复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十三章 柱坐标下的分离变量法Bessel函数 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions

Chapter 13柱坐标下的分离变量法 Bessel I函数 Abstract 以3+1D实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 ( Bessel函数、 Nordmann函数、 Hankel函数、虚宗量 Bessel函数、 Macdonald函数和三类球 Bessel函数等12个 Bessel函数)。在分析 这些函数性质的基础上,表述相应定解问题的物理解。 、柱坐标下的变量分离 1.柱坐标系下的稳定问题(3+0D, Laplace方程) 1 aa a-u au 0 即 +L=0. (2 只要实空间可分离变量,就可令M(p,9,2)=R(p)V)Z(),将其代入方程(2)得 b(F)+—d”+Rbz”=0 (3) 029)得:2(DR)=二0= (4) 由这种分离变量得: A=0 P(PRD'P2Z 方程(5)与周期性边界条件 d(0)=(2x),Φ(0=d(2x) 构成本征值问题。解得:An=m2(m=0,1,2,3,…,Φn()={ cos mp, sin mg?} 方程(6)即为 P(pR) PZ 分离变量 得 这两个方程,先求解哪一个以及如何取值,取决于哪一个可构成本征值问题, 也就是取决于定解问题的边界条件。假设(如果)R(p)构成本征值问题,则 PR"+pR+(up'-m)R=0

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 13 柱坐标下的分离变量法 Bessel 函数 Abstracts 以 3+1D 实例通过柱坐标系下方程的变量分离与求解,引入各种柱函数 （Bessel 函数、Norimann 函数、Hankel 函数、虚宗量 Bessel 函数、 Macdonald 函数和三类球 Bessel 函数等 12 个 Bessel 函数）。在分析 这些函数性质的基础上，表述相应定解问题的物理解。 一、柱坐标下的变量分离 1. 柱坐标系下的稳定问题（3+0D，Laplace 方程） 2 2 2 2 2 2 1 1 0, u u u u z                          （1） 即：   2 2 1 1 0. zz u u u u            （2） 只要实空间可分离变量，就可令 u z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )       ，将其代入方程（2）得：   2 0. Z RZ R R Z             （3） 2 (3) R Z    得：   2 ' . R Z R Z              （4） 由这种分离变量得：   2 0. (5) ' . (6) R Z R Z                   方程（5）与周期性边界条件       (0) (2 ), (0) (2 )     构成本征值问题。解得： 2 ( 0,1,2,3, ), m   m m ( ) {cos ,sin }.   m    m m 方程（6）即为   2 2 R ' Z m R Z         分离变量   2 2 ' . R m Z R Z            得：   2 2 2 0. 0. Z Z R R m R                  这两个方程，先求解哪一个以及  如何取值，取决于哪一个可构成本征值问题， 也就是取决于定解问题的边界条件。假设（如果） R( )  构成本征值问题，则   2 2 2    R R m R       0

式中的取值范围不同,方程解的形式与性质不同 1)4=0:p2R"+pR-m2R=0,即为 Euler eq 2)20+pR+(l)-m]=0 R ir dy(x) up=x d 则: R(p)=y(x) R dr' d dp dp (√y)=v 代入(7)得(的量纲为11p2,这里将径向变量无量纲化了,相当于取4=1) x2y”+xy+(x2-m2)y=0即为m阶Bes 3)<0:令H=-k2,代入p2R+pR+(p2-m)R=0得 PR+pR'(p2+m)R 记kp=x,R(p)=y(x),代入(8)得: (x2+m2)y=0,即为虚宗量 Bessel eq.(9) 令:ⅸx=1,y(x)=c(1)代入(9)得 ry"+1+(2-m)=0,即为 Bessel ec 我们假设R(p)构成了S-L型本征值问题,即径向有自然、周期或齐次边界 条件,从而=H,R=R再解出Z=2Z()得Mp)=∑LR(p)()2 2.柱坐标系下的非稳定问题(3+1D,振动、输运方程) (F,1)-avu(,1)=0; u(F,1)-av2v(F,1)=0 只要时空可分离变量,就可令(,9,z,1)=T()(p,9,=),将其代入上式得: T”V2 v 2T

