复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章 定积分计算 Calculations on definite integrals

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU Chapter5定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用—一定积分、积分主值 、留数定理和留数的求法( Residue theorem and residue calculations 1.留数的定义:设z0是函数f()的孤立奇点( (isolated singularity),即除过 z==0点以外函数f(-)是解析的,则f(=)在〓0的留数定义为 Res(=)=∮f()d,其中c为绕=的闭曲线(f积分沿正方向进 行)且内部无其它奇点,记号为Res()=或Res(=) (1)有限远孤立奇点的留数:f(-)在=0邻域(0<-<)内(不含 其它奇点)的罗朗级数( Laurent series)展开的-1次幂项(z-z0)的 系数a,称为/(=)在奇点的留数。即Re()=2079/( 2d2=a 此定义基于如下的事实: )=∑4(-y,其中4=2m:3y4 令函数f()沿以孤立奇点二0为中心的一个圆周c积分 f()d=5∑a-=)d=∑fa(=-=)d, 而∮(z )d/2mi(k=-1) 0 (k≠-1所以∮f()d=27a 可见,级数中仅仅a1(=-=0)项对积分有贡献,积分后唯有a这个系 数留下来,故名之为留数( residue) (2)无穷远点的留数:f()在以=0=0为中心,环R<|<∞内(不含 其它奇点)的罗朗级数展开的-1次幂项(z-=)的系数a1的反号称为 (在点的留数。即Rey()=1/()=a1(此定义直观

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 5 定积分计算 Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值 一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations) 1．留数的定义：设 0 z 是函数 f (z) 的孤立奇点(isolated singularity)，即除过 0 z z  点 以 外 函 数 f (z) 是 解 析 的 ， 则 f (z) 在 0 z 的 留 数 定 义 为 0   1 Res ( ) d 2 c f z f z z i   ，其中 c 为绕 0 z 的闭曲线（ c 积分沿正方向进 行）且内部无其它奇点，记号为 0 Res ( ) z z f z  或 Res ( ) 0 f z . （1）有限远孤立奇点的留数： f (z) 在 0 z 邻域 (0 ) 0  z  z  r 内（不含 其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 1 次幂项 1 0 ( )  z  z 的 系数 a1 称为 f (z) 在奇点 0 z 的留数。即 0 1   1 Res ( ) d 2 c f z f z z a i     . 此定义基于如下的事实：        k k k f z a z z0 ( ) ，其中 1 0 1 ( ) d 2 ( ) k k c f z a z i z z     . 令函数 f (z) 沿以孤立奇点 0 z 为中心的一个圆周 c 积分                  k c k k c k k k c f (z)dz a z z dz a z z dz 0 0 ， 而  0  2 ( 1) d 0 ( 1), k c i k z z z k            所以 1 ( )d 2 c  f z z ia    . 可见，级数中仅仅   1 1 0  a z  z 项对积分有贡献，积分后唯有 a1 这个系 数留下来，故名之为留数(residue). （2）无穷远点的留数： f (z) 在以 z0  0 为中心，环 R  z   内（不含 其它奇点）的罗朗级数展开的1 次幂项 1 0 ( )  z  z 的系数 a1 的反号称为 f (z) 在  点的留数。即   1 1 Res ( ) d 2 c f f z z a i       （此定义直观）

