复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章 定积分计算 Calculations on definite integrals

cal Physics(2016. 10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU Example2.求函数f(x) 在二=1点的留数。 解一] f(=)= 1+(=-1)+ (=-1)+(=-)+(= (2-1)(2-1)(2-1) Resf(=-= 4!24 解二]z=1是f(z)的五阶极点,因此 de e Res(i) lir li (5-1)!d 4!=→ld=424 (X) Example3.求函数f(z) 在z=i点的留数 解]2+1=(x-0(x+1),二=+是f()的三阶极点,因此 Resf(=lim (=-i) (X) Example4.求函数f(-) 的留数 [解]二=-1是f()的三阶极点,z=∞是本性奇点,因此 Resf(1)=lim, sin 2==-2sin 2=---=2sin 2 Resf(∞)=-2sin2 (X) Example5.求函数f()=-在z=nn(n为整数)的留数 sIn 解一]二=nn是f(=)的单极点,因此 Resf(nz)=lim(=-nr) = lim (=-n) [解二]Resf(nz)= sln二 Example 6. Find the residue of (sin =/1-=1) at 2=

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 6 Example 2. 求函数   5 1 ( )   z e f z z 在 z 1 点的留数。 [解一]               234 1 555 1 1 1 ( ) 1 1 , 111 2! 3! 4! z z e e e e z z z f z z zzz                        Res (1) . 4! 24 e e f   [解二] z 1 是 f (z) 的五阶极点，因此       5 1 4 5 5 1 4 5 1 1 1 d 1 d Res (1) lim 1 lim . 5 1 ! d 4! d 24 1 z z z z e e e f z z z z                   （X）Example 3. 求函数   3 2 1 1 ( )   z f z 在 z i  点的留数。 [解] 2 z z i z i     1 ( )( ), z i  是 f (z) 的三阶极点，因此       2 2 3 2 2 3 3 2 1 d 1 1 d 1 3 Res ( ) lim . 2! d 2 d 16 1 z i z i i f i z i z z z z i                          （X）Example 4. 求函数   3 sin 2 ( ) 1 z f z z   的留数。 [解] z 1 是 f (z) 的三阶极点， z  是本性奇点，因此 2 2 1 1 1 d Res ( 1) lim sin 2 2sin 2 | 2sin 2. 2! d z z f z z z          Res ( ) 2sin2. f    （X）Example5. 求函数 z f z sin 1 ( )  在 z  n ( n 为整数)的留数。 [解一] z  n 是 f (z) 的单极点，因此         1 ' Res ( ) lim lim 1 . sin sin ' n z n z n z n f n z n z z                    [解二]     1 1 Res ( ) 1 . sin ' cos n z n z n f n z z          Example 6. Find the residue of     4 sin z / 1 z at z i 

