Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU Chapter1复数和复变函数 复数的基本概念( Basic concepts of complex number) 形如a+ib(a,b∈R,i=√-1)的数称为复数。(两元素两算子与四元素四算子) 复数( Complex number)的三种形式 1)=x+ijy=p(osq+isn)=pe°,(x,y∈Rp,∈R) 代数式:z=x+iy;(缺点:无法表示多值函数的高相位) 三角式:x=p(cosg+isn);(极坐标系下的表示) 指数式:==pe°,其中e"=∑q) e=cosq+ Isin称为欧拉公式 2)一些术语( terminology)和符号( notation): Rez=x,实部( Real part),Imz=y,虚部( Imaginary part) =mdz=p=√x2+y2,模( Modulus),g称为幅角( Argument 记作Arg.而将满足0≤q0≤2n或-丌≤q0≤丌的φ值称为幅角的 主值或主幅角,记为arg,因此有Ag=argz+2nx(n=0±1+2…) 当取-≤argz≤π时,有关系 arctan x=0,y>0 =0,y<0 丌+ arctan arctan x<0,y 3)(or)=x-iy=p(cosg-isnp)=pe-,(orz)称为的复共轭 或共轭复数( Complex conjugate of 2),当然,z也是(orx)的复共轭
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 1 复数和复变函数 一、复数的基本概念 (Basic concepts of complex number) 形如 a + ib ( a,b R ，i 1 = − )的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子） 1．复数（Complex number）的三种形式： 1) ( ) i z = x + iy = cos + isin = e ，（ x, y R, , R ） 代数式： z = x + iy ;（缺点：无法表示多值函数的高相位） 三角式： z = (cos + isin ) ;（极坐标系下的表示） 指数式： i z = e ， 其中 ( ) = = 0 ! 1 n i n i n e . = cos + isin i e 称为欧拉公式。 2) 一些术语（terminology）和符号(notation): Re z = x , 实部（Real part）, Im z = y ，虚部（Imaginary part）. 2 2 z = mod z = = x + y ，模（Modulus）, 称为幅角（Argument）， 记作 Argz. 而将满足 0 0 2 或 − 0 的 值称为幅角的 主值或主幅角，记为 arg z ，因此有 Argz = arg z + 2n (n = 0,1,2). 当取− arg z 时，有关系 3) ( ) * i (or ) i cos isin − z z = x − y = − = e ， (or ) * z z 称为 z 的复共轭 或共轭复数(Complex conjugate of z )，当然， z 也是 (or ) * z z 的复共轭。 arctan 0 0, 0 2 arg 0, 0 2 arctan 0, 0 arctan y x x x y z x y y x y x y x = = − = + − + 0, 0 x y
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 注意:*复数无大小。但它们的模之间可以比较大小 *1=2的充要条件为Re==Re=2,m=m=2 单值可以,多值时没有定义幅角);B=n21=q2可以) 2.复数的几何表示: 复平面( Complex plane):通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点(x,y) 或(,q)与复数x+iy或P做成一一对应, 此时的平面称为复平面,其自由矢量为 (讨论:E在哪里?) 3.复数的运算规则 x +iy=Pcos, +isin =p, =x,+iy,=P, cos@,+isin p,)=p,e" 1)加法:x1+z2=(x1+x1)+(1+y2)满足交换律和结合律。 减法:x1-2=(x1-x2)+vn-y2) 加减法的几何解释与向量加减法相似,三角形法则(自由矢量,可以平移) 2)乘法:(ii=i2=-1)一—和多项式乘法一样 x1·z2=(x1x2-yy2)+(xy2+x2y1) P1p2 cos(@,+2)+isin(@, +p2 =nP2e9+吗) 1=2=PP2==|2乘积的模=模的乘积。 Arg(x1…=2)=a1+2=Arg1+Arg2,乘积的幅角=幅角的和 特别地,= 乘法的几何解释:在0x轴上取单位线段OI, 作△O=2P和△O/相似,那么P点就表示 乘积x1=2这是因为|=1|/14=|1=2 (|H=1‖12D
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 2 注意：* 复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。 ** 1 2 z = z 的充要条件为 1 2 1 2 Re z = Re z ,Imz = Imz (单值可以，多值时没有定义幅角); , . 1 = 2 1 =2 (可以) 2．复数的几何表示： 复平面（Complex plane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点 (x, y) 或 (,) 与复数 x + iy 或 i e 做成一一对应， 此时的平面称为复平面, 其自由矢量为 （讨论： z 在哪里？） 3．复数的运算规则： 设 ( ) 1 i 1 1 1 1 1 1 1 i cos isin z = x + y = + = e ， ( ) 2 i 2 2 2 2 2 2 2 i cos isin z = x + y = + = e . 