以外是解析函数；

6.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU (2)在实轴和上半平面内(0≤agz≤r),当z→∞时,()致地趋 于零,简记为f(z)→0 结论:∫(xdx=2n∑Resy(b)+m∑ Rest(a) j=l(复平面实轴上 证明:(1)先考虑在实轴上没有奇点的情况 以-R~R的实轴为一边,补充上半圆周C(=R) 手f(=)d=/(x)dx+( 2i∑Resf(b) 因为mf(x)=0,根据大圆弧引理, m[f()=0.于是,取极限R→∞就得到fxdx=2m∑Res(b) (2)实轴上存在一阶极点的情况。 设f()在实轴上有单极点z=c,我们 所取路径必须绕过c点。以c点为圆心, 充分小r为半径的半圆周C,如图所示 0 将c点挖去,则 f()=」(x)dx+/(+」(xx+[( z∑Resf(b2) 当取两个极限R→>∞,r→>0时,我们有 f(x)dx+f(x)dx 」厂/k im()=0,由引理1,mL(=0 由于二=c是单阶极点,所以Resf()=lim(z-c)f(x)由引理2(注意积 分方向,我们得到m⊥f()=mRs/(=(相位差,幅角变化0-x) 因此,(xAx=2n∑ Resf(b,)+ri Ref(c)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 12 (2) 在实轴和上半平面内 0  arg z    ，当 z   时， zf (z) 一致地趋 于零，简记为 zf (z) 0. 结论： - 1( ) 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N n k j k j f x x i f b i f a            上半平面内 复平面实轴上 证明：（1）先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以 R ~ R 的实轴为一边，补充上半圆周 C z R R  : 1( ) ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). R R C R C N k k c f z z f x x f z z i f b          内 因为 lim ( )  0  zf z z ，根据大圆弧引理,   R CR lim f (z)dz 0 . 于是，取极限 R   就得到 - k 1( ) ( )d 2 Res ( ). N k f x x i f b        上半平面 （2）实轴上存在一阶极点的情况。 设 f (z) 在实轴上有单极点 z  c ，我们 所取路径必须绕过 c 点。以 c 点为圆心， 充分小 r 为半径的半圆周 Cr ，如图所示 将 c 点挖去，则 k 1(c ) ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d = 2 Res ( ). r R c r R C R C c r C N k f z z f x x f z z f x x f z z i f b               又 内 当取两个极限 R ,r 0 时，我们有，               f x x  f x x f x x R c r c r R R lim ( )d ( )d ( )d ， lim ( )  0  zf z z  ，由引理 1， lim ( )d  0   f z z R CR . 由于 z  c 是单阶极点，所以 Res ( ) lim( ) ( ). z c z c f z z c f z     由引理 2（注意积 分方向），我们得到 0 lim ( )d Res ( ) r C z c r f z z i f z       （相位差，幅角变化 0  ）. 因此， - 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N k k f x x i f b i f c          上半平面内

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 如果实轴上存在有限个单阶极点,则 f(x)dx= 2Ti kel i, Resf()+zi s Resf(a j=l(复平面实轴上 自证:如果将实轴上单极点包含在回路内,则 m[f(d=(2z- T)i Res(=),但在回路内多了 im∮。/(=)d=2ies)-结果相同。 xample1.计算积分l dx 1 ro dx 解门]令x=tnO,则1=Jd0=2(简单!) 解三2+1=x+1+: 2mi·Resf()=2xi·=丌 (=-在下半平面)。取极限R→∞,因为lmx =0,根据引理1,所以 z2+1 0.于是得到, 2()dr≈x xEmp计算积分/-⊥a 少,其中n为正整数。 [解]唯一孤立奇点z=(n+1阶极点,Imz>0) 2ri·Resf(l) =2x.1d (2m)! nl d 2(n!) (-1)(n+1)n+2)…(2n)1(n+1)n+2)…(2n) d(=+y (2i)2n 2i2n! 取极限R→∞,因为f()连续且imz =0,所以,根据引理 dz 因此 (2n)! Example3.计算积分I= x(x+1)(x2+1) (如图严格相互抵消,因而有值) 13