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 这是因为:对于无穷远点,以=∞为展开中心、在区域R<|<∞ 里展开的罗朗级数与以=0=0为中心、在区域R<1<∞展开的罗朗级 数有相同的形式:f()=∑a2.换言之,以=0为中心、在区域 ke-on R<|-b<∞展开罗朗级数亦可,其中b任意(实际为=∞的邻域)。 ( Chapter 1:无穷远点只有一个,其模+∞,而幅角不定)。 同时注意到,对无穷远点的邻域来讲,cB的正方向为顺时针方向。因此, ∮(∮∑4==∑∮42=∑∮a=d=-2zin clockwise clockwise clockwise counter clockwise 2.留数定理:如果f(=)在区域D中有n个孤立奇点1,2,…,n,而除 了这些奇点外,∫(=)是解析的,那么 ∮/()+∮/(+…+∮( =2ri[Resf(=1)+Resf(=2)+.+Resf(=) =2x∑Resf(-k) 其中c1,c2…cn分别是围绕奇点1,-2,…,〓n的小圆周(反方向,与外界l同 方向),再根据复连通域的柯西定理( Cauchy' s theorem),可以得到 ∮/(=∑∮/()d=2n2Resf() l是区域D的外境界线,也可以是境界线之内的任一条闭合曲线,只要它 包围n个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]:如果函数f()在闭曲线l所围的区域内,除具有有限个孤立 奇点( isolated singularities)z=A(k=1,2,…,n)外是解析的,在上也是解析 的,则f(=)沿l的回路积分(逆时针方向)等于f()在1内所有奇点的留 数之和的27倍,即∮(=2m∑Res(e)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 2 这是因为：对于无穷远点，以 z   为展开中心、在区域 R  z   里展开的罗朗级数与以 z0  0 为中心、在区域 R  z   展开的罗朗级 数有相同的形式: ( ) . k k k f z a z     换言之，以 z0  0 为中心、在区域 R z b     展开罗朗级数亦可，其中 b 任意（实际为 z   的邻域）。 (Chapter 1:无穷远点只有一个，其模   ，而幅角不定)。 同时注意到，对无穷远点的邻域来讲, R c 的正方向为顺时针方向。因此， 1 ( )d d d d 2 . clockwise clockwise clockwise counter clockwise R R R R k k k k k k c c c k k k c f z z a z z a z z a z z ia                       2． 留数定理：如果 f (z) 在区域 D 中有 n 个孤立奇点 n z ,z , ,z 1 2  ，而除 了这些奇点外， f (z) 是解析的，那么 其中 n c , c , , c 1 2  分别是围绕奇点 n z ,z , ,z 1 2  的小圆周(反方向, 与外界 l 同 方向)，再根据复连通域的柯西定理（Cauchy’s theorem），可以得到 1 1 ( )d ( )d 2 Res ( ) k n n k k k l c f z z f z z i f z          , l 是区域 D 的外境界线，也可以是境界线之内的任一条闭合曲线，只要它 包围 n 个孤立奇点并且沿确定(正)方向围绕奇点一圈。这就是留数定理。 [留数定理]：如果函数 f (z) 在闭曲线 l 所围的区域内，除具有有限个孤立 奇点(isolated singularities) ( 1,2, , ) k z z k n   外是解析的，在 l 上也是解析 的，则 f (z) 沿 l 的回路积分（逆时针方向）等于 f (z) 在 l 内所有奇点的留 数之和的 2i 倍，即 1 ( )d 2 Res ( ). n k l k f z z i f z        1 2 1 2 1 ( )d ( )d ( )d 2 Res ( ) Res ( ) Res ( ) 2 Res ( ), n c c c n n k k f z z f z z f z z i f z f z f z i f z               

6.10) Chapter 5 Calculations on definite integral YLMa@Phys. FDU 2.留数定理的推论:若f(=)在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点 外处处解析,则f(=)在全平面上全部留数之和为零(挖去所有奇点并且计及 无穷远点):∑Resf()=∑Resf()+Resy(a)=0 =1(=k<∞) 说明 *留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系, 体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关 联这个性质的又一表现,即它是单(复)通域 Cauchy定理的推广(变形)。 * Laurent series I的负幂次由有限内环r内的奇异性引起,其积分方向为∮ Laurent series的正幂次由有限内环r以外(即外环R以外甚至直接至∞)的奇 异性引起,其积分方向为 *二=∞可以是函数f()的奇点亦可以不是奇点,只要存在-a1它就是无 穷远点的留数Resf(∞) 3.留数的求法( Residue calculations) (定义是定义,定理是定理,计算留数是另一回事) (1)罗朗级数法:一般地,对于本性奇点,例如f(=)中含指数函数、三角函 数(e,sinx…)等,虽然极点是高阶的,罗朗级数展开有无穷多项,但 是我们仅仅需要与a_1相关的项即可,这样往往比较简单。 (2)可去奇点:若b是f(=)的可去奇点(b≠∞),limf()有限,则Resf(b)=0 注意:即使∞点是f(x)的可去奇点,其留数也不一定为0,除非f()在 切有限远点的留数之和为0.例如,f(=)=1+1/=, Resf(∞)=-1,Resf(0=1 (3)高阶极点( Multiple pole, high order pole):若b是f(=)的m(m≥1)阶极点, 即f()=∑a(=-b)(a-m≠0)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 3 2． 留数定理的推论：若 f (z) 在闭复平面内(包括无穷远点)除有限个孤立奇点 外处处解析，则 f (z) 在全平面上全部留数之和为零（挖去所有奇点并且计及 无穷远点）： 1( ) Res ( ) Res ( ) Res ( ) 0. k n k k z f z f z f         说明： * 留数定理表明了解析函数沿闭曲线的积分与它的孤立奇点之间的关系， 体现了解析点与奇点的内在联系。这是解析函数在不同点取值之间的相互关 联这个性质的又一表现，即它是单(复)通域 Cauchy 定理的推广(变形)。 ** Laurent series 的负幂次由有限内环 r 内的奇异性引起，其积分方向为 ; r Laurent series 的正幂次由有限内环 r 以外(即外环 R 以外甚至直接至  )的奇 异性引起，其积分方向为  R . *** z  可以是函数 f (z) 的奇点亦可以不是奇点，只要存在 1 a ,   它就是无 穷远点的留数 Res ( ). f  3．留数的求法（Residue calculations） (定义是定义，定理是定理，计算留数是另一回事)。 (1) 罗朗级数法: 一般地，对于本性奇点，例如 f (z) 中含指数函数、三角函 数（ e z ,sin z,  ）等，虽然极点是高阶的，罗朗级数展开有无穷多项，但 是我们仅仅需要与 a1 相关的项即可，这样往往比较简单。 (2)可去奇点：若 b 是 f (z) 的可去奇点( b   ), lim ( ) z b f z  有限, 则 Res ( ) 0. f b  注意：即使  点是 f (z) 的可去奇点，其留数也不一定为 0 ，除非 f (z) 在 一切有限远点的留数之和为 0 . 例如， f (z) 11/ z, Resf ()  1, Resf (0) 1. (3)高阶极点(Multiple pole，high order pole)：若 b 是 f (z) 的 m (m 1) 阶极点， 即 ( )     (  0)     m k m k f z ak z b a

