16 格林函数初窥 电磁学中的静电势 在处的点电荷,在空间产的电势:(P)= 电荷分布pF,在空间的电势:=eF)dr 物理内涵:叠加原理数学基础:线性问题 隐含的边界条件:r→0时,g()=0 另一个角度看: 空间电势满足:{P0son程:wi)=-4rp() 非齐次微分方程 边界条件:r→0时,g()=0 微分方程的非齐次项来自:源(外部激发) 求解的问题是线性问题,应满足叠加原理:将所有“源”的贡献加起来 p(t)=G(*,r)p(r)dr 对静电势问题:G(P,P)= G+,)是一个点电荷的静电势 般情况下,问题 一般非齐次微分方程的解,是否都可以写成:=cror)dr 其中:pG)为非齐次项 so,紧接着的问题是 1.求G(P,P)是否比直接求解非齐次微分方程简单 2.如何求:GP,或者:G(P)应满足什么微分方程与边界条件 3.G(7,P)的物理意义? 在静电势问题上,G(t判是一个点电荷的静电势, 对一般问题,G,芦)应该是单位“源”导致的响 这些问题,导致了 Green函数理论。 所以 函数理论是求解非齐次线性微分方程(偏微分方程)的一种方法。 带着这些问题,我们从最简单的一维情况出发来讨论
16 格林函数初窥 电磁学中的静电势 在 r ′ 处的点电荷 ，在空间 r 的电势：φ(r ) = q r - r ′ 电荷分布 ρ(r ′ )，在空间 r 的电势：φ(r ) = ρ(r ′ ) τ′ q r - r ′ 物理内涵 ：叠加原理 数学基础 ：线性问题 隐含的边界条件 ：r 0 时，φ(r ) = 0 另一个角度看： 空间电势满足 ： Poisson方程：∇2 φ(r ) = -4 π ρ(r ′ ) —— 非齐次微分方程 边界条件： r 0 时，φ(r ) = 0 微分方程的 非齐次项 来自：源 （外部激发 ） 求解的问题是 线性问题 ，应满足叠加原理：将所有 “源” 的贡献加起来 φ(r ) = Gr , r ′ ρ(r ′ ) τ′ 对静电势问题：Gr , r ′ = 1 r - r ′ ， Gr , r ′ 是一个点电荷的静电势。 一般情况下，问题： 一般非齐次微分方程的解 ，是否都可以写成 ：φ(r ) = Gr , r ′ ρ(r ′ ) τ′ 其中：ρ(r ′ ) 为非齐次项 。 If so, 紧接着的问题是： 1. 求 Gr , r ′ 是否比直接求解非齐次微分方程简单 2. 如何求：Gr , r ′ ， 或者：Gr , r ′ 应满足什么微分方程与边界条件？ 3. Gr , r ′ 的物理意义？ 在静电势问题上 ，Gr , r ′ 是一个点电荷的静电势 ， 对一般问题 ，Gr , r ′ 应该是单位 “源” 导致的响应 ，效果。 这些问题，导致了 Green 函数理论。 所以， Green 函数理论 是求解非齐次线性微分方程（偏微分方程）的一种方法。 带着这些问题，我们从最简单的一维情况出发来讨论
161一维情况 toy model 围绕以上三个问题,看最简单的常微分方程,写成Stum- orville形式 da q()y=f(x) 注意非齐次项在物理上常来自“源 我们己经讨论过,一般的二阶线性常微分方程,总可以化成这种形式。 写成算符形式 g(r) Lyx)=f(x) 假设函数定义于:a≤x≤b,别忘了还有边条 边界条件:{01a)+a2y(a)= B1y(b)+B2y(b)=0 (1.1) 记得我们是要把解写成以下形式 y(x)=|Gx,x)fx)dx,ox,x)称为 Green函数 (1.2) 以下我们要求 Green函数,当让应该导出Gren函数应该满足的微分方程与边界条件。 显然,如果 Green函数Gx,x)也满足如下边界条件,则由(12)给出的y(x)必满足边界条件(.1) a G(a, x)+ar β1G(b,x)+B2G(b,x)= 注意此边条与x无关,只要a≤x≤b (1.3) 未得到Gren函数G(x,x)满足的微分方程,将算符C作用于(12)两边,记得y(x)满足微分方程:Cy(x)=f(x) 得 1右边=CGx)x)dx=cax/()dx记得C只作用于x 左边=右边=f()「CGx,x)f(x)dx LG(x, x)=d(x-r) 格林函数G(x,x)的微分方程与边界条件为 LG(x, x) g(x)G(x, r) r) (aI Gfa, r)+@ G(a, r)=0 BIG(b, r,)+B,G(6, x)=0 g(x)y=f(x) 与原非齐次微分方程问题相比 a1y(a)+a2y(a)=0 出别在非齐次项(蓝色部分) B1y(b)+B2y(b)=0 那么,格林函数G(x,x)的微分方程是否比原问题更容易求解? 