复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第二章 复变函数积分

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU Chapter2复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions 复变函数积分( ntegrals of complex variable functions) 1.定义:设l是复平面C上的一条可求长的有向曲线,函数f()在l上有定 义,沿1取分点二0=a,-1,2,…n1,=n=b,从1→的一小段上 任取一点5k,作和数∑/()(=-k-)=∑f(),如果当弧段 1(k=12,…,n)的最大长度→0时,此和数的极限存在,且 与z和5的选取无关,那么这个极限值称为f(x)沿曲线l的积分, 记作∫()=-m∑/( *)一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合 f/ed==juiv)d(x+ y)=(udr-ydy+ilovdx+udy 因此,根据实变函数线积分的知识,可以知道,如果l是分段光滑的, f(z)在l上连续,复变函数积分一定存在。 )可以把f(z)沿曲线l的积分化为关于参数t的积分 参数方程:==y(0),即∫(k=「no(d 其中(a,B)由曲线端点(a,b)的参数值确定。 2.性质: ()若1=4+42+…+2,则/(=S()d )/()=J(d,其中厂表示l的逆向

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 2 复变函数积分 Abstract: Derivation the Cauchy theorem and Cauchy formula based on the properties of the integrals of complex variable functions. 一、 复变函数积分(Integrals of complex variable functions) 1．定义：设 l 是复平面 C 上的一条可求长的有向曲线，函数 f (z) 在 l 上有定 义，沿 l 取分点 z0 = a,z1 ,z2 ,  ,zn−1 ,zn = b ，从 k k z → z −1 的一小段上 任取一点  k ，作和数  ( )( )  ( ) = = − − =  n k k k n k k k k f z z f z 1 1  1  ，如果当弧段 k k 1 z z − （ k = 1,2,  , n ）的最大长度  →0 时，此和数的极限存在，且 与 k z 和  k 的选取无关，那么这个极限值称为 f (z) 沿曲线 l 的积分， 记作  ( )  =  →   n k k k l z f z z f z k 1 max 0 ( )d lim  . *) 一个复变函数积分实际是两个实变线积分的有序组合     = + + = − + + l l l l f (z)dz (u iv)d(x iy) (udx vdy) i (vdx udy) . 因此，根据实变函数线积分的知识，可以知道，如果 l 是分段光滑的， f (z) 在 l 上连续，复变函数积分一定存在。 **) 可以把 f (z) 沿曲线 l 的积分化为关于参数 t 的积分 [参数方程： z =  (t) ]，即 ( )d [ ( )] '( )d , l f z z f t t t   =     其中 ( , )   由曲线端点 ( , ) a b 的参数值确定。 2．性质： (1) 若 n l = l + l ++ l 1 2 ，则   = = n k l l k f z z f z z 1 ( )d ( )d . (2)   = − − l l f (z)dz f (z)dz ，其中 − l 表示 l 的逆向

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU (3)()+c/(小=c(x+e d)/(ds(=址=/(=)≤AMD,其中M是()的上界 L是曲线的长。 例1.求[Rezd,1为:(沿实轴由0→1,再平行于虚轴1→1+2i;(i)沿 虚轴由0→2i,再平行于实轴2→1+2i;(i)沿直线由0→1+2i 解:令z=x+,则 Re:=x=u(,y), v(x,y)=0, dz=dx +idy 对于0,R=d+=真d+(1=2+ 对于,j+=40d+xd= 对于(i),y=2x J Re zd==l xdx+iL xdy=l rdr+ o.dy=+i 虽然积分的起末点相同,但三种结果不同,这是由于f()=x不是解析函数。 例2.,其中1以=0=-1为起点,=1为终点,路径为:直线段 (i)上半单位圆周;(i)下半单位圆周。(练习) 解:()1的参数方程为:=x,x∈[-1,所以d=dx,则 =x=2dx=1 (i)的参数方程为:z=e",θ∈[0,z],所以d=e"dO,则 Jld==lleie'ode= ie de=eo=2 i)l的参数方程为:z=",O∈[z],所以d=l"d,则 dz de=ieda=el 2

