复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第五章 定积分计算 Calculations on definite integrals

6.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 设f()在实轴上有单阶极点z=c,我们所取路径必须绕过c点,以c点为圆 心,充分小r为半径的半圆周C,如图所示,则 手()-d=()-d+,)k-d+[f(d+[fxd 2z∑Re()=y 当取两个极限R→∞r→0时,我们有 因为,mf()=0,根据引理3 ordan lemma)im[f(=x-d=0 由于=c是f()的单阶极点,所以Rs[(=)=]=im=-c)ce 由引理2(注意积分方向),我们得到 !(yd=-ies/(k=1, 因此∫f(x)kmdx=2,∑Res[()2=]+Ret/(l- 如果实轴上存在有限个单阶极点,则 f(x)eim dx=2ri >Res f(=)em Reslf(e)e 复平面实轴上 变形:f(x) osmed=Refx)emd f(x)sin mrdx=Im f(x)e"dx. Why? 思考:m<0的情况?( emfemr-m=em==e满足各 lemma条件)。 下半平面内 cos 例1:1=计x sdr I/ sll dx(m≠0) 解:=1+i,= 小,dx,fa21满足 Jordan lemma条件f()→0 1)m>0:z=i是一阶极点, Reshef() 2+I I=2ri-em=re m=l, 1=0(odd function)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 16 设 f (z) 在实轴上有单阶极点 z  c ，我们所取路径必须绕过 c 点，以 c 点为圆 心，充分小 r 为半径的半圆周 Cr ，如图所示，则 ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d = 2 Res ( ) . R r c r R imz imz imz imz imz C R c r C C imz C f z e z f z e z f z e z f z e z f z e z i f z e                  又 内 当取两个极限 R ,r 0 时，我们有 0 lim ( ) d ( ) d ( ) d . c r R imx imx imx R R c r r f x e x f x e x f x e x                   因为， lim ( )  0  f z z ，根据引理 3(Jordan lemma) lim ( ) d 0. R imz R C f z e z    由于 z  c 是 f (z) 的单阶极点，所以 Res ( ) =lim( ) ( ) . imz imz z c z c f z e z c f z e        由引理 2（注意积分方向），我们得到 0 lim ( ) d Res ( ) r imz imz r C z c f z e z i f z e           ， 因此 - ( ) d 2 Res ( ) Res ( ) . imx imz imc f x e x i f z e i f c e                 上半平面内 如果实轴上存在有限个单阶极点，则 - ( ) d 2 Res ( ) Res ( ) . imx imz imz f x e x i f z e i f z e                  上半平面内 复平面实轴上 变形： - - ( )cos d Re ( ) d ; imx f x mx x f x e x        - - ( )sin d Im ( ) d . imx f x mx x f x e x        Why? 思考： m  0 的情况？ | | | | (| | | | imz imx my my m y my e e e e e        下半平面内 满足各 lemma 条件）。 例 1： 2 2 cos sin d , d ( 0). 1 1 c s mx mx I x I x m x x            解： 2 2 1 d ( ) . 1 1 imx c s e I I iI x f z x z          ， 满足Jordan lemma条件 ( ) 0. z f z   1） m z i   0: 是一阶极点， Res[ ( )]| | . 2 imz m imz z i z i e e e f z z i i       1 2 , 0 2 m m c s I i e e I I i         (odd function)

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 5 Calculations on definite inte YLMa@Phys. FDU 2)m<0:z=—是一阶极点,r=-2x1-e--=ne树结果相同。 Example 2计算积分1=「 ∞ xsIn/ dx(m是非零实常数,a>0) 解一]先设m>0,且先考虑积分=_xd dz d= d 取极限R→∞,因为im 0,根据引理 2d=0,于是得到/=/"em -dz= ie 1,=Im/=e,I=Rel=o ∞ sinma 如果m<0,则Ⅰ= sinx [解二]仅考虑m<0的情况。 考虑积分r2=」 x-+ 取积分路径如左图所示,因此 =2i. Res/e A oid dz 2丌 取极限R→>∞,因为im 0,根据引理3: d=0 于是得到=/e e=-rie++. I, =Im/=-ret+. a Example.计算积分l=dr [解]f()=-在实轴上有单阶极点z=0,取积

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 5 Calculations on definite integrals YLMa@Phys.FDU 17 2） m z i    0: 是一阶极点， 1 ( ) 2 . 2 i m i m I i e e i          结果相同。 Example 2. 计算积分 2 2 sin d s x mx I x x a      (m 是非零实常数， a  0 ). [解一] 先设 m  0 ，且先考虑积分      x x a xe I imx d 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d = 2 Res 2 . 2 R imz imz imz R C R C imz ma ma z ai ze ze ze z z z z a z a z a ze e i i ie z a                           又 取极限 R   ，因为 lim 0 2 2   z  a z z ，根据引理 3 d 0 2 2   CR imz z z a ze , 于是得到 2 2 d . imz ze ma I z ie z a         Im , Re 0. ma s c I I e I I       如果 m  0 ，则 2 2 2 2 sin sin d d . x mx x m x m a I x x e x a x a                [解二] 仅考虑 m  0 的情况。 考虑积分 2 2 ' d . i m x xe I x x a       取积分路径如左图所示，因此 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d = 2 Res 2 . 2 R i m z i m z i m z R C R C i m z m a m a z ai ze ze ze z z z z a z a z a ze e i i ie z a                                又 取极限 R   ，因为 lim 0 2 2   z  a z z ，根据引理 3： d 0 ' 2 2     CR i m z z z a ze . 于是得到 2 2 2 2 ' d d . i m z i m z ze ze m a I z z ie z a z a                  Im ' . m a s I I e      Example 3. 计算积分    0 1 d sin x x x I . [解] z f z 1 ( )  在实轴上有单阶极点 z  0 , 取积