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 13 如果实轴上存在有限个单阶极点，则 - 1( ) 1( ) ( )d 2 Res ( ) Res ( ). N n k j k j f x x i f b i f a            上半平面内 复平面实轴上 自证：如果将实轴上单极点包含在回路内，则 0 lim ( )d (2 ) Res ( ) , r C z c r f z z i f z         但在回路内多了 0 lim ( )d 2 Res ( ) . r C z c r f z z i f z      结果相同。 Example 1. 计算积分          1 d 2 1 1 d 2 0 2 x x x x I . [解一] 令 x  tan ，则 / 2 0 d . 2 I       (简单！) [解二] 2 2 2 d d d 1 2 Res (i) 2 1 1 1 2 R R C R C z x z i f i z x z i                  ( z i  在下半平面)。取极限 R   ，因为 0 1 1 lim 2   z  z z ，根据引理 1，所以 0 1 d 2   CR z z . 于是得到， . 2 ( )d 2 1       I f x x (X) Example 2. 计算积分         1 2 1 d n x x I , 其中 n 为正整数。 [解] 唯一孤立奇点 z i  ( n 1 阶极点， Im 0) z          1 1 1 2 2 2 1 2 2 d d d 2 Res ( ) 1 1 1 1 d 1 (2 )! 2 , ! d 2 ( !) R R n n n C R C n n n n z i z x z i f i z x z n i n z n z i                                  1 2 1 2 2 d 1 ( 1) ( 1)( 2) (2 ) 1 ( 1)( 2) (2 ) 1 (2 )! . d (2 ) 2 2 2 2 ! n n n n n n n z i n n n n n n n z i i i n z i                     取极限 R   ，因为 f z( ) 连续且   0 1 1 lim 1 2     n z z z ，所以，根据引理 1，   0 1 d 1 2     CR n z z . 因此    1 2 2 2 2 ( !) (2 )! 1 d n n x x I n n        . Example 3. 计算积分          1 1 d 2 x x x x I . (如图严格相互抵消，因而有值)

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 2 二(=+1=2+) 除在上半平面有奇点z=i外, 在实轴上还有两个单阶极点z=0 和 取积分路线如图,有 手()=[+4+.+1+.+.])2nyo 取三个极限R→∞,n→0,n2→0 因为lmz =0,由引理1, z(+1)(2+) 0 又因为Resf(0)=limz (2+)(=2+0=2 Resf(-1)=lim(二+1) (=+1)(2+1) 所以,由引理2(小圆弧引 理), hz(x+1)(=2+1 i·Resf(-1)·(-x)=, =i·Resf(0)·(-x)=-i.因此 (z+(=2+) [++m四,一一D =-2(1-1)-0-2-(-)=-x 2 附柯西积分主值 Cauchy principal value) 通常的定积分(Rmm积分)[(x)d有两个基本假设:积分区间是 有界的,同时函数f(x)在[上也是有界的。反之,如果积分区间无界或f(x) 有奇异性,则这种积分属于反常积分,这时积分就有一般值和主值之分。例如, 按广义积分定义,双边无界积分 厂f(xd=mf(x)dx+mfxd

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 14 [解]  1 1 1 ( ) 2    z z z f z 除在上半平面有奇点 z  i 外， 在实轴上还有两个单阶极点 z  0 和 z  1. 取积分路线如图，有   1 1 2 2 3 ( )d ( )d = 2 Res ( ) 1 2 1 . ( 1)( ) 2 C l C l C l CR f z z f z z i f i i i i i i i i                               又 取三个极限 R  ，r1 0,r2 0， 因为    0 1 1 1 lim 2      z z z z z ，由引理 1，   0 ( 1) 1 d 2    CR z z z z . 又因为    2 0 1 Res (0) lim 1, 1 1 z f z  z z z         2 1 1 1 Res ( 1) lim( 1) . z 1 1 2 f z   z z z         所以，由引理 2 (小圆弧引 理)，   1 2 d Res ( 1) ( ) C ( 1) 1 2 z i i f z z z            ，   2 2 d Re (0) ( ) ( 1) 1 C z i sf i z z z            . 因此， 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 , 0 , 0 lim ( )d [ lim lim lim lim ] ( )d (1 ) 0 ( ) . 2 2 2 R R R R r r l l l C C C C r r r r I f z z f z z i i i i                                         [附] 柯西积分主值(Cauchy principal value)： 通常的定积分（Riemann 积分）  b a f (x)dx 有两个基本假设：积分区间 a,b 是 有界的，同时函数 f (x) 在 a,b 上也是有界的。反之，如果积分区间无界或 f (x) 有奇异性，则这种积分属于反常积分，这时积分就有一般值和主值之分。例如， 按广义积分定义，双边无界积分           2 2 0 0 1 1 ( )d lim ( )d lim ( )d R R x x R R f x x f x x f x x