1) 加法： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z + z = x + x + i y + y 满足交换律和结合律。 减法： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z − z = x − x + i y − y . 加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。 2) 乘法：（ i i i 1 2 = = − ）——和多项式乘法一样 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . cos isin i 1 2 i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 + = = + + + = − + + e z z x x y y x y x y 1 2 1 2 1 2 z z = = z z , 乘积的模=模的乘积。 Arg( ) Arg Arg 1 2 1 2 1 2 z z z z = + = + ，乘积的幅角=幅角的和。 特别地， 2 zz = z . 乘法的几何解释：在 0x 轴上取单位线段 0I， 作 0z2P 和 0 1 Iz 相似，那么 P 点就表示 乘积 , 1 2 z z 这是因为 1 2 | | /1 | | / | |. z z z = 1 2 (| | | || |) z z z =
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 3)除法:假设z1≠0, =1 xx+ yy2,,,xy2-x,y P P Ar =(2-1=Arg2-Arg=1 几何解释(-):先看(即设) (cosg+ I Sin g),若 <1,过二点作射线Oz的垂线,交单 位圆周于T,过T作单位圆周的切线 这条切线与Oz的交点就是z 而它 关于x轴的对称点为 设z点到点的距离为n,则图示三个直角三角形之间存在如下关系: TIz|=(p+n)2-1=1-p2+n2,解得p+n=-=2 若>1,只需先作切线,再作垂线。若1=1,x=z 4)整数幂 z"=p"(cosmo +isin no)=p"e ing (cosg+ ISIn p)y= coSmo+ Isin ngp- -De moivre公式 4.(X)复数运算的一些基本性质:(两个重要不等式 1)|1±21|=+|=2|,三角形两边之和大于第三边 1±22||-=1,三角形两边之差小于第三边
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 3 3) 除法：假设 z1 0, ( ) ( ) ( ) . cos isin 1 2 1 i 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 − = = − + − + − + + + = = e x y x y x y i x y x x y y z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 z z z z = = ， 2 2 1 2 1 1 Arg Arg Arg z z z z = − = − . 几何解释（ z 1 ）：先看(即设) ( ) cos sin 1 1 2 i z z z z = = = + ，若 z 1 ，过 z 点作射线 Oz 的垂线，交单 位圆周于 T，过 T 作单位圆周的切线， 这条切线与 Oz 的交点就是 z z 1 = ，而它 关于 x 轴的对称点为 z 1 . 设 z 点到 z 点的距离为 ，则图示三个直角三角形之间存在如下关系： 2 2 2 |Tz'|=( ) 1 1 , + − = − + 解得 1 1| |. z + = = 若 z 1 ，只需先作切线，再作垂线。若 z = 1， z = z . 4) 整数幂： ( ) n n n in z = cosn + isin n = e , ( i ) n i n n cos + sin = cos + sin ----De Moivre 公式。 4．（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式） 1） 1 2 1 2 z z z + z ， 三角形两边之和大于第三边; 1 2 1 2 z z z − z ， 三角形两边之差小于第三边
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 证明:利用Rez=x≤√x2+y2=| 12+1=2=2R(2)≤211|=2|=| (1±2)(土2)=|=F+|2 )(|±12D) 2) 3)x1·=2=E1 21 5.复球面与无穷远点: 考虑一个半径为R的球面S (x2+x2+(x3-R)2=R2),点(0,0,0)称为 南极,与复平面Ox1x2的原点重合,点(00,2R) 称为北极,记为N.对于C中的任一有限远 点z,它与N连接的直线只与S交于一点 反之,球面S上任意一点5(N点除外),它与N连接的直线也只与C交 于一点z.所以,除N点外,球面S上的点和复平面C上的点都是一 对应的。对于N点,我们发现,当→+∞时,5→N,因此在复平面 C中引进一个理想点,作为与N对应的点,称为无穷远点,记为z=∞.加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面,也叫闭复平面,记为C=CU{叫 不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面,也叫(开)复平面。这样, C与S建立起来的一一对应,称为球极射影。S称为复球面。 注意:☆无穷远点只有一个,其模为+∞,而幅角是不确定的。 **同样对于z=0点,其模为0,幅角是不确定的。 *二=→5==0:作5=变换,或复球面均是就|大而言, 其中为N与5点之间的距离
