复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU Chapter13柱坐标下的分离变量法 Bessel函数 Abstracts 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 ( Bessel函数、 Normann函数、 Hankel函数、虚宗量 Bessel函数、 Macdonald函数和三类球 Bessel函数等12个 Bessel函数)。在分析 这些函数性质的基础上,表述相应定解问题的物理解。 、柱坐标下的变量分离 1.柱坐标系下的稳定问题(3+0D, Laplace方程) 1 a Ou 1 au au 即: 0 (2) 只要实空间可分离变量,就可令(p,g,z)=R(p)D(q)Z(),将其代入方程(2)得 cz (pR)+当Φ"+Rz"=0 (3) ×(3)得 P(.p RΦZ R 由这种分离变量得: "+Ad=0. P(pR) 方程(5)与周期性边界条件 dp(0)=d(2x)d(0)=d(2丌) 构成本征值问题。解得:n=m2(m=0,1,2,3…),Φn(q)={ coS mpp, Sin mgp 方程(6)即为 P(pR)p2z”2分离变量(pR)m2z PR p Z B2R"+pR'+(up2-m)R 这两个方程,先求解哪一个以及μ如何取值,取决于哪一个可构成本征值问题, 也就是取决于定解问题的边界条件。假设(如果)R()构成本征值问题,则 PR+pR+(up2-m)R

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 2 2 2 2 2 2 1 1 0, u u u u z              = + + =         （1） 即： ( ) 2 2 1 1 0. zz u u u u        = + + = （2） 只要实空间可分离变量，就可令 u z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )     =  ，将其代入方程（2）得： ( ) 2 0. Z RZ R R Z        +  +  = （3） 2 (3) R Z    得： ( ) 2 ' . R Z R Z         + = − =  （4） 由这种分离变量得： ( ) 2 0. (5) ' . (6) R Z R Z       +  =       + =  方程（5）与周期性边界条件  =   =  (0) (2 ), (0) (2 )     构成本征值问题。解得： 2 ( 0,1,2,3, ), m = = m m ( ) {cos ,sin }.  = m    m m 方程（6）即为 ( ) 2 2 R ' Z m R Z      + =  分离变量 ( ) 2 2 ' . R m Z R Z       − = − = − 得： ( ) 2 2 2 0. 0. Z Z R R m R       − =     + + − =  这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R( )  构成本征值问题，则 ( ) 2 2 2    R R m R   + + − = 0

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 式中μ的取值范围不同,方程解的形式与性质不同。 1)4=0:p2R"+pR-m2R=0,即为 Euler eq 220+pR+1()-m]=0 (7) dr dy(x)dx 记 √a √y 则: dp dx dp R(p)=y(x) R"=E2=(y)=√=y 代入(7)得(的量纲为1/p2,这里将径向变量无量纲化了,相当于取=1) x2y+xy2+(x2-m2)y=0,即为m阶Besg 3)<0:令=-k2,代入pR"+pR+(yp2-m2)R=0得 PR+pR(kP2+m)R=0 (8) 记kp=x,R(p)=y(x),代入(8)得: x2y”+xy-(x2+m)y=0即为虚宗量 Bessel e.(9) 令:ⅸx=t,y(x)=(1)代入(9)得 r”+1d+(2-m2)=0.即为 Bessel eq 我们假设R()构成了S-L型本征值问题,即径向有自然、周期或齐次边界 条件,从而u=AH,R=R再解出Z=2(),得2)=∑AR(p)Z()m 2.柱坐标系下的非稳定问题(3+1D,振动、输运方程) ln(21)-aVl(,)=0 (7,)-a2Vu(,D)=0 只要时空可分离变量,就可令u(p,,z,D)=T(t)(p,O,z),将其代入上式得: T”V2 V2V ' T