首先,格林函数G(x,x)满足的微分方程在x≠x时退化为齐次方程!应该比原方程容易求解 其次,格林函数G(x,x)与非齐次项f(x)无关 物理上非齐次项表明外界的扰动,因而格林函数G(x,x)应该反映系统本身的响应性质。 数学上,只要求出格林函数G(x,x),不同的非齐次项f(x),只需将它带入同一个积分即可 yx)=G(x, x)f(r)dr 接下来,我们讨论如何求解格林函数《x)满足的微分方程:404-x)=0x=x) 如前所述,格林函数G(x,x)的微分方程在x*x时退化为齐次方程,相对容易,为此我们假设 x<x时:G(x)=G(,x)}那么在x=x时如何连接? x>xBf: G(x, x)=G(x, x) 一个合理的假设是:G(x,x)在区间a≤x≤b连续,即
16.1 一维情况 toy model 围绕以上三个问题，看最简单的常微分方程，写成Sturm-Liouville形式 x p(x) y x - q(x) y = f (x) —— 注意非齐次项在物理上常来自 “源” 我们已经讨论过，一般的二阶线性常微分方程，总可以化成这种形式。 写成算符形式： ℒ = x p(x) x - q(x), ℒ y(x) = f (x) 假设函数定义于：a ≤ x ≤ b，别忘了还有边条： 边界条件 ： α1 y(a) + α2 y′ (a) = 0 β1 y(b) + β2 y′ (b) = 0 (1.1) 记得我们是要把解写成以下形式： y(x) = a b G(x, x′ ) f (x′ ) x′ ， G(x, x′ ) 称为Green 函数 (1.2) 以下我们要求 Green 函数，当让应该导出Green 函数应该满足的微分方程与边界条件。 显然，如果 Green 函数G(x, x′ ) 也满足如下边界条件，则由 (1.2) 给出的 y(x) 必满足边界条件 (1.1) α1 G(a, x′ ) + α2 G′ (a, x′ ) = 0 β1 G(b, x′ ) + β2 G′ (b, x′ ) = 0 注意此边条与 x′ 无关，只要 a ≤ x′ ≤ b (1.3) 未得到 Green 函数 G(x, x′) 满足的微分方程，将算符 ℒ 作用于 (1.2) 两边，记得 y(x) 满足微分方程： ℒ y(x) = f (x) 得： 左边 = ℒ y(x) = f (x) 右边 = ℒ a b G(x, x′ ) f (x′ ) x′ = a b [ℒ G(x, x′ )] f (x′ ) x′ 记得 ℒ 只作用于 x 左边 = 右边 ⟹ f (x) a b [ℒ G(x, x′ )] f (x′ ) x′ ⟹ ℒ G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) 格林函数G(x, x′ ) 的微分方程与边界条件为： ℒ G (x, x′ ) = x p(x) G(x, x′ ) x - q(x) G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) α1 G(a, x′ ) + α2 G′ (a, x′ ) = 0 β1 G(b, x′ ) + β2 G′ (b, x′ ) = 0 与原非齐次微分方程问题相比： x p(x) y x - q(x) y = f (x) α1 y(a) + α2 y′(a) = 0 β1 y(b) + β2 y′(b) = 0 出别在非齐次项（蓝色部分）。 那么，格林函数G(x, x′ ) 的微分方程是否比原问题更容易求解？ 首先，格林函数G(x, x′ ) 满足的微分方程在 x ≠ x′ 时退化为 齐次方程！应该比原方程容易求解。 其次，格林函数G(x, x′) 与非齐次项 f (x) 无关， 物理上非齐次项表明外界的扰动，因而格林函数 G(x, x′) 应该反映系统本身的响应性质。 数学上，只要求出格林函数 G(x, x′)，不同的非齐次项 f (x)，只需将它带入同一个积分即可。 y(x) = a b G(x, x′ ) f (x′ ) x′ 接下来，我们讨论如何求解格林函数G(x, x′ ) 满足的微分方程： x p(x) G(x, x′) x - q(x) G(x, x′) = δ(x - x′) 如前所述，格林函数G(x, x′ ) 的微分方程在 x ≠ x′ 时退化为 齐次方程，相对容易，为此我们假设 x < x′ 时：G(x, x′ ) = G1(x, x′ ) x > x′ 时：G(x, x′ ) = G2 (x, x′ ) 那么在 x = x′ 时如何连接 ？ 一个合理的假设是 ：G(x, x′ ) 在区间 a ≤ x ≤ b 连续，即 lim xx′ G1(x, x′ ) = lim xx′ G2(x, x′ ) 2 z16a.nb