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU [解一]二=i是∫(=)的单极点,因此 sin sIn sInI Resf(i=lim(z-i =lim e - e-e nh(1) (2)(4)84 [解二]Resf()= sln二 sIn SIn I -sinh(D) Example7.求函数f()=e (实常数m≠0)的留数 [解]二=土i是∫(z)的一阶极点,二=∞是本性奇点(高振荡),因此 Resf()===y’Res(-)=e Resf(oo)=-Resf(i)+resff-D=(e-m-e)=-isinh m (X) Example8.求函数f(x)= 2(-a)(z-B) (aB=1,a≠B)的留数 解]二=a,B是f(=)的一阶极点,二=0是二阶极点,f(∞)=1解析,因此 Rey(a)=(-1)=(-D1=(a-1(ay=a-B (二-B) =B-a Resf(0)是=2f()在z=0附近 Taylor展式中的一次项a1z的系数a1 z2f(二)= (z2-1)2(x2-1)2 (二-a)(2-B)a-B a-BBTB +2+…)--(1+-+…)= a-BB a Rest(o) a-BB =a+B,(放心取(2-1)2项z=0) Resf(oo)=-Resf(a)+Resf(B)+resf(o]=a+B)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 7 [解一] z i  是 f (z) 的单极点，因此      4 2 i 1 1 sin sin sin Res ( ) lim lim 1 4 1 z 1 sinh(1). (2 )(4 ) 8 4 z z i z z i f i z i z i z i e e e e i i                       [解二]   3 3 4 sin sin sin 1 Res ( ) sinh(1). 4 4 4 1 z i z i z z i f i z i z           Example 7. 求函数 2 ( ) 1 imz e f z z   (实常数 m  0 )的留数。 [解] z i 是 f (z) 的一阶极点， z  是本性奇点（高振荡），因此 Res ( ) ; Res ( ) ; 2 2 imz m imz m z i z i e e e e f i f i z i i z i i            Res ( ) [Res ( ) Res ( )] ( ) sinh . 2 i m m f f i f i e e i m           (X) Example 8. 求函数 2 2 2 ( 1) ( ) ( )( ) z f z z z z       (      1, )的留数。 [解] z  , 是 f (z) 的一阶极点， z  0 是二阶极点， f ( ) 1   解析，因此 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1/ ) Res ( ) ; ( ) ( ) z z f z z                          2 2 2 ( 1) Res ( ) ; ( ) z z f z z            Res (0) f 是 2 z f z( ) 在 z  0 附近 Taylor 展式中的一次项 1 az 的系数 1 a : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 1 ( ) ( )( ) ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 (1 ) (1 ) . z z z f z z z z z z z z z z                                                                          2 2 1 1 1 Res (0) ; f                   (放心取 2 2 ( 1) z  项 z  0). Res ( ) [Res ( ) Res ( ) Res (0)] ( ). f f f f            

6.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 留数定理在定积分计算中的应用 Residue theorems application to the definite integral calculations) A.基本思路与方法: 目标:为了计算实函数f(x)在整个实轴上或实轴上某一线段I 上的积分[f(x)dx,可分为以下三个步骤(方法) 1.将f(x)看作复变函数f(z)当z=x的特殊情况,即将f(x)延 拓至复平面F(z)(f()和F(2)之间有千丝万缕的关系) 2.将实积分路径改变为复平面闭曲线,其内部为D一一或做变 换,将b变为闭曲线,或补一段bMa使其成为闭曲线。 3.在D上对F()或f()应用留数定理计算闭路上的积分,这样就把实轴上 f(x)的积分转化为计算f()在D内奇点的留数以及「f()d了。即 bMa ∫(x)dx+f()=手/(d=2n2Rey(=) Key: f()d==?(see the Lemma 1, 2 and 3 below) B.基本类型 1.DR( sin x,cos x)x,其中R( sin x,cos])是mnx.sx的有理式 方法:作单位园变换z=e",x∈[0,2r],即将0~2x的直线路径变为单位圆 周=1路径。并且smx=5,csx=+,dx=d,则 --=-=+2-1 R(sinx,cosx)dx=中,R 令F()=R ,那么 ∫R( sin x, cos x,)x=2∑Rs(c) Example 1. I=Lsinxdx