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 2 式中  的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 1) 0 :  = 2 2   R R m R   + − = 0, 即为 Euler eq. 2) 0 :   ( ) 2 2 2    R R m R 0.     + + − =     （7） 记： ( ) ( ) x R y x     =   = 则： ( ) d d ( ) d , d d d d d d d , d d d d R y x x R y x R y x R y y x             = =  =          = = = =  代入（7）得（  的量纲为 2 1/ ,  这里将径向变量无量纲化了，相当于取  =1 ） ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + + − = 0, 即为 m 阶 Bessel eq. 3) 0 :   令 2  = −k ，代入 ( ) 0 2 2 2  R+ R+  − m R = 得 ( ) 2 2 2 2    R R k m R   + − + = 0. （8） 记 k x R y x   = = , ( ) ( ) ，代入（8）得： ( ) 2 2 2 x y xy x m y   + − + = 0, 即为虚宗量 Bessel eq. （9） 令： ix t y x t = = , ( ) ( )  代入（9）得 ( ) 2 2 2 t t t m      + + − = 0, 即为 Bessel eq. 我们假设 R( )  构成了 S-L 型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界 条件，从而 , .   = = n n R R 再解出 ( ), Z Z z n = 得 ( , , ) ( ) ( ) . im nm n n nm u z A R Z z e     = 2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程） 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0. tt t u r t a u r t u r t a u r t  −  =   −  = 只要时空可分离变量，就可令 u z t T t V z ( , , , ) ( ) ( , , )     = ，将其代入上式得： 2 2 2 2 2 2 ; . T V k a T V T V k a T V    = = −       = = − 

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU 注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得 Tm+akT=o 容易求解) Jthe lst eq. is the wave eq, it is damping if Imk2*0 T+akt=0 the 2nd eg is also the wave eg in Qu Mech. due to id 和 2+k2T=0 此为Hmhh程,即:(p)+py++ky=0 只要实空间可分离变量,就可令(p,,z)=R(p)D(q)Z(x),将其代入上式得 ①"+md=0. z"-=0 p2R"+pR+|(2+)p 同样要求对k2+的符号(±)加以讨论(下面的第二节为正,第三节为负一源于 z(z)的本征值问题)。 Bessel函数[圆)柱函数] 1. Bessel函数 设p√R2+=x,R()=y(x),则一般地[如果Φ()中没有周期条件,则v 可以不为整数] xy+(x2-y2)y=0=y(x)=A,(x)+BNx), 其中:J(x)=∑ k= kl.(v+k+1) N(x)= (x)cos VT-J_(x) (v+ integer, see chapt. 8) N (x)=lir J (xco J,(x) (v=n integer, see chapt. 8, p 16) In J,(x):v阶(第一类) Bessel函数; N(x):v阶(第二类)Besd函数

