15 正交函数及其物理应用 在球坐标和柱坐标系, Helmholtz方程分离变量,得到微分方程,分别为 V2vmG,Bd)+1v(,.6)=0m(=B Φ"+yΦ=0 2P)+r2-+1)R=0 2v(p,,)+Aw(p,,)=0m,=)=p)(的)z() +HZ=0 +y=0 P2R"+pR+a-H)P2-xR=o 前面我们较为详细地讨论了两个蓝色的方程,分别对应于 Legendre方程与Bess方程 其中紫色显示的是由边界条件或自然条件或周期条件确定的分离变量常数 物理上的方程当然不局限于 Helmholtz方程。其它方程类似地也会遇到一个 由边界条件或自然条件或周期条件来确定(分离变量)常数的常微分方程 这类方程有一些共同的特征:具有生成函数、递推关系、正交、完备、微分积分表示等等。 数学家们总喜欢归纳成一类数学问题,这就是 Sturn- Liouville问题。 为此,在讨论其它正交函数之前,我们先讨论Stum- Liouville问题及其解的一般性质 151 Sturm- orville方程 具有以下形式的常微分方程,称为Stum- Liouville方程 P(x)--q(x)y+aw(x)y=0 其中:A为待定常数, 数y(x)定义于a≤x≤b并且在端点a,b满足某种边条(Sum- Liouville边条,以下会讨论) 由边条确定常数λ的允许取值(以免微分方程仅有平庸解,即0解) 例1. Legendre方程 +∥+1)y=0 dx 该方程显然是 Sturm- Liouville方程的特殊情况,相当于Surm- Liouville方程中 p(x)=1-x2,q(x)=0,w(x)=1,A=+1) 目例2. Bessel方程
15 正交函数及其物理应用 在球坐标和柱坐标系，Helmholtz方程分离变量，得到微分方程，分别为 ∇2w(r, θ, ϕ) + λ w(r, θ, ϕ) = 0 w(r,θ,ϕ)=R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) Φ″ + γ Φ = 0 1 sin θ θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1) − γ sin2 θ Θ = 0 r r2 R′ +λ r2 − l(l + 1) R = 0 ∇2w(ρ, ϕ, z) + λ w(ρ, ϕ, z) = 0 w(ρ,ϕ,z)=R(ρ) Φ(ϕ) Z (z) Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ2 R″ +ρ R′ +(λ − μ) ρ2 −γ R = 0 前面我们较为详细地讨论了两个蓝色的方程，分别对应于 Legendre 方程与Bessel方程。 其中紫色显示的是由边界条件或自然条件或周期条件确定的分离变量常数。 物理上的方程当然不局限于Helmholtz方程。其它方程类似地也会遇到一个 由边界条件或自然条件或周期条件来确定 （分离变量 ） 常数的常微分方程 这类方程有一些共同的特征：具有生成函数、递推关系、正交、完备、微分积分表示等等。 数学家们总喜欢归纳成一类数学问题，这就是 Sturm-Liouville 问题。 为此，在讨论其它正交函数之前，我们先讨论 Sturm-Liouville 问题及其解的一般性质。 15.1 Sturm-Liouville方程 具有以下形式的常微分方程，称为 Sturm-Liouville 方程 x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 其中：λ 为待定常数， 函数 y(x) 定义于 a ≤ x ≤ b 并且在端点 a, b 满足某种边条 （Sturm − Liouville 边条，以下会讨论 ） 由边条确定常数 λ 的允许取值 （以免微分方程仅有平庸解 ，即 0 解） ☺ 例 1. Legendre方程 x 1 − x2 y x + l(l + 1) y = 0 该方程显然是Sturm − Liouville 方程的特殊情况 ，相当于Sturm − Liouville 方程中 p(x) = 1 − x2, q(x) = 0, w(x) = 1, λ = l(l + 1) ☺ 例 2. Bessel方程
2 z15anb x2y+xy+(2-m2)y=0 好像属Sum- Liouville方程,怎么没有“分离变量”常数?(m不由此方程确定) 再回头看该方程从分离变量中得到的原始形式 d[ dR P-R+pR+ 匕较Sum- Liouville方程 gx)y+Aw(x)y=0 原来对应于:p)=x9s勿 (x)=x,A=a2果然逃不过Surm- liouville 物理上的许多问题,都可以化为 Sturm-Liouville方程,d|px)421-y(x)y+A(x)y=0 为简化起见,把它改写成: d Cb)=-wby),其中:C= qx)是个算符。 这种形式看起来似乎很爽,特像量子力学。特别是将函数yx)写成U)形式 这个形式看起来怎么有点眼熟,试着令w=-1看看—原来是个本征值问题。 这就对了,我们已把 Sturm- Liouville方程写成:广义本征值问题的形式 ——怪不得我们把它称为微分方程的本征值问题 满足 Cbm)=-λmwbm) 的非平庸函数bm)=ym(x)称为 Sturm-Liouville本征值问题中对应于本征值m的本证函数 现在,我们就可证明在一定条件下,Surm- Liouville方程对应于不同本征值的本证函数正交。 证明:出发点,当然是Surm- Liouville方程 Llm)=-lm 1 vm) w(x)ym=0 (1) gx)yn+An w (x)yu=0 Wn-p(x) -am -an)w(x)ym yn 两边同时积分,并利用分部积分 dx=lyn p(x) 4[-C4a 如果yn,ym满足适当的边界条件(上式左边为0),则有 C"ax)=0一SmL算符等不问本征值的木证函数正交 其中:v(x)称为权函数 那么,什么条件才能保证上式中紫色部分为0? n plr) m p(r) ar=0?? Surm- Liouville边条
