复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第一章 复数和复变函数

Chapter1复数和复变函数 复数的基本概念( Basic concepts of complex number) 形如a+ib(ab∈R,i=√-1)的数称为复数。(两元素两算子与四元素四算子) 1.复数( Complex number)的三种形式 (x,y∈R,p,q∈R) 代数式:z=x+jy;(缺点:无法表示多值函数的高相位) 三角式:z=p(cosg+isip);(极坐标系下的表示) 指数式:二=p,其中e"=∑()y =cos+ Isin p称为欧拉公式。 )一些术语( terminology)和符号( notation) Rez=x,实部( Real part),lmz=y,虚部( Imaginary part) =md=p=√x2+y2,模( Modulus),称为幅角( Argument), 记作Arg.而将满足0≤9≤2z或-n≤≤丌的g值称为幅角的 主值或主幅角,记为argz,因此有Agz=agz+2nz(m=0,±1+2… 当取-x≤argz≤x时,有关系 x=0,y>0 arg r +arctan y x<0,y≥0 丌+ arctan x<0,y<0 3)(orx)=x-iy=p(og- Isin p)=pe,(orz)称为的复共轭 或共轭复数( Complex conjugate of),当然,z也是(orz')的复共轭

Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 1 复数和复变函数 一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number) 形如 a  ib ( a,bR，i 1   )的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子） 1．复数（Complex number）的三种形式： 1)        i z  x  iy  cos  isin  e ，（ x, y  R, ,  R ） 代数式： z  x iy ;（缺点：无法表示多值函数的高相位） 三角式： z  cos  isin  ;（极坐标系下的表示） 指数式：   i z  e ， 其中       0 ! 1 n i n i n e   .     cos  isin i e 称为欧拉公式。 2) 一些术语（terminology）和符号(notation): Re z  x , 实部（Real part）, Imz  y，虚部（Imaginary part）. 2 2 z  mod z    x  y ，模（Modulus）,  称为幅角（Argument）， 记作 Argz. 而将满足 0  0  2 或   0   的  值称为幅角的 主值或主幅角，记为 argz ，因此有 Argz  arg z  2n n  0,1,2. 当取  arg z   时，有关系 3)        * i (or ) i cos isin  z z  x  y    e ， (or ) * z z 称为 z 的复共轭 或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然， z 也是 (or ) * z z 的复共轭。 arctan 0 0, 0 2 arg 0, 0 2 arctan 0, 0 arctan y x x x y z x y y x y x y x                 0, 0 x y                

Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chap 注意:*复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 二1=z2的充要条件为Re1=Rez2,lm==Imz2 (单值可以,多值时没有定义幅角);p=A2,=92(可以 2.复数的几何表示: 复平面( Complex plane);通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点(x,y) 或(2,q)与复数x+iy或Pe做成一一对应, 此时的平面称为复平面,其自由矢量为 (讨论:2在哪里?) 3.复数的运算规则: ==x+l=p,cos p, +isn pu=p,e ,=,+iy,=P, ( cos 2 +isin 2)=p,ei% 1)加法:x+z2=(x1+x)+i(v1+y2)满足交换律和结合律。 减法:x1-z2=(x-x2)+(n-y2) 加减法的几何解释与向量加减法相似,三角形法则(自由矢量,可以平移 2)乘法:(i·i=i2=-1)—一和多项式乘法一样 1z2=(x1x2-yy2)+i(xy2+x2y) nP2o(+)+isn(1+2 nO,e问+) :==n1P2=|12,.乘积的模=模的乘积。 Arg(x1…=2)=a1+2=Arg1+Arg=2,乘积的幅角=幅角的和。 特别地,= 乘法的几何解释:在0x轴上取单位线段OI 作△0zP和△0/相似,那么P点就表示 乘积x1·z2,这是因为=1+=1/|21 (=H=1l‖-2D

Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 2 注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 ** 1 2 z  z 的充要条件为 1 2 1 2 Re z  Re z ,Imz  Imz (单值可以，多值时没有定义幅角); , . 1  2 1 2 (可以) 2．复数的几何表示： 复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点 x, y 或 , 与复数 x  iy 或   i e 做成一一对应， 此时的平面称为复平面, 其自由矢量为 （讨论： z 在哪里？） 3．复数的运算规则： 设   1 i 1 1 1 1 1 1 1 i cos isin  z  x  y        e ，   2 i 2 2 2 2 2 2 2 i cos isin  z  x  y        e . 1) 加法：     1 2 1 2 1 2 z  z  x  x  i y  y 满足交换律和结合律。 减法：     1 2 1 2 1 2 z  z  x  x  i y  y . 加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。 2) 乘法：（ i i i 1 2     ）——和多项式乘法一样             . cos isin i 1 2 i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1                      e z z x x y y x y x y 1 2 1 2 1 2 z z     z  z , 乘积的模=模的乘积。 Arg( ) Arg Arg 1 2 1 2 1 2 z z z z        ，乘积的幅角=幅角的和。 特别地， 2 zz  z . 乘法的几何解释：在 0x 轴上取单位线段 0I， 作 0z2P 和 0 1  Iz 相似，那么 P 点就表示 乘积 , 1 2 z z 这是因为 1 2 | | /1 | | / | |. z z z  1 2 (| | | || |) z z z 

3)除法:假设:1≠0, 三 =+ M,2-r2VI cos(a2-o, )+isin(o-o)I P Arg A pI 几何解释(-):先看(即设) 1(cosp+sm),若 =<1,过二点作射线Oz的垂线,交单 位圆周于T,过T作单位圆周的切线, 这条切线与Oz的交点就是 ,而它 关于x轴的对称点为 设z点到z点的距离为n,则图示三个直角三角形之间存在如下关系: Tz|(p+n)2-1=1-p2+n2,解得p+n=-=21 若>1,只需先作切线,再作垂线。若|=1,z= 4)整数幂: (cos no +is (cosg+ ISin gp)= cos ngp+ ISIn npp- De moivre公式。 4.(X)复数运算的一些基本性质:(两个重要不等式) 1)|1±2|s|=+|=2,三角形两边之和大于第三边 1±2|21||-|=2,三角形两边之差小于第三边

Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 3 3) 除法：假设 z1  0,         . cos isin 1 2 1 i 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2                           e x y x y x y i x y x x y y z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 z z z z     ， 2 2 1 2 1 1 Arg Arg Arg z z z z             . 几何解释（ z 1 ）：先看(即设)     cos sin 1 1 2 i z z z z      ，若 z 1 ，过 z 点作射线 Oz 的垂线，交单 位圆周于 T，过 T 作单位圆周的切线， 这条切线与 Oz 的交点就是 z z 1   ，而它 关于 x 轴的对称点为 z 1 . 设 z 点到 z  点的距离为  ，则图示三个直角三角形之间存在如下关系： 2 2 2 |Tz'|=( ) 1 1 ,          解得 1 1| | . z       若 z 1 ，只需先作切线，再作垂线。若 z 1， z   z. 4) 整数幂：        n n n i n z  cos n  isin n  e ,   i  n i n n cos  sin  cos  sin ----De Moivre 公式。 4．（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式） 1） 1 2 1 2 z  z  z  z ， 三角形两边之和大于第三边; 1 2 1 2 z  z  z  z ， 三角形两边之差小于第三边

证明:利用ReE=x≤√x2+y2=|H Re(=12)≤2|2=21|12 (三±三2)=-+|2 2)2(|±|2)2 3) 5.复球面与无穷远点 考虑一个半径为R的球面S 2+(x3-R)2=R2),点(00,0)称为 南极,与复平面Ox1x2的原点重合,点(0,0,2R) 称为北极,记为N.对于C中的任一有限远 点z,它与N连接的直线只与S交于一点5 反之,球面S上任意一点(N点除外),它与N连接的直线也只与C交 于一点z.所以,除N点外,球面S上的点和复平面C上的点都是 对应的。对于N点,我们发现,当→+∞时,5→N,因此在复平面 C中引进一个理想点,作为与N对应的点,称为无穷远点,记为z=∞.加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面,也叫闭复平面,记为C=CU{∞ 不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面,也叫(开)复平面。这样, C与S建立起来的一一对应,称为球极射影。S称为复球面。 注意:☆无穷远点只有一个,其模为+∞,而幅角是不确定的 **同样对于z=0点,其模为0,幅角是不确定的 二=→5==0:作5=变换,或复球面均是就|大而言, 其中为N与5点之间的距离

Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 4 证明：利用 z  x  x  y  z 2 2 Re , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2Re( ) 2 2 , ( )( ) ( ) ( ) . z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                   2） 1 2 1 2 z  z  z  z . 3） 1 2 1 2 z  z  z  z . 1 2 1 2 z z z z         . 5．复球面与无穷远点： 考虑一 个 半 径 为 R 的球面 S （ 2 2 3 2 2 2 1 x  x  (x  R)  R ），点(0,0,0)称为 南极，与复平面 1 2 Ox x 的原点重合，点(0,0,2R) 称为北极，记为 N. 对于 C 中的任一有限远 点 z ，它与 N 连接的直线只与 S 交于一点 . 反之，球面 S 上任意一点  （N 点除外），它与 N 连接的直线也只与 C 交 于一点 z . 所以，除 N 点外，球面 S 上的点和复平面 C 上的点都是一一 对应的。对于 N 点，我们发现，当 z   时，   N ，因此在复平面 C 中引进一个理想点，作为与 N 对应的点，称为无穷远点，记为 z . 加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为 C C  .    不包含无穷远点的复平面 C 称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样， C 与 S 建立起来的一一对应，称为球极射影。S 称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模为   ，而幅角是不确定的。 **同样对于 z  0 点，其模为 0，幅角是不确定的。 *** 1 z 0 z       ：作 1 z   变换，或复球面均是就 z 大而言， 其中  为 N 与  点之间的距离

Methods of Mathematical Physics(2014.03) Chap 、复变函数( Functions of complex variable) 1.区域的概念(复习): 点集E:由复数点组成的集合。 例如,|<1,表示以原点为圆心,半径为1的圆(单位圆)的内部。 +1+|-1|=4,表示以±1为焦点,半长轴为2的椭圆。 点=的邻域:对于实数>0,满足条件-<0的点的全体称为=0点 的δ邻域,记为(=0;) ∞点的邻域:满足条件>R(R是正实常数)的所有点z的集合,即 以点二=0为圆心,R为半径的圆的外部,记为H(∞,R) 点集E的内点:设平面上给定一点集E,如果=0及其某邻域Ⅳ(=)的 点全部属于E,则称0为点集E的内点。 点集E的外点:设平面上给定一点集E,如果0及其某邻域Ⅳ(=gδ)的 点全部不属于E,则称=0为点集E的外点 点集E的边界点:设平面上给定一点集E,如果=0的任一邻域中都含有 E和非E的点,则称为点集E的边界点。 区域D:满足下面两条的点集称为区域。 a)D为开集:D中的每一点都是内点→区域全由内点组成 b)D是连通集:对于D中的任意两点,总可以用某一曲线段连接 起来,而这条曲线上的所有点都属于该点集→区域内点连通。 闭区域D:由区域D及其全部边界点所组成的点集,闭域D通常记为D. 单连通域:在连通域D中任作闭曲线,若该曲线内部的点全部属于D, 则称D为单连通域。否则称D为复连通域!(请讨论之!) 有界域D:若存在有限大的圆|=R,使得DcV(0,R),则称D为有界 域,否则为无界域(有界域离散量子数无界域连续量子数)

Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 5 二、复变函数（Functions of complex variable） 1. 区域的概念（复习）： 点集 E：由复数点组成的集合。 例如， z 1 ，表示以原点为圆心，半径为 1 的圆（单位圆）的内部。 z 1  z 1  4 ，表示以 1 为焦点，半长轴为 2 的椭圆。 点 0 z 的邻域：对于实数   0 ，满足条件 z  z0   的点的全体称为 0 z 点 的  邻域，记为  ;  0 V z 。  点的邻域：满足条件 z  R （R 是正实常数）的所有点 z 的集合，即 以点 z  0 为圆心，R 为半径的圆的外部，记为 V;R。 点集 E 的内点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域  ;  0 V z 的 点全部属于 E，则称 0 z 为点集 E 的内点。 点集 E 的外点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域  ;  0 V z 的 点全部不属于 E，则称 0 z 为点集 E 的外点。 点集 E 的边界点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 的任一邻域中都含有 E 和非 E 的点，则称 0 z 为点集 E 的边界点。 区域 D：满足下面两条的点集称为区域。 a）D 为开集: D 中的每一点都是内点  区域全由内点组成； b) D 是连通集: 对于 D 中的任意两点，总可以用某一曲线段连接 起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集  区域内点连通。 闭区域 D ：由区域 D 及其全部边界点所组成的点集，闭域 D 通常记为 D . 单连通域：在连通域 D 中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于 D， 则称 D 为单连通域。否则称 D 为复连通域！（请讨论之！） 有界域 D：若存在有限大的圆 z  R ，使得 D V0;R ，则称 D 为有界 域，否则为无界域 （有界域离散量子数无界域连续量子数）