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integral YLMa@Phys. FDU 只当这两个积分存在时,∫(x)才存在。考察极限m[f(x),显然这是 前者的特殊情形。当此极限存在时,前者可能不存在,但前者存在时,后者必存 在,并且两者相等。故通常称前者为一般值,把后者称为积分主值(按柯西的定 义)。P(x)x=m/(x 同理,当f(x)在[ab]上有不连续点c在c点f(x)无界且c仅是单极点]时, 其一般值定义为(xx=mJf(x)dx+m(x)d,而其主值定义为 f(x)dx=lmn.f(x)dx+f(x)dx上面例3在三个地方均取了积分主值。 3.[f(x)e"dx(m是非零实常数 Fourier transform) 条件:设m>0, (1)由f(x)唯一确定的函数f()除在上半平面(Imz>0)只有有限个 (孤立)奇点并且在实轴上最多有有限个单阶极点以外是解析的 2)在实轴和上半平面内,当→∞时,f(-)→0 二→ (上面计算」f(x)dx时要求()=0,利用 Jordan lemma, 现在计算 Fourier Transform[f(x)ldx时,要求f()=0.) 结论:∫f(x)dx=2m,∑Res[()=]+m∑Re(= 证明:(1)先考虑在实轴上没有奇点的情况 以-R~R的实轴为一边,补充上半圆C(=R 手(=-d=(xk-dx+e)e=d =2n∑Re/(= 因为limf(=)=0,根据引理3( Jordan lemma) Im[f()=0于是,取极限R→∞就得到 f(x)=acx=2i∑Res[()= (2)实轴上存在一阶极点的情况

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 15 只当这两个积分存在时，    f (x)dx 才存在。考察极限   R R R lim f (x)dx，显然这是 前者的特殊情形。当此极限存在时，前者可能不存在，但前者存在时，后者必存 在，并且两者相等。故通常称前者为一般值，把后者称为积分主值（按柯西的定 义）。 ( )d lim ( )d . R R R f x x f x x        同理，当 f (x) 在 a,b 上有不连续点 c [在 c 点 f (x) 无界且 c 仅是单极点]时， 其一般值定义为 1 1 2 0 0 2 ( )d lim ( )d lim ( )d , b c b a a c f x x f x x f x x              而其主值定义为 0 ( )d lim ( )d ( )d . b c b a a c f x x f x x f x x                  上面例 3 在三个地方均取了积分主值。 3．   - f (x)e dx imx ( m 是非零实常数,Fourier Transform) 条件：设 m  0， (1) 由 f (x) 唯一确定的函数 f (z) 除在上半平面（ Imz  0) 只有有限个 (孤立)奇点并且在实轴上最多有有限个单阶极点以外是解析的； (2) 在实轴和上半平面内，当 z   时， f (z) 0. （上面计算 f x x ( )d   时要求 ( ) 0 z zf z   , 利用 Jordan lemma， 现在计算 Fourier Transform   - f (x)e dx imx 时, 要求 ( ) 0. z f z   ） 结论： - ( ) d 2 Res ( ) Res ( ) . imx imz imz f x e x i f z e i f z e                  上半平面内 复平面实轴上 证明：（1）先考虑在实轴上没有奇点的情况。 以 R ~ R 的实轴为一边，补充上半圆 C z R R  ： ( ) d ( ) d ( ) d = 2 Res ( ) . R R imz imx imz C R C imz C f z e z f x e x f z e z i f z e            又 内 因为 lim ( )  0  f z z ，根据引理 3（Jordan lemma） lim ( ) d 0. R imz R C f z e z    于是，取极限 R   就得到 - ( ) d 2 Res ( ) . imz imz f x e x i f z e           上半平面内 （2）实轴上存在一阶极点的情况