x2 y′′ + x y + x2 − m2 y = 0 ⟹ x x y x + x − m2 x y = 0 好像属Sturm − Liouville 方程，怎么没有 “分离变量 ” 常数？（m 不由此方程确定 ） 再回头看该方程从分离变量中得到的原始形式 ： ρ2 R″ + ρ R′ + (λ − μ) α2 ρ2 − m2 R = 0 ⟹ ρ ρ R ρ + α2 ρ − m2 ρ R = 0 比较Sturm − Liouville 方程： x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 原来对应于 ：p(x) = x, q(x) = m2 x , w(x) = x, λ = α2 果然逃不过Sturm − Liouville 物理上的许多问题，都可以化为 Sturm-Liouville 方程： x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0。 为简化起见，把它改写成： ℒ y〉 = −λ w y〉, 其中：ℒ = x p(x) x − q(x) 是个算符 。 这种形式看起来似乎很爽，特像量子力学。特别是将函数 y(x) 写成 y〉 形式。 这个形式看起来怎么有点眼熟，试着令 w = −1 看看 —— 原来是个本征值问题。 这就对了，我们已把Sturm-Liouville 方程写成：广义本征值问题的形式 —— 怪不得我们把它称为微分方程的本征值问题。 满足 ℒ ym〉 = −λm w ym〉 的非平庸函数 ym〉 = ym(x) 称为Sturm-Liouville本征值问题中对应于本征值 λm 的本证函数。 现在，我们就可证明在一定条件下，Sturm-Liouville 方程对应于不同本征值的本证函数正交。 a b ym(x) yn(x) w(x) x = 0 if λm ≠ λn 证明：出发点，当然是Sturm − Liouville方程 ℒ ym〉 = −λm w ym〉 ⟹ x p(x) ym x − q(x) ym + λm w(x) ym = 0 (1) x p(x) yn x − q(x) yn + λn w(x) yn = 0 (2) (1)×yn − (2)×ym 得： yn x p(x) ym x − ym x p(x) yn x = −(λm − λn) w(x) ym yn 两边同时积分 ，并利用分部积分 ：a b yn x p(x) ym x x = yn p(x) ym x a b − a b p(x) yn x ym x x 得： yn p(x) ym x − ym p(x) yn x a b = −(λm − λn) a b w(x) ym yn x 如果 yn, ym 满足适当的边界条件 （上式左边为 0），则有： a b w(x) ym yn x = 0 —— Sturm − Liouville 算符不同本征值的本证函数正交 其中：w(x) 称为权函数 那么，什么条件才能保证上式中紫色部分为 0？ yn p(x) ym x − ym p(x) yn x a b = 0 ？？—— Sturm–Liouville 边条 2 z15a.nb
也即确保Surm- Liouville算符不同本征值的本证函数正交? 1.最简单的,是问题在两端点a,b满足以下三者之 a)=y(b)=0 Dirichlet齐次边条 ya)=y(b)=0 Neumann齐次边条 y(a)+ay(a)=y(b)+By(b)=0 Robin齐次边条 证明 这三类齐次边条可写成: ym(a)+aym(a)=0 ayn(a)+a,yn(a)=0 这是一个关于(a1,a2)的二元一次方程组,a1,a2不同时为0 故:|a(a)ya ym(a) ym l=0=(nyom-yom =0满足Stum- Liouville边条 2.当然,周期边条也行 且p(a)=p(b) 3.“还有还有,那梦中的橄榄树”:自然边条 不过,这时x=a,b是Stum- Liouville方程: p(r) g(x)y+ Aw(x)y=0 的奇点—不能保证方程的解yx)在端点一定有限 此需要自然边界条件才能确定本征值。 Legendre方程就属此类 通常,若a,b为有限,由以上这些边界条件确定的本征值构成半无限的可数集合 可数集合:集合中的元素能与正整数或正整数的一个子集建立一一对应关系。 有限个元素的集合一定是可数集合,有理数构成的集合也是可数集合 形象一点(不那么严谨)地说:就是本征值是分立的。 如 Legendre方程中/取正整数,又如Bese方程中取 Bessel函数的根(也是分立的) 数学上还可以证明 Sturn- Liouville算符构成区域a≤x≤b内分段连续函数f(x)正交完备归一的基函数 f(x)=>cn]n(x), cn=f(yn(odr 级数:Scmy(x)平均收敛于f(x,即满足 f(x)->cn,n(x) dx=0 换言之,f(x)≠Scny()的点构成的集合的测度为0 ■关于测度的讨论:U(x)Pdx=0是否等价于f(x)=0? 假设函数f(x)定义于闭区间[0,1,f(x)= 当x为有理数时 0当x为无理数时 然,f(x)不恒等于0 f(x)dx=?