接着,将格林函数G(x,x)的微分方程对x从x-∈到x+∈积分 dG(x, x) x)Gx,x)=6(x-x)两边对x从x-∈到x+E积分 dG(x, x') =1利用了qx),Gx,x)在x连续 glr)G(x, x)dx dg(r, r,) dG(r, x) I P(r) 造格林函数 由齐次方程:4|x)4x1-9),x)=0构造:{xGx=C(n lim G,(x, r)=lim G2(x, r) 2.由边界条件 a, G(a, x)+a,G(a, x)=0 BCb,x)+G(bx)=01mn(x- lim dG(r,r1确定4个待定常数 目例:构造以下非齐次微分方程和边界条件的格林函数 y"-k2y=f(x),0≤x≤L y0)=y(L)=0, 解:格林函数满足的方程 d-GLx, x' k-G(x, x)=o(x-r) dx2 x*x时,退化为齐次方程:{xxG(x)=4c+ lx>x: G(x,x)=Ble**x+Ber A+A2=0 由边界条件:G10、x)=(x)=0→1Bc+BcA=0 GI(r, x)=lim G(x 利用 解得 G(x,1)≈、sinh(kx)sinh(kL-kx) 0<x<x′ G2(x, x) k sinh(k L) 格林函数可改写成如下形式 u(x)v(r) G(x,r)=ur)v(x) 0<x<x分离变量? 这其实反映了互易性质( reciprocity):G(x,x)=G(x,x) 从物理上理解 G(x,x)其实是在空间x处的点源,在空间另一点x的效应 G(x,x)其实是在空间x处的点源,在空间另一点x的效应 对一般体系,两者当然满足互易性质 格林函数仅依赖于微分方程与边条,与非齐次项(外源)无关 旦求得格林函数,非齐次微分方程的解表为: y(x)= G(x, r)f(r,)dr
接着，将格林函数 G(x, x′ ) 的微分方程对 x 从 x′ - ϵ 到 x′ + ϵ 积分 x p(x) G(x, x′ ) x - q(x) G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) 两边对 x 从 x′ - ϵ 到 x′ + ϵ 积分 p(x) G(x, x′ ) x x′-ϵ x′+ϵ = 1 利用了 q(x)，G(x, x′ ) 在 x′ 连续， lim ϵ0 x′-ϵ x′+ϵ q(x) G(x, x′ ) x = 0 lim xx′ G2(x, x′ ) x - lim xx′ G1(x, x′ ) x = 1 p(x′ ) 小结：构造格林函数 1. 由齐次方程： x p(x) G(x, x′) x - q(x) G(x, x′) = 0 构造： x < x′：G(x, x′) = G1(x, x′) x > x′：G(x, x′) = G2 (x, x′ ) 2. 由边界条件： α1 G(a, x′) + α2 G′(a, x′) = 0 β1 G(b, x′) + β2 G′(b, x′) = 0 及 lim xx′ G1(x, x′) = lim xx′ G2(x, x′) lim xx′ G2(x, x′) x - lim xx′ G1(x, x′) x = 1 p(x′) 确定4个待定常数 ☺ 例：构造以下非齐次微分方程和边界条件的格林函数 y′′ - k2 y = f (x), 0 ≤ x ≤ L y(0) = y(L) = 0, 解：格林函数满足的方程 ： 2 G(x, x′ ) x2 - k2 G(x, x′ ) = δ(x - x′ ) x ≠ x′ 时，退化为齐次方程 ： x < x′ ：G1(x, x′ ) = A1 -k x + A2 k x x > x′ ：G2(x, x′ ) = B1 -k x + B2 k x 由边界条件 ：G1(0, x′ ) = G2(L, x′ ) = 0 ⟹ A1 + A2 = 0 B1 -k L + B2 k L = 0 ⟹ G(x, x′ ) = G1(x, x′ ) = A -k x - A k x 0 < x < x′ G2(x, x′ ) = B -k x - B k x-2 k L x′ < x < L 利用： lim xx′ G1(x, x′ ) = lim xx′ G2(x, x′ ) lim xx′ G2(x, x′ ) x - lim xx′ G1(x, x′ ) x = 1 p(x′ ) = 1 解得 G(x, x′ ) = G1(x, x′ ) = - sinh ( k x) sinh(k L - k x′ ) k sinh(k L) 0 < x < x′ G2(x, x′ ) = - sinh ( k x′ )sinh(k L - k x) k sinh(k L) x′ < x < L 格林函数可改写成如下形式 G(x, x′ ) = u(x) v(x′ ) 0 < x < x′ u(x′ ) v(x) x′ < x < L 分离变量？ 