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 2 (3)      + = + l l l c f (z) c f (z) dz c f (z)dz c f (z)dz 1 1 2 2 1 1 2 2 . (4)     =  l l l f (z)dz f (z) dz f (z) dl ML ，其中 M 是 f (z) 的上界， L 是曲线 l 的长。 例 1．求 l Re zdz，l 为：(i)沿实轴由 0 →1 ，再平行于虚轴 1→1+ 2i ；(ii) 沿 虚轴由 0 →2i ，再平行于实轴 2i →1+ 2i ；(iii)沿直线由 0→1+ 2i . 解：令 z = x + iy ，则 Re z = x = u(x, y)，v(x, y) = 0 ，dz = dx + idy . 对于(i)， z z x x i x y x x i y i l l l 2 2 1 Re d d d d 1 d 2 0 1 1 2 0 = + = +  = +      . 对于(ii)， 2 1 Re d d d 0 d d 1 0 2 3 4 0 = + =  +  =      z z i x y x x i y x x l l l . 对于(iii)， y = 2x , y i y z z x x i x y x x i l l l = + = +  = +      2 1 d 2 Re d d d d 2 0 1 5 5 0 . 虽然积分的起末点相同，但三种结果不同，这是由于 f z x ( ) = 不是解析函数。 例 2．l z dz ，其中 l 以 z0 = −1 为起点， z1 =1 为终点，路径为：(i)直线段； (ii)上半单位圆周；(iii)下半单位圆周。（练习） 解：(i) l 的参数方程为： z = x， x−1,1 ，所以 dz = dx ，则 d d 2 d 1 1 0 1 1 = = =  −  z z x x x x l . (ii) l 的参数方程为： i z = e ， 0,  ，所以   d d i z = ie ，则 d i d i d 2 0 0 0 = = = =             i i i i l z z e e e e . (iii) l 的参数方程为： i z = e ， −,0 ，所以   d d i z = ie ，则 d i d i d 2 0 0 0 = = = =  − − −         i i i i l z z e e e e

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU 例3.计算积分=三d,其中1为实圆环151≤2的上半部分的边界, 方向为环形区域的正方向(靠右行) 解: =[-d dz 咋看起来∫(x)=二=e在D内解析,应该有 ∮f()=0 其实不然,∫=cos2+isin20,仅仅依赖于θ而非依赖于ρ 0=n≠一V=三COS20,0=v≠一l==sin26→非解析 例4.计算积分=∮ d,(n=1,2,…),其中C是以点a为圆心 r为半径的圆,积分方向为逆时针方向。 解:曲线C的参数方程为:z-a=re(0≤q≤2) dz 0 n 这个积分与半径r及常点a的位置无关,并且必须在复平面上,其实 1=∮。=m=-a)=2x是个纯虚数 二、科希定理( Cauchy Theorem) 上节讲述的是一般复变函数积分(主要是例子)。一般来说,它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关,还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的f()能使积分[f()d 与曲线段的具体形状无关一一这正是解析函数。 Cauchy定理正是研究这类

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 例 3．计算积分  = l z z z I d ，其中 l 为实圆环 1 z  2 的上半部分的边界， 方向为环形区域的正方向(靠右行)。 解： ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 0 2 2 1 0 3 3 d d 2 d d d 2 d 2 1 2 1 1 1 1 3 3 4 . 3 l l c l c i i i i i i i i z z I z z z z x e x e x ie x ie x e x e e e             − − − − = = + + + = + + + = + − + + − =          咋看起来 2 ( ) z i f z e z  = = 在 D 内解析，应该有 ( )d 0 C f z z =  . 其实不然， f i = + cos 2 sin 2   ，仅仅依赖于  而非依赖于  ： 1 2 0 cos 2 u v      =  = ， 1 2 0 sin 2 v u      =  − =  非解析。 例 4．计算积分 ( ) 1 d n n C I z z a = −  ，（ n = 1,2, ) ，其中 C 是以点 a 为圆心， r 为半径的圆，积分方向为逆时针方向。 解：曲线 C 的参数方程为： i z − a = re (0    2 ) . ( ) ( 1) 2 2 1 0 0 1 1 i 2 n 1 d d d 0 n 2,3 i n i n n n in n C e i I z ire z a r e r         − − −  = = = = =  −  =    , 这个积分与半径 r 及常点 a 的位置无关，并且必须在复平面上，其实 1 d ln( ) | 2 c c z I z a i z a = = − =  −  是个纯虚数。 二、 科希定理（Cauchy Theorem） 上节讲述的是一般复变函数积分（主要是例子）。一般来说，它们的值 不仅与积分曲线段起点和终点的位置有关，还与该曲线段的具体形状有关。 在复变函数中是否能找到一类满足某些条件的 f (z) 能使积分 l f (z)dz 与曲线段 l 的具体形状无关——这正是解析函数。Cauchy 定理正是研究这类

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions LMacPhys FDU 函数的有力工具(是基础,非目标) 单连通区域:对于区域D,如果D内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中, 曲线上的所有点都在D内,则称D为单通区域。 复连通区域:在单通区域内挖去所有奇点(可以是几个 点、几条线、几个区域)而组成的区域。 境界线走向:沿境界线行走,区域总在左边的走向规定 (定义)为正向。 1.单连通区域的 Cauchy定理:如果f()在闭单连通域D 中解析,则沿D中任何一个分段光滑的闭曲线,有5/(:=0 证明:为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f(z)在D中连续(其实,后面会看到,只要∫()在D中解析, 即f(x)存在,则∫(z)也存在,因而f(z)连续),即四个偏导 数盒每 连续。在此条件下可以应用 Green公式(*) p(2 ddy于复变函数积分,有 f()d=(+m)x+y) (udx-wdy)+i (vdx+udy) 根据 Cauchy-Riemann条件,马上得到{f(=)d=0 注意(*): ∫「pay=∫dr∫a,pa=IPxy2(x)-P(x,y(x)x P(x,y,(xdx- P(x, y2(xdr=-df, P(x,y))dx 由于Gren公式的要求,这里所说的单连通区域只能是一个有界 域,即,不能是包含∞点在内的(无界)域。以后我们会看到