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 4 证明：利用 z = x x + y = z 2 2 Re , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2Re( ) 2 2 , ( )( ) ( ) ( ) . z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z + = = = + + 2） 1 2 1 2 z z = z z . 3） 1 2 1 2 z z = z z . 1 2 1 2 z z z z = . 5．复球面与无穷远点： 考虑一 个 半 径 为 R 的 球 面 S （ 2 2 3 2 2 2 1 x + x + (x − R) = R ），点(0,0,0)称为 南极，与复平面 1 2 Ox x 的原点重合，点(0,0,2R) 称为北极，记为 N. 对于 C 中的任一有限远 点 z ，它与 N 连接的直线只与 S 交于一点 . 反之，球面 S 上任意一点 （N 点除外），它与 N 连接的直线也只与 C 交 于一点 z . 所以，除 N 点外，球面 S 上的点和复平面 C 上的点都是一一 对应的。对于 N 点，我们发现，当 z → + 时， → N ，因此在复平面 C 中引进一个理想点，作为与 N 对应的点，称为无穷远点，记为 z =. 加 上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为 C C . = 不包含无穷远点的复平面 C 称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样， C 与 S 建立起来的一一对应，称为球极射影。S 称为复球面。 注意：* 无穷远点只有一个，其模为 + ，而幅角是不确定的。 **同样对于 z = 0 点，其模为 0，幅角是不确定的。 *** 1 z 0 z = = = ：作 1 z = 变换，或复球面均是就 z 大而言， 其中 为 N 与 点之间的距离
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMaaPhys FDU 、复变函数( Functions of complex variable) 1.区域的概念(复习): 点集E:由复数点组成的集合。 例如,<1,表示以原点为圆心,半径为1的圆(单位圆)的内部。 +1+-l=4,表示以±1为焦点,半长轴为2的椭圆 点-的邻域:对于实数δ>0,满足条件--<6的点的全体称为=0点 的δ邻域,记为(=0;6) ∞点的邻域:满足条件|>R(R是正实常数)的所有点z的集合,即 以点二=0为圆心,R为半径的圆的外部,记为(∞,R)。 点集E的内点:设平面上给定一点集E,如果z。及其某邻域Ⅳ(=ai,δ)的 点全部属于E,则称z0为点集E的内点。 点集E的外点:设平面上给定一点集E,如果。及其某邻域V(=0;δ)的 点全部不属于E,则称=0为点集E的外点 点集E的边界点:设平面上给定一点集E,如果0的任一邻域中都含有 E和非E的点,则称=0为点集E的边界点。 区域D:满足下面两条的点集称为区域。 a)D为开集:D中的每一点都是内点→区域全由内点组成 b)D是连通集:对于D中的任意两点,总可以用某一曲线段连接 起来,而这条曲线上的所有点都属于该点集→区域内点连通 闭区域D:由区域D及其全部边界点所组成的点集,闭域D通常记为D 单连通域:在连通域D中任作闭曲线,若该曲线内部的点全部属于D, 则称D为单连通域。否则称D为复连通域!(请讨论之! 有界域D:若存在有限大的圆=R,使得Dc(0R),则称D为有界 域,否则为无界域(有界域离散量子数无界域连续量子数)
Methods of Mathematical Physics (2014.03) Chapter 1 Complex number and functions of complex variable YLMa@Phys.FDU 5 二、复变函数（Functions of complex variable） 1. 区域的概念（复习）： 点集 E：由复数点组成的集合。 例如， z 1 ，表示以原点为圆心，半径为 1 的圆（单位圆）的内部。 z +1 + z −1 = 4 ，表示以 1 为焦点，半长轴为 2 的椭圆。 点 0 z 的邻域：对于实数 0 ，满足条件 z − z0 的点的全体称为 0 z 点 的 邻域，记为 ( ; ) 0 V z 。 点的邻域：满足条件 z R （R 是正实常数）的所有点 z 的集合，即 以点 z = 0 为圆心，R 为半径的圆的外部，记为 V(;R)。 点集 E 的内点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域 ( ; ) 0 V z 的 点全部属于 E，则称 0 z 为点集 E 的内点。 点集 E 的外点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 及其某邻域 ( ; ) 0 V z 的 点全部不属于 E，则称 0 z 为点集 E 的外点。 点集 E 的边界点：设平面上给定一点集 E，如果 0 z 的任一邻域中都含有 E 和非 E 的点，则称 0 z 为点集 E 的边界点。 区域 D：满足下面两条的点集称为区域。 a）D 为开集: D 中的每一点都是内点 区域全由内点组成； b) D 是连通集: 对于 D 中的任意两点，总可以用某一曲线段连接 起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集 区域内点连通。 闭区域 D ：由区域 D 及其全部边界点所组成的点集，闭域 D 通常记为 D . 单连通域：在连通域 D 中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于 D， 则称 D 为单连通域。否则称 D 为复连通域！（请讨论之！） 有界域 D：若存在有限大的圆 z = R ，使得 D V(0;R) ，则称 D 为有界 域，否则为无界域 （有界域离散量子数无界域连续量子数）