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 8 二、留数定理在定积分计算中的应用 (Residue theorem’s application to the definite integral calculations) A. 基本思路与方法： 目标：为了计算实函数 f (x) 在整个实轴上或实轴上某一线段 I 上的积分  b a f (x)dx ，可分为以下三个步骤（方法）： 1．将 f (x) 看作复变函数 f (z) 当 z  x 的特殊情况，即将 f (x) 延 拓至复平面 F z( ) ( f (z) 和 F z( ) 之间有千丝万缕的关系)。 2．将实积分路径改变为复平面闭曲线，其内部为 D——或做变 换，将 ab 变为闭曲线，或补一段 bMa 使其成为闭曲线。 3． 在 D 上对 F z( ) 或 f (z) 应用留数定理计算闭路上的积分，这样就把实轴上 f (x) 的积分转化为计算 f (z) 在 D 内奇点的留数以及 bMa f (z)dz 了。即 b a bMa ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ). j l j    f x x f z z f z z i f z      bMa Key : ( )d ? ( f z z   see the Lemma 1,2 and 3 below) B. 基本类型: 1. Rsin x, cos xdx 2 0  ，其中 R(sin x,cos x) 是 sin x,cos x 的有理式。 方法：作单位园变换 ix z  e ，x 0,2 ，即将 0 ~ 2 的直线路径变为单位圆 周 z 1 路径。并且 1 1 1 sin , cos , d d 2 2 z z z z x x x z i iz        ，则   1 1 2 0 1 1 sin ,cos d , d z 2 2 z z z z R x x x R z i iz                . 令 1 1 1 ( ) , 2 2 z z z z F z R iz i            ，那么   2 0 z 1 R x x x i F z sin ,cos d 2 Res ( )       . Example 1. I sin xdx 0 2   

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 解一]I 1-cos(2x) (简单!) [解 SIn xax= dz 22i)g =(2x) R 2 1(-2)=2 Example 2. I dx (a>b>0) a+bcosx F(=)= 其中 +b . bi 2a 2+2z+1 2b=2(=-1)(x-2 5-+ ,1二2=1 b b [韦大定理:Ax2+Bx+C=0的两个根x1,x2满足xx2=C/A,x+x2=-B/A] 在单位圆(<1内F()有两个孤立奇点z=0(二阶奇点),z=1(-阶奇点 =2(-阶奇点)在单位圆(>1)外。因此,我们有 ReSF(=m(F()=(+)= ReSF(=)=lmn[(=-=)F(-)] 2bi 1=2ri.[ResF(O)+ResF(=)]=2mil 2丌 bi 三个引理: 引理1(大圆弧引理)如果f()在区域D:Rs|-d<∞,O≤argz-a)≤B2 上连续,且当x(z∈D)→∞时,(z-a)f(z)一致地趋于K,简记为(x-a)f(=)→K 则m[f()d=K(2-),其中C是以a为圆心,R为半径,夹角为B-的 圆弧,|-d=Ra≤ag(z-a)≤B

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 9 [解一] 2 d 2 1 cos(2 ) 0       x x I .（简单！） [解二] 2 1 2 2 2 3 1 z 1 2 2 3 0 1 1 1 1 ( 1) sin d d d 2 2 2 8 1 ( 1) 1 (2 ) Res = (2 ) ( 2) . 8 8 2 z z z z z I x x z z i iz i z z i i i z i                                                  展开 Example 2. d (a b 0) cos 2 sin 0 2       x a b x x I . [解]        2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 1 2 z z i z z F z iz bi bi z z z z z z z a a b z z z b                             , 其 中 2 2 2 2 1 2 , , a a b a a b z z b b         1 2 z z 1. [韦大定理: 2 Ax Bx C    0 的两个根 1 2 x x, 满足 1 2 1 2 x x C A x x B A     / , / ]. 在单位圆 ( z  1) 内 F(z) 有两个孤立奇点: z  0 （二阶奇点）， 1 z  z （一阶奇点）。 2 z z  （一阶奇点）在单位圆 ( 1) z  外。因此，我们有   2 1 2 2 0 d 1 Res (0) lim ( ) . z d 2 a F z F z z z  z bi ib          计算     1 2 2 1 1 1 2 2 1 Res ( ) lim ( ) . z z 2 i F z z z F z z z a b  bi b            计算     2 2 1 1 2 1 2 2 Res (0) Res ( ) 2 2 . 2 I i F F z i z a a b bi b                   三个引理： 引理 1(大圆弧引理):如果 f (z) 在区域 D：R  z  a  ， 1 2   arg(z  a)  上连续，且当 z z( D)   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 K ，简记为 ( ) ( ) , z a f z K   则   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR ，其中 CR 是以 a 为圆心， R 为半径，夹角为  2 1 的 圆弧， 1 2 z a R z a      , arg( ) .  