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 函数的有力工具（是基础，非目标）。 单连通区域：对于区域 D，如果 D 内的任何闭曲线在收缩为一点的过程中， 曲线上的所有点都在D内，则称D为单通区域。 复连通区域：在单通区域内挖去所有奇点（可以是几个 点、几条线、几个区域）而组成的区域。 境界线走向：沿境界线行走，区域总在左边的走向规定 （定义）为正向。 1. 单连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则沿 D 中任何一个分段光滑的闭曲线 l，有 ( )d = 0 l f z z . 证明：为简单起见，下面在更强的条件下证明这个定理。附加条件是 f (z) 在 D 中连续（其实，后面会看到，只要 f (z) 在 D 中解析， 即 f (z) 存在，则 f (z) 也存在，因而 f (z) 连续），即四个偏导 数 y v x v y u x u         , , , 连续。在此条件下可以应用 Green 公式（*）               −   + = l S x y y P x Q P(x, y)dx Q(x, y)dy d d 于复变函数积分，有 ( )d ( )d( ) ( d d ) ( d d ) d d d d . l l l l S S f z z u iv x iy u x v y i v x u y v u u v x y i x y x y x y = + + = − + +         = − + + −                   根据 Cauchy-Riemann 条件，马上得到 ( )d = 0 l f z z . 注意（*）： 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 2 d d d d [ ( , ( ) ( , ( ))]d ( , ( )d ( , ( )d ( , )d . b b y x y y S a y x a b a l a b P x y x P y P x y x P x y x x P x y x x P x y x x P x y x  =  = − = − − = −        由于 Green 公式的要求，这里所说的单连通区域只能是一个有界 域，即，不能是包含  点在内的（无界）域。以后我们会看到

Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMaa Phys FDU 即使f(z)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 推论一:如果f()在闭单连通域D中解析,则复变积分(与路径 无关。或者说,只要保持两端点固定,积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2.复连通区域的 Cauchy定理:如果∫(z)是闭复连通域D中的单值解析函数 (需要做手脚!),则有∑ff(d=0,其中l(k=12,…m)是 D的全部境界线(正方向)。 证明:(略) 推论二:对于闭复连通域上的单值解析函数,沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 ∫(=)dz ∫(=)dz 推论三:设∫(z)是闭区域(单连通或复连通)D上的解析函数,对于 D内的一条闭曲线,当它在D内连续变形时积分值』/(始 终保持不变(但是奇点区不能穿过,也只能绕过一次!)。 一个常用结果: n=-1 其中,a在曲线C内。 othe 当n=0.1,2,…,(z-a)”在全平面解析,由 Cauchy Theorem,ln=0 对于n=-1-2,…,(z-a)”在z=a点不解析,由推论三,我们总可 以把围绕a的任一闭曲线C变为以a为圆 心的圆周,然后利用前面例题的结果

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 2 Integrals of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 5 即使 f (z) 在  点解析，它绕  点一周的积分也可以并不为 0。 推论一：如果 f (z) 在闭单连通域 D 中解析，则复变积分 l f (z)dz 与路径 无关。或者说，只要保持两端点固定，积分曲线可以在区域内连 续变形而积分值不变。 2. 复连通区域的 Cauchy 定理：如果 f (z) 是闭复连通域 D 中的单值解析函数 （需要做手脚！），则有 ( )d 0 1  =  = n k l k f z z ，其中 l (k 1,2, , n) k =  是 D 的全部境界线（正方向）。 证明：（略） 推论二：对于闭复连通域上的单值解析函数，沿外境界线逆时针方向的 积分等于各内境界线逆时针方向的积分之和。 1 ( )d ( )d . k n l l k f z z f z z + − =   =  推论三：设 f (z) 是闭区域（单连通或复连通） D 上的解析函数，对于 D 内的一条闭曲线 l ，当它在 D 内连续变形时积分值 l f (z)dz 始 终保持不变（但是奇点区不能穿过，也只能绕过一次！）。 一个常用结果： ( ) 2 1 d 0 otherwise n n C i n I z a z   = − = − =    ，其中， a 在曲线 C 内。 当 n = 0,1,2, ， n (z − a) 在全平面解析，由 Cauchy Theorem， 0 n I = ， 对于 n = −1,−2, ， n (z − a) 在 z = a 点不解析，由推论三，我们总可 以把围绕 a 的任一闭曲线 C 变为以 a 为圆 心的圆周，然后利用前面例题的结果