这其实反映了互易性质 (reciprocity)：G(x, x′ ) = G(x′ , x) 从物理上理解 ： G(x, x′ ) 其实是在空间 x′ 处的点源 ，在空间另一点 x 的效应 G(x′ , x) 其实是在空间 x 处的点源 ，在空间另一点 x′ 的效应 对一般体系 ，两者当然满足互易性质 。 格林函数仅依赖于微分方程与边条，与非齐次项（外源）无关 一旦求得格林函数，非齐次微分方程的解表为： y(x) = 0 L G(x, x′ ) f (x′ ) x′ z16a.nb 3
z16a.nb g1=Aekx-A世x eq1=(g1/.x→t)-(g2/.x→t) eq2=(D[g2,x]/.x→t)-(D[g1,x]/.x→t)-1 ol= Solve[[eql = 0, eq2 =0),(A, B]] ol= Simplify [9[[11]] gIs= Simplify [gl / sol g2s Simplify [g2/. sol gIs= Simplify [ExpToTrig [gis]] g2s Simplify [ExpToTrig [g2s]] gIs / TraditionalForm g2s // TraditionalFo DSolve[y'i[x]-ky[x] z DiracDelta[x-t], y, x] G= Simplify [y [x]/.%[[1]1] Gl= Simplify[G,x< t G2= Simplify[G,x>t so1= Solve[eq1=0,eq2=0},c[1],c[2]} ol= Simplify [%[[11]] G= Simplify [G/ ls= Simplify [Gl/ G2s Simplify [G2/. sol ls= Simplify [ExpRe G2s Simplify [ExpToTrig [G2s]] implify [g2s-G2s] csch(k L)sinh(k x)sinh(k(L-o) csch(k L)sinh(k n)sinh(k(L
g1 = A -k x - A k x; g2 = B -k x - B k x-2 k L; eq1 = (g1 /. x t) - (g2 /. x t); eq2 = (D[g2, x] /. x t) - (D[g1, x] /. x t) - 1; sol = Solve[{eq1 0, eq2 0}, {A, B}]; sol = Simplify[%[[1]]]; g1s = Simplify[g1 /. sol]; g2s = Simplify[g2 /. sol]; g1s = Simplify[ExpToTrig[g1s]]; g2s = Simplify[ExpToTrig[g2s]]; g1s // TraditionalForm g2s // TraditionalForm DSolve[y''[x] - k2 y[x] DiracDelta[x - t], y, x]; G = Simplify[y[x] /. %[[1]]]; G1 = Simplify[G, x < t]; G2 = Simplify[G, x > t]; eq1 = (G1 /. x 0); eq2 = (G2 /. x L); sol = Solve[{eq1 0, eq2 0}, {C[1], C[2]}]; sol = Simplify[%[[1]]]; G = Simplify[G /. sol]; G1s = Simplify[G1 /. sol]; G2s = Simplify[G2 /. sol]; G1s = Simplify[ExpToTrig[G1s]]; G2s = Simplify[ExpToTrig[G2s]]; Simplify[g1s - G1s] Simplify[g2s - G2s] - csch(k L)sinh(k x)sinh(k (L - t)) k - csch(k L)sinh(k t)sinh(k (L - x)) k 0 0 4 z16a.nb