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 2 式中  的取值范围不同，方程解的形式与性质不同。 1) 0:   2 2   R R m R      0, 即为 Euler eq. 2) 0:     2 2 2     R R m R 0.             （7） 记： ( ) ( ) x R y x         则：   d d ( ) d , d d d d d d d , d d d d R y x x R y x R y x R y y x                               代入（7）得（  的量纲为 2 1/ ,  这里将径向变量无量纲化了，相当于取   1 ）   2 2 2 x y xy x m y       0, 即为 m 阶 Bessel eq. 3) 0:   令 2   k ，代入   0 2 2 2  R R   m R  得   2 2 2 2    R R k m R       0. （8） 记 k x R y x     , ( ) ( ) ，代入（8）得：   2 2 2 x y xy x m y       0, 即为虚宗量 Bessel eq. （9） 令： ix t y x t   , ( ) ( )  代入（9）得   2 2 2 t t t m          0, 即为 Bessel eq. 我们假设 R( )  构成了 S-L 型本征值问题，即径向有自然、周期或齐次边界 条件，从而 , .     n n R R 再解出 ( ), Z Z z n  得 ( , , ) ( ) ( ) . im nm n n nm u z A R Z z e      2. 柱坐标系下的非稳定问题（3+1D，振动、输运方程） 2 2 2 2 ( , ) ( , ) 0; ( , ) ( , ) 0. tt t u r t a u r t u r t a u r t          只要时空可分离变量，就可令 u z t T t V z ( , , , ) ( ) ( , , )      ，将其代入上式得： 2 2 2 2 2 2 ; . T V k a T V T V k a T V                

注意两个方程及其a的物理意义不同。分离变量得: T”+a2k2T=0 (容易求解 the lst eg. is the wave eg . it is damping if Imk#0 T"+a2k2T=0 the 2nd eg is also the wave eg in Qu Mech. due to ia 和 V2V+k2=0 此为 Helmholtz方程,即:1(p)+m+V2+k=0 只要实空间可分离变量,就可令T(9,z)=R(p()Z(=),将其代入上式得 Z"-=0 同样要求对k2+的符号(±)加以讨论(下面的第二节为正,第三节为负一源于 z(z)的本征值问题)。 、 Bessel函数[(圆)柱函数 Bessel函数 设p√2+=x,R(p)=y(x)则一般地[如果O)中没有周期条件,则v 可以不为整数] y2+xy+(2-y2)y=0=y(x)=(x)+BN,(x) 其中:J(x)=∑ kIT(v+k N,(x) J (x)cos VT-J_(x) N, (x)=lim(X)cosVT-3-()(v=n integer, see chapt. 8. p. 16) sIn vT ):v阶(第一类) Bessel函数; (x):v阶(第二类) Bessel函数

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 3 注意两个方程及其 a 的物理意义不同。分离变量得： 2 2 2 2 2 0 ( 0 t T a k T k T a k T i                the 1st eq. is the wave eq.,it is damping if Im 0. 容易求解) the 2nd eq. is also the wave eq.in Qu.Mech.due to . 和 2 2    V k V 0, 此为 Helmholtz 方程，即：   2 2 1 1 0. V V V k V   zz         只要实空间可分离变量，就可令 V z R Z z ( , , ) ( ) ( ) ( )       ，将其代入上式得：   2 2 2 2 2 0. 0. 0. m Z Z R R k m R                              同样要求对 2 k   的符号 ( )  加以讨论（下面的第二节为正，第三节为负—源于 Z z( ) 的本征值问题）。 二、Bessel 函数 [(圆)柱函数] 1. Bessel 函数 设 2    k x R y x    , ( ) ( ), 则一般地 [如果 ( )  中没有周期条件，则  可以不为整数]   0 2 2 2 x y  xy  x  y   解 y x A x B x ( ) J ( ) N ( )     ， 其中：     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   ， J ( )cos J ( ) N ( ) ( integer, see chapt. 8) sin x x x           ， J ( )cos J ( ) N ( ) lim ( integer see chapt. 8,p.16). sin n n x x x n            ， J ( ) : x   阶（第一类）Bessel 函数; N ( ) : x   阶（第二类）Bessel 函数