也即确保 Sturm-Liouville 算符不同本征值的本证函数正交？ 1. 最简单的，是问题在两端点 a, b 满足以下三者之一： y(a) = y(b) = 0 Dirichlet 齐次边条 y′ (a) = y′ (b) = 0 Neumann 齐次边条 y(a) + α y′ (a) = y(b) + β y′ (b) = 0 Robin 齐次边条 证明 这三类齐次边条可写成 ： α1 ym(a) + α2 ym ′ (a) = 0 α1 yn (a) + α2 yn ′ (a) = 0 这是一个关于 (α1, α2) 的二元一次方程组 ，α1, α2 不同时为 0 故： ym(a) ym ′ (a) yn (a) yn ′ (a) = 0 ⟹ (yn ym ′ − ym yn ′ ) x=a = 0 满足 Sturm–Liouville 边条 2. 当然，周期边条也行： y(a) = y(b) y′ (a) = y′ (b) 且 p(a) = p(b) 3. “还有还有，那梦中的橄榄树”：自然边条 p(a) = p(b) = 0， 不过，这时 x = a, b 是Sturm − Liouville 方程： x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 的奇点—— 不能保证方程的解 y(x) 在端点一定有限 因此需要自然边界条件才能确定本征值 。Legendre方程就属此类 。 通常，若 a, b 为有限，由以上这些边界条件确定的本征值构成半无限的可数集合。 可数集合：集合中的元素能与正整数或正整数的一个子集建立一一对应关系。 有限个元素的集合一定是可数集合 ，有理数构成的集合也是可数集合 。 形象一点 （不那么严谨 ） 地说：就是本征值是分立的 。 如Legendre方程中 l 取正整数 ，又如 Bessel方程中取 Bessel函数的根 （也是分立的 ）。 数学上还可以证明： Sturm − Liouville 算符构成区域 a ≤ x ≤ b 内分段连续函数 f (x) 正交完备归一的基函数 ，即： f (x) = n=0 ∞ cn yn(x), cn = a b f (t) yn(t) t 级数： n=0 ∞ cn yn(x) 平均收敛于 f (x)，即满足： lim N∞a b f (x) − n=0 N cn yn(x) 2 x = 0 换言之， f (x) ≠ n=0 ∞ cn yn(x) 的点构成的集合的 测度为 0 ◼ 关于测度的讨论：a b f (x) 2 x = 0 是否等价于 f (x) = 0? 假设函数 f (x) 定义于闭区间 [0, 1]，f (x) = 1 当 x 为有理数时 0 当 x 为无理数时 显然，f (x) 不恒等于 0 0 1 f (x) x = ? z15a.nb 3
Rieman积分:不存在 上积分:f(x)dx=)△ r maxl(x)x≤x≤x+△x 下积分:f(x)dx=∑△xmin(x)x≤x≤x+△x 上下积分不相等,积分不存在。 Lebesgue积分:存在,积分值为0,因为f(x)≠0的点构成的集合的测度为0 既然f(x)仅在有理数上为1,就可以按以下做法,将这些函数值不为0的点都覆盖住 任取一个宽度为ε的小纸片,对第一个f(x)≠0的点撕下一半盖住 再撕一半盖住第二个f(x)≠0的点,可以一直做下去,盖住所有fx)≠0的可数点集 如此,我们只用一张宽度为ε的小纸片,盖住了所有f(x)≠0的点 而这张小纸片的宽度ε可以任意小,因此其测度为0 因此 Lebesgue积分为0 dx=0表明 f(x)=)cny()并非在a≤x≤b区间上的每一点都成立,但f(x)≠)cmy(x)的点集测度为0 1. Sturm-Liouville算符的自伴性及其性质 若实函数,|a),l)满足 Sturm- Liouville边条: p(x),-up(x),=0 定义两函数的内积为 ul)≡|ax)v(x)dx 观察:(uC1n),注意这里算符作用于它右边的函数且C=ap(x)a--q(x) uLLv= u(x)Lr(x)dx= u(x)-lp(x) u(x)q(r)r(x)d dla dux) x)q(x)u(x)dx m- Liouville边条 v(x)ux)dx=(valu) 故:Sum- Liouville算符C是自伴的( self-adjoint),称为自伴算符 若la,l)为复函数,定义内积: l)≡|rx)n(x)dx 若复算符H满足 d时C)a=mpa 则称算符%H是厄米算符 实函数的自伴算符是厄米算符的特殊形式。因而厄米算符的性质,自伴算符也都满足。 数学上可以证明:厄米算符,有以下性质 1.本征值都是实的