Clear [f] DSolve [y '[x]-ky[x] = f[x],y, x] ys= Simplify y [x]/.%[[1]]] eq1=ys/.x→0 eq2=ys/.x→L so1= Solve[eq1=0,eq2=0},c[1],c[2]} ys=Simplify [ys / sol[[11]] yt= Integrate[Gf[t], [t,0, L]] Simplify [ys -yt, (0<x<L]] 162偏微分方程的格林函数 现在,再进一步,来看偏微分方程。多变量 这里C是微分算符,暂时认为产代表偏微分方程的3个空间变量。 假设函数定义于区域D,边界为B。满足一定的边界条件 C=V2+k2 Helmholtz算符 lace算符 现在,我们假设这些算符的格林函数GP,P)为: CG(,)=-4x6(-7) 故,对应到微分方程与格林函数满足的微分方程改写为 C(P)=-4丌p(P) CG,)=-4r6(2-F 这里认为算符C所用于空间变量r。4x因子仅为讨论方便 GP,p)×(1)-a0P)×(2)并对积分,得 ,p)C)-0P)CGr=-4x|,r)p)dr+4x6(t-))dr u(r)=G(t, r)p(r)d'r+=G, r)ru(t)-ur)c'G(t, r)dt 假设算符具有 Sturm-Liouville形式: Pp(r)dr1 I G*,r)Iut)-ur)rGr, r)dr Gpds+ Gv(pVan)-aV·( pgDp
Clear[f] f[x_] := x; DSolve[y''[x] - k2 y[x] f[x], y, x]; ys = Simplify[y[x] /. %[[1]]]; eq1 = ys /. x 0; eq2 = ys /. x L; sol = Solve[{eq1 0, eq2 0}, {C[1], C[2]}]; ys = Simplify[ys /. sol[[1]]] yt = Integrate[ G f[t], {t, 0, L}]; Simplify[ys - yt, {0 < x < L}] -k (L-x) L + k (L+x) L + x - 2 k L x (-1 + 2 k L) k2 0 16.2 偏微分方程的格林函数 现在，再进一步，来看偏微分方程。多变量 ℒ u(r ) = -4 π ρ(r ) 这里 ℒ 是微分算符，暂时认为 r 代表偏微分方程的 3 个空间变量。 假设函数定义于区域 D，边界为 B。满足一定的边界条件。 例如： ℒ = ∇2+k2 Helmholtz 算符 ℒ = ∇2 Laplace算符 现在，我们假设这些算符的格林函数 Gr , r ′ 为： ℒ′ Gr , r ′ = -4 π δ r -r ′ 故，对应到微分方程与格林函数满足的微分方程改写为 ℒ′ u(r ′ ) = -4 π ρ(r ′ ) (1) ℒ′ Gr , r ′ = -4 π δ r -r ′ (2) 这里认为算符 ℒ′ 所用于空间变量 r ′ 。4 π 因子仅为讨论方便。 Gr , r ′ ×(1) - u(r ′ )×(2) 并对 r 积分，得： D Gr , r ′ ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr , r ′ 3 r ′ = -4 π D Gr , r ′ ρ(r ′ ) 3 r ′ + 4 π D δ r -r ′ u(r ) 3 r ′ ⟹ u(r ) = D Gr , r ′ ρ(r ′ ) 3 r ′ + 1 4 π D Gr , r ′ ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr , r ′ 3 r ′ 假设算符具有 Sturm-Liouville 形式： ℒ = ∇ ·p(r ) ∇ - q(r ) 或 ℒ′ = ∇′ ·p(r ′ ) ∇′ - q(r ′ ) u(r ) = D Gr , r ′ ρ(r ′ ) 3 r ′ + 1 4 π D Gr , r ′ ℒ′ u(r ′ ) - u(r ′ ) ℒ′ Gr , r ′ 3 r ′ = D G ρ 3 r ′ + 1 4 π D [G ∇′ ·(p ∇′ u) - u ∇′ ·(p ∇′ G)] 3 r ′ z16a.nb 5