Methods of Mathematical Physics(2016. 12)Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa(@ Phys. FDU v≠整数,J,(x)和J(x)线性无关解 v=m=整数,Jn(x)和Nn(x)线性无关解, N2(x): Normann函数。 当x=k2+是实数时,J,(x)和N()都是实函数,现在再引入两个复函数。 H(x)=J(x)+N,(x),第一种 Hankel函数 H2(x)=J,(x)-N,(x)第二种 Hankel函数 它们统称为v阶(第三类) Bessel函数,于是 Bessel方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于(1)cosx,(2)sinx,(3)cosx+ SINx=e,(4)cosx- IsIn x=e都是 方程y(x)+y(x)=0的特解;或方程y(x)-y(x)=0的特解有() cosh,(2) sinha, (3). cosh x+ sinh x=e,(4) cosh- sinh x=ex,其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示[方程y”"(x)-y(x)=0的通解是这四个函数的线性组合] 2.各种柱函数的递推公式与渐近性质 (1)递推公式 (x2Z) Z+-Z=Z 「2z1=2-Z Z z.,+z 乙代表JN,H,H2 证明:例如,J(x)=)(-1)(x)2 kzk!(+k+1)(2 (xJ)÷()(2u+2k) k!(v+k+1) 即:(xZ)=xZ同理又有:(x"z,)=-x2Z 特例:J=-1→1(5)d5=1-J(x,J(O)=1见下其实是定义) (z)=xZ-→-.、)=x,(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 4 J ( ) J ( ) J ( ) N ( ) N ( ) : Norimann m m m x x m x x x         整数， 和 线性无关解; 整数， 和 线性无关解, 函数。 当 2 x k =   是实数时， J ( ) x  和 N ( ) x  都是实函数，现在再引入两个复函数。 (1) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x      ,第一种 Hankel 函数; (2) H ( ) J ( ) N ( ) x x i x      ,第二种 Hankel 函数, 它们统称为  阶（第三类）Bessel 函数，于是 Bessel 方程的解可以是以上四种 函数中任何两个的线性组合。 这个类似于 (1).cos ,(2).sin , x x (3).cos sin ,(4).cos sin ix ix x i x e x i x e     都是 方程 y x y x ( ) ( ) 0   的特解；或方程 y x y x ( ) ( ) 0   的特解有 (1).cosh ,(2).sinh , x x (3).cosh sinh ,(4).cosh sinh x x x x e x x e      ，其通解可以用以上四个函数中任何 两个线性组合表示 [方程 y x y x ( ) ( ) 0   的通解是这四个函数的线性组合]。 2. 各种柱函数的递推公式与渐近性质 （1）递推公式     1 1 ' , ' . x Z x Z x Z x Z                     1 1 , . Z Z Z x Z Z Z x                       Cal. ( ) 1 1 1 1 2 , 2 . Z Z Z Z Z Z x                       Z 代表 (1) (2) J , N ,H ,H     . 证明：例如，     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   def. ，           2 2 1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 (2 2 ) 1 J ' J , ! 1 2 ! 1 1 2 k k k k k k k k k x x x x x k k k k                                        cal. 即：   1 x Z x Z ' .       同理又有：   1 x Z x Z '          . 特例： 0 1 J' J   1 0   0 J 1 J ( ) x     d x  , 0 (J (0) 1  见下,其实是定义).    1      x Z x Z   1 1 1 0 J J ( ) x d x x             

(2)渐近行为(定性分析) (A).x很小(x→0)时 J,(x) 台k!r(+k+1) J,(x)~ ()=1n+C|J(x)-∑ n 其中,C=lm|∑-hn=057257称为欧拉(Eur)常数 No(x)--In T) 12.x 121nx 丌2 H2(x) VIx (v≠0) 2 →J(0)=1(上述特例积分时用过此 J,(x) (v≠0)→J,(0)=0(v≠0) 可见x=0并非J(x)之零点,而是J(0)之v阶零点(v≠0) (v=0,v≠0) N,(x)~ T(v)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 13 Separation of variables in cylindrical coordinates and Bessel functions YLMa@Phys.FDU 5 （2）渐近行为(定性分析) (A). x 很小 ( 0) x  时，     2 0 1 J ( ) ! 1 2 k k k x x k k                   2 0 J ( ) ~ 1 ; 2 1 J ( ) ~ ( 0). ( 1) 2 x x x x                             2 1 0 2 2 1 ( 1)! N ( ) ln J ( ) 2 ! 2 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 ( )! ! 2 2 2 m n m m m n m n n m n m x m n x x C x n x n m n n m n                                                                   其中， ln 0.5772157  1 lim 1             n k n n k C 称为欧拉（Euler）常数. 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 ( ) N ( ) ~ ( 0). 2 x x x x                        (1) 0 (1) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i                       (2) 0 (2) 2 H ( ) ~ ln ; 2 ( ) H ( ) ~ ( 0). 2 i x x x x i                       2 0 J ( ) ~ 1 2 x x         0 J (0) 1  (上述特例积分时用过此). 1 J ( ) ~ ( 0) ( 1) 2 x x               J (0) 0 ( 0)     . 可见 x  0 并非 0 J ( ) x 之零点，而是 J (0)  之  阶零点 ( 0)   . 0 2 N ( ) ~ ln ; 2 N (0) ( 0, 0). ( ) N ( ) ~ ( 0) 2 x x x x                              