Rieman 积分：不存在 上积分： f (x) x = k Δxi max[f (x)] xi ≤ x ≤ xi + Δxi = 1 下积分： f (x) x = k Δxi min[f (x)] xi ≤ x ≤ xi + Δxi = 0 上下积分不相等 ，积分不存在 。 Lebesgue 积分：存在，积分值为 0，因为 f (x) ≠ 0 的点构成的集合的测度为 0。 既然 f (x) 仅在有理数上为 1，就可以按以下做法 ，将这些函数值不为 0 的点都覆盖住 任取一个宽度为 ε 的小纸片 ，对第一个 f (x) ≠ 0 的点撕下一半盖住 ， 再撕一半盖住第二个 f (x) ≠ 0 的点，可以一直做下去 ，盖住所有 f (x) ≠ 0 的可数点集 如此，我们只用一张宽度为 ε 的小纸片 ，盖住了所有 f (x) ≠ 0 的点。 而这张小纸片的宽度 ε 可以任意小 ，因此其测度为 0。 因此 Lebesgue 积分为 0。 综上： lim N∞a b f (x) − n=0 N cn yn(x) 2 x = 0 表明 f (x) = n=0 ∞ cn yn(x) 并非在 a ≤ x ≤ b 区间上的每一点都成立 ，但 f (x) ≠ n=0 ∞ cn yn(x) 的点集测度为 0 。 1. Sturm-Liouville 算符的自伴性及其性质 若实函数，u〉, v〉 满足Sturm–Liouville 边条： v p(x) u x − u p(x) v x a b = 0 定义两函数的内积为： 〈u v〉 ≡ a b u(x) v(x) x 观察：〈u ℒ v〉，注意这里算符作用于它右边的函数且 ℒ = x p(x) x − q(x) 〈u ℒ v〉 ≡ a b u(x) ℒ v(x) x = a b u(x) x p(x) v(x) x x − a b u(x) q(x) v(x) x = − p(x) v u x − p(x) u v x a b Sturm–Liouville 边条 + a b v(x) x p(x) u(x) x x − a b v(x) q (x) u(x) x = a b v(x) ℒ u(x) x = 〈v ℒ u〉 故：Sturm–Liouville算符 ℒ 是自伴的 (self-adjoint)，称为自伴算符 若 u〉, v〉 为复函数，定义内积： 〈u v〉 ≡ a b u*(x) v(x) x 若复算符 ℋ 满足 u ℋ v = v ℋ u * 即：a b u*(x) ℋ v(x) x = a b v(x) ℋ* u* (x) x 则称算符ℋ 是厄米算符。 实函数的自伴算符是厄米算符的特殊形式。因而厄米算符的性质，自伴算符也都满足。 数学上可以证明：厄米算符，有以下性质 1. 本征值都是实的 4 z15a.nb
2.不同本征值的本证函数正交 3.本证函数构成完备基函数 这些性质与厄米矩阵的性质类似,只不过厄米算符相当于无穷阶的厄米矩 因而,我们有以下结论: 对实函数,Surm- Liouville算符满足上述三个性质 自伴算符相当于无穷阶的实对称矩阵,因为基函数是无穷维的。 自伴算符是厄米算符的特殊形式,正如实对称矩阵是厄米矩阵的特殊形式 除了厄米算符的三个重要性质外,Stum- Liouville算符还有一重要性质,即 4.