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 证明:因为[=12-),所以 =(=-a)f()-k) s[(=-a)/()-kl 由于当B≤ag(z-a)≤B2,→∞时,(z-a)f(-)一致地趋于K,这意味着任 给E>0,存在[与arg(-a)无关,D内各向同性的]M(E)>0,使当|-a=R>M 时,(=-a)f(=)-k1<,所以f()d-i(2-)<a(a2-)(z-a=Re,大 模之比R/R=1,仅仅积分相位即可),即mn[f(k=(2-)(方向正向)。 引理2(小圆弧引理):若函数f(-)在区域D:0<-≤r, G≤arg(-a)≤O2上连续,且当x(x∈D)→a时,(x-a)f()致地趋于k, 则im[f(d=i(2-),其中C是以a为圆心,r为半径,夹角为B2-的 圆弧,|=-a=rsag(x-a)≤B2 证明:因为 i(2-B) (n(r,p)=.=d= n+1)6 e(+-11(9=2-B,N 11(r,q)=i0,m2r=(0.)q≠2N/(n+1)]=(0,∞),r→0小圆弧引理 n:(r,2z)=0,ln2[r=(0,.)≠2N/(n+1)=(,0),r→∞大圆弧引理。 亦即,高阶极点的一段圆弧的积分发散,而整个圆弧的回路积分为零;或者说, 虽然复平面是各向同性的,但是积分值与相对位相差相关}所以 计(小 (2-a)()-k 32=a5k=-a)(-k 由于当≤arg(z-a)≤B2,z→a时,(x-a)f()致地趋于k,这意味着任给

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 10 证明：因为   2 1 d      i z a z CR ，所以     2 1 ( )d ( ) d d ( ) ( ) d ( ) ( ) . R R R R C C C C K f z z iK f z z z a z z a f z K z a z z a f z K z a                          由于当 1 2   arg(z  a)  ， z   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 K ，这意味着任 给   0 ，存在[与 arg(z  a) 无关，D 内各向同性的] M()  0 ，使当 z a R M    时， (z  a) f (z)  K   ，所以     d 2 1 2 1 ( )        CR f z z iK （ , i z a Re    大 模之比 R R/ 1  ，仅仅积分相位即可），即   d 2 1 lim ( )      f z z iK R CR （方向正向）。 引 理 2( 小 圆 弧 引 理 ) ：若函数 f (z) 在区域 D ： 0  z  a  r ， 1 2   arg(z  a)  上连续，且当 z z a ( D)   时， (z  a) f (z) 一致地趋于 k ， 则  2 1  0 lim ( )d Cr r f z z ik       ，其中 Cr 是以 a 为圆心， r 为半径，夹角为  2 1 的 圆弧， 1 2 z a r z a      , arg( ) .   证明: 因为   2 1 d      i z a z Cr ，   1 ( 1) 0 1 ( 1) 2 1 { ( , ) d d [ 1], , 1, 2, 1 i r z re n n i n n c n i n I r z z ir e r e N n                           1 I r i  ( , ) ;    0 [ (0, ), 2 / ( 1)] (0, ), n I r N n          r 0 小圆弧引理； -1( ,2 ) 0; n I r    -2[ (0, ), 2 / ( 1)] ( ,0), n I r N n          r  大圆弧引理。 亦即，高阶极点的一段圆弧的积分发散，而整个圆弧的回路积分为零；或者说， 虽然复平面是各向同性的，但是积分值与相对位相差相关} 所以     2 1 ( )d ( ) d d d = ( ) ( ) ( ) ( ) . r r r r C C C C k f z z ik f z z z a z z z a f z k z a f z k z a z a                         由于当 1 2   arg(z  a)  ， z  a 时， (z  a) f (z) 一致地趋于 k ，这意味着任给