6.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU Rest(b) =-b)f( [证明]:如果z=b是f(=)的m阶极点,则在这点的邻域内罗朗级数是 f(-)=-am ∑a(=-b)(a-m≠0) (=-b)·f(-)=am+am1(z-b)+…+a1(z-b)+ dm-1 (=-b) =∑(k+m)(k+m-1)(k+2)a(=-b) 取极限二→b后右端只留下k=-1项,即(m-1)a1所以 Resf(6)=a=7- lim d-[e-b) reI (4)单阶极点( Simple pole当m=1时,b为单极点Resf(b)=lm(=-b)/() 特别地,如果f()可以写成的形式,其中Px)和Q()均在b点解 2 析,而且z=b为Q()的一阶零点,即Q()=0,Q()≠0,P(=)≠0,那么 Ry(b=-b)/(=l(-b)|=mnP)=P(b 0):9(-)-qbg(b) c-b (5)根据定义:Re9(b)=/()d,其中c为绕z=b一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点,积分沿正(沿奇点的反)方向进行。 5.例题( Examples) Example 1.求函数f()=在z=0,z=1,z=∞点的留数。 [解]z=0,1∞分别是本性奇点,一阶奇点和一阶零点

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 4 则   z b f z m z f b m m m z b       1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . [证明]: 如果 z  b 是 f (z) 的 m 阶极点，则在这点的邻域内罗朗级数是     ( )   ( 0) 1 1                 m k m k m k m m m a z b a z b a z b a f z  ,       1 1 1 ( ) , m m m m z b f z a a z b a z b                          1 1 1 1 1 1 d d ( ) d d 1 2 . m m m k m m m k k m k k k z b f z a z b z z k m k m k a z b                                取极限 z b 后右端只留下 k  1 项，即   1 1! m  a . 所以   z b f z m z f b a m m m z b         1 1 1 d d lim 1! 1 Res ( ) . (4) 单阶极点(Simple pole): 当 m 1 时,b 为单极点 f b z bf z z b    Res ( ) lim . 特别地，如果 f (z) 可以写成 ( ) ( ) Q z P z 的形式，其中 P z( ) 和 Q z( ) 均在 b 点解 析，而且 z b  为 Q z( ) 的一阶零点，即 Q z( ) 0,  Q z P z '( ) 0, ( ) 0,   那么       '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) Res ( ) lim lim Q b P b z b Q z Q b P z Q z P z f b z b f z z b z b z b z b                 . （5）根据定义：   1 Res ( ) d 2 c f b f z z i   ，其中 c 为绕 z  b 一圈的闭曲线且 其内部无其它奇点，积分 c 沿正(沿奇点的反)方向进行。 5. 例题（Examples） Example 1. 求函数 z e f z z   1 ( ) 1 在 z  0， z 1， z   点的留数。 [解] z   0,1, 分别是本性奇点，一阶奇点和一阶零点

6.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 法一( Expand to the Laurent series): ①=0是f(=)的本性奇点,因此,将f(=)在z=0的邻域作罗朗级数展开 1111 +…1 z2!23!z 2!3! Rest(o)=l :e=∑z"and==l ②设e=∑c(2-1)并且c=e(其余的cn虽然复杂,但是我们用不到),则 f()=2 故Resf(1)=a1=-co=-e ③Resf(O)+Resf(1)+Resf(∞)=0(全复平面留数之和为零)。 Resf(∞)=1 法二( Formula): ①z=1是f(=)的一阶极点,因此 Res()=lm(-1),“=e ②将f()在z=∞的邻域作罗朗级数展开 Resf(∞)=-(-1)=1

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 5 法一（Expand to the Laurent series）： ① z  0 是 f (z) 的本性奇点，因此，将 f (z) 在 z  0 的邻域作罗朗级数展开   2 3 2 3 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 2! 3! 1 1 1 1 , 2! 3! f z z z z z z z z                            1 3! 1 2! 1 Resf (0) 1   e  . 0 1 [ and 1] ! z n n e z z n      ② 设 1 0 ( 1) z n n n e c z      并且 0 c e  （其余的 n c 虽然复杂，但是我们用不到），则 1 0 1 ( ) ( 1) . 1 1 z n n n e f z c z z z          故 Res (1) . 1 0 f a c e       ③ Res (0) Res (1) Res ( ) 0 f f f     （全复平面留数之和为零）。 Res ( ) 1. f   法二（Formula）： ① z 1 是 f (z) 的一阶极点，因此   1 1 Res (1) lim 1 . 1 z z e f z e  z                ② 将 f (z) 在 z   的邻域作罗朗级数展开 1 / 2 3 2 3 1 1 ( ) 1 1/ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! 3! 1 ( 1) , z f z e z z z z z z z z z z                                    Resf ()  (1) 1