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2 2 2 2 0 ( 0 t T a k T k T a k T i   + =       + =    the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Im 0. 容易求解) the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to . 和 2 2  + = V k V 0, 此为 Helmholtz 方程，即： ( ) 2 2 1 1 0. V V V k V   zz     + + + = 只要实空间可分离变量，就可令 V z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )     =  ，将其代入上式得： ( ) 2 2 2 2 2 0. 0. 0. m Z Z R R k m R       +  =      − =    + + + − =      同样要求对 2 k +  的符号 ( )  加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z z( ) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设 2    k x R y x + = = , ( ) ( ), 则一般地 [如果 ( )  中没有周期条件，则  可以不为整数] ( ) 0 2 2 2 x y + xy + x − y =  解 y x A x B x ( ) J ( ) N ( ) = +   ， 其中： ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    ， J ( )cos J ( ) N ( ) ( integer, see chapt. 8) sin x x x       − − =  ， J ( )cos J ( ) N ( ) lim ( integer see chapt. 8,p.16). sin n n x x x n       − → − = = ， J ( ) : x   阶（第一类）Bessel 函数; N ( ) : x   阶（第二类）Bessel 函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU v≠整数,J(x)和J_(x)线性无关解; =m=整数,Jn(x)和Nn(x)线性无关解, Nn(x): Normann函数。 当x=k2+是实数时,,(x)和N,(x)都是实函数,现在再引入两个复函数 H(x)=J,(x)+N(x)第一种 Hankel函数; H12(x)=J(x)-N,(x),第二种 Hankel函数 它们统称为v阶(第三类) Bessel函数,于是 Bessel方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于(1)cosx、(2).sinx,(3)cosx+ I SInx=e"、(4)cosx- I sinx=e都是 方程y(x)+y(x)=0的特解;或方程y(x)-y(x)=0的特解有() cosh x,(2) sinh x, (3) cosh+ sinha=e,(4) cosh- sinh x=e,其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示[方程y"(x)-y(x)=0的通解是这四个函数的线性组合 2.各种柱函数的递推公式与渐近性质 (1)递推公式 'Z)'=xz, Z+-Z=Z 2Z1=Z,1-Z (xz.)=-x"z z,=2-1+Z Z代表J,N,H,H2) 证明:例如,J,(x)= kr(+k+1)(2 v+2k-1 (x) (2v+2k)x2 k!(v+k+1)2+26 k=6k!I(v-1+k+1)2 即:(xZ)=xZ,…同理又有:(xz)=-xZ 特例:J=-J→J()45=1-J(x),((0)=1见下其实是定义 (z)=xZ-→「+(5)d5=x(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 4 J ( ) J ( ) J ( ) N ( ) N ( ) : Norimann m m m x x m x x x      − = = 整数， 和 线性无关解; 整数， 和 线性无关解, 函数。 当 2 x k =  + 是实数时， J ( ) x  和 N ( ) x  都是实函数，现在再引入两个复函数。 (1) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x    = + ,第一种 Hankel 函数; (2) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x    = − ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为  阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos ,(2). sin , x x (3).cos sin ,(4).cos sin ix ix x i x e x i x e− + = − = 都是 方程 y x y x ( ) ( ) 0 + = 的特解；或方程 y x y x ( ) ( ) 0 − = 的特解有 (1).cosh ,(2). sinh , x x (3).cosh sinh ,(4).cosh sinh x x x x e x x e − + = − = ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y x y x ( ) ( ) 0 − = 的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式 ( ) ( ) 1 1 ' , ' . x Z x Z x Z x Z         − − − +  =    = −  1 1 , . Z Z Z x Z Z Z x         − +   + =     − = −  Cal. ( ) 1 1 1 1 2 , 2 . Z Z Z Z Z Z x         − + − +   = −   = +   Z 代表 (1) (2) J , N ,H ,H     . 证明：例如， ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    def. ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 (2 2 ) 1 J ' J , ! 1 2 ! 1 1 2 k k k k k k k k k x x x x x k k k k               + − − + + − + − = = − + − = = =  + +  − + +   cal. 即： ( ) 1 x Z x Z ' .     = − 同理又有： ( ) 1 x Z x Z '     − − = − + . 特例： 0 1 J' J = − 1 0 ( ) 0 J 1 J ( ) x  = −  d x  , 0 (J (0) 1 = 见下,其实是定义). ( ) = −1      x Z x Z ( ) 1 1 1 0 J J ( ) x d x x        + +  =  +

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrcal coordinates and Bessel functions YLMa a Phys. FDU (2)渐近行为(定性分析) (A).x很小(x→>0)时, J,(x)= kir(v+k+1)(2, J,(x) (v≠0) N(x)==In+CJ( m-n-1)(x)m 一m+2n 其中,C=l(1-h=0572157-,称为欧拉(Eukr)常数 No(x)--In N,(x) r()(x 2 r(v)x 2 In 丌2 H12(x)-/(e)/x) (v≠0) 2 Jx)-1-(3→J(0)=1(上述特例积分时用过此) J,(x) (v≠0)→J,(0)=0(v≠0) r(v+1)(2 可见x=0并非J(x)之零点,而是J,(0)之v阶零点(≠0) (v=0,v≠0)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 5 （2）渐近行为(定性分析) (A). x 很小 ( 0) x → 时， ( ) ( ) 2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k    +  = −   =    + +    2 0 J ( ) ~ 1 ; 2 1 J ( ) ~ ( 0). ( 1) 2 x x x x         −                 +   2 1 0 2 2 1 ( 1)! N ( ) ln J ( ) 2 ! 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 ( )! ! 2 2 2 m n m m m n m n n m n m x m n x x C x n x n m n n m n    − + − = − − +  =     − − = + −         −         − + + + + + + +         − −           其中， ln 0.5772157 1 lim 1  =        − = → n k n n k C 称为欧拉（Euler）常数. 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 ( ) N ( ) ~ ( 0). 2 x x x x       −          −       (1) 0 (1) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i       −         −       (2) 0 (2) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i       −  −              2 0 J ( ) ~ 1 2 x x   −     0 J (0) 1 = (上述特例积分时用过此). 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x           +    J (0) 0 ( 0)  =   . 可见 x = 0 并非 0 J ( ) x 之零点，而是 J (0)  之  阶零点 ( 0)   . 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 N (0) ( 0, 0). ( ) N ( ) ~ ( 0) 2 x x x x          −      = − =      −      