若p(x),qx),w(x)在区间{a,b]均为非负,则本征值必为非负 ·证明 对本证函数yn,有 Cln)=-Anwvn)= -lp(x) dyn-g(x)]n+An w(x)yn=0 两边乘yn并积分,得 I=Am w(x)yi dx= q(x)ya dx-yn 第二项分部积分=-p(x)yny p(x)ndx qx)idx+|p()yx2dx+pa)ya)sa)-pb)y(b)b) ≥p(a)yna)y(a)-p(b)yn(b)(b)=即:≥J 对周期边条、自然边条和第一、第二类齐次边条,易证:J=0 p(a)=风(b=0 对第三类齐次边条: a)+y(a)=0 第三类齐次边条的特性:B>0,a<0 J=-a p(a)y(a)+ Bp(b)y(b)>0 故:总有1≥J≥0,即:Anm(x)ydx20→x≥0 2.一般二阶常微分方程化为 Sturm-Liouville方程 orville方程具有以下形式 d g(x)y+Aw(x)y=0 d 故 Legendre方程: x2)-|++1)y=0 均可视为其特例 Bessel方程: 但一般的二阶线性齐次常微分方程并不满足如下Surm- Liouville方程的形式 p(x)y+p(x)y-g(x)y+Aw(x)y=0 二阶导数项的系数:p(x)而一阶导数项的系数:p(x) Surm- Liouville算符的性质对于一般二阶线性常微分方程,能否适用? 一般分离变量得到的二阶线性常微分方程总可以写成如下形式:
2. 不同本征值的本证函数正交 3. 本证函数构成完备基函数 这些性质与厄米矩阵的性质类似，只不过厄米算符相当于无穷阶的厄米矩阵 因而，我们有以下结论： 对实函数 ，Sturm − Liouville算符满足上述三个性质 。 自伴算符相当于无穷阶的实对称矩阵，因为基函数是无穷维的。 自伴算符是厄米算符的特殊形式，正如 实对称矩阵 是厄米矩阵的特殊形式 除了厄米算符的三个重要性质外，Sturm-Liouville算符还有一重要性质，即： 4. 若p(x), q(x), w(x) 在区间[a, b] 均为非负，则本征值必为非负。 证明 对本证函数 yn，有 ℒ yn〉 = −λn w yn〉 ⟹ x p(x) yn x − q(x) yn + λn w(x) yn = 0 两边乘 yn 并积分，得： I = λn a b w(x) yn 2 x = a b q(x) yn 2 x −a b yn x p(x) yn x x 第二项分部积分 = −p (x) yn yn ′ a b + a b p(x) yn ′ 2 x I = a b q(x) yn 2 x + a b p(x) yn ′ 2 x + p(a) yn(a) yn ′ (a) − p(b) yn(b) yn ′ (b) ≥ p(a) yn(a) yn ′ (a) − p(b) yn(b) yn ′ (b) = J 即 ：I ≥ J 对周期边条 、自然边条 p(a)=p(b)=0 和第一、第二类齐次边条 ，易证：J = 0 对第三类齐次边条 ： α yn(a) + yn ′ (a) = 0 β yn(b) + yn ′ (b) = 0 第三类齐次边条的特性 ：β > 0, α < 0 J = −α p(a) yn 2(a) + β p(b) yn 2(b) > 0 故：总有 I ≥ J ≥ 0，即：λn a b w(x) yn 2 x ≥ 0 ⟹ λn ≥ 0 2. 一般二阶常微分方程化为Sturm-Liouville方程 Sturm-Liouville 方程具有以下形式 x p(x) y x − q(x) y + λ w(x) y = 0 故： Legendre 方程： x 1 − x2 y x + l(l + 1) y = 0 Bessel 方程： ρ ρ R ρ + α2 ρ − m2 ρ R = 0 均可视为其特例 但一般的二阶线性齐次常微分方程并不满足如下 Sturm-Liouville 方程的形式 p(x) y′′ + p′ (x) y′ − q(x) y + λ w(x) y = 0 二阶导数项的系数 ：p(x) 而一阶导数项的系数 ：p′ (x) Sturm-Liouville算符的性质对于一般二阶线性常微分方程，能否适用？ 一般分离变量得到的二阶线性常微分方程总可以写成如下形式： f (x) 2 y x2 + g(x) y x + h(x) y = −λ w(x) y z15a.nb 5