复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第九章 数学物理方程的定解问题 Determinate solution problem of equations

9 Determinate solution problem of equat YLMa@ Phys. FDU 下篇数学物理方程 一物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数 Chapter9数学物理方程的定解问题 Abstracts:1.根据物理问题导出多变量数理方程一偏微分方程: 2.给定数理方程的附加条件:初始条件、边界条件、物理条件(自然 条件,连接条件)和周期条件等,从而与数理方程一起构成定解问题 3.数理方程的线性性导致解的叠加原理 4.非齐次方程的齐次化方案。 数理方程的来源(状态描述、变化规律) 1.翻译 I. Classical Newton mechanics[质点力学m=F(r,1)]( Newton),连续体力学 弦 弹性体力学{杆振动:4(F1_a2n(,)=0(3+1D波动方程) 膜 流体力学:质量(流)守恒律:20)+y[pD)(.=0 (基本方程) 热力学物态方程:VF) +[(F1)·VF(,0)=F,) f(r, t(Euler eq P(r, t) II. Electrodynamic Mechanics(Maxwell equations) 乐D,dG=1⑩mx=vD=p手Ed=VxE=B ∮B:dG=0=V.B=0.∮·d=(+D)=Vx=+D E=-Vlu,B=V×A,(u,A)满足波动方程。 Lorenz力公式→力学方程; Maxwell eqs.+电导定律→电报方程 III Statistic Mechanics(Boltzmann-Gibbs statistics) 热传导方程 aT 特别:稳态(9=0):V2p=0( aplace equation) 扩散方程 ap_DVP 2p=0 t IV. Quantum Mechanics: Schrodingers equation(Schrodinger, Heisenberg, Dirac Fermi, Einstein) Hutu

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 1 下篇 数学物理方程 —物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法与特殊函数 Chapter 9 数学物理方程的定解问题 Abstracts: 1. 根据物理问题导出多变量数理方程—偏微分方程； 2. 给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件(自然 条件，连接条件)和周期条件等，从而与数理方程一起构成定解问题； 3. 数理方程的线性性导致解的叠加原理; 4. 非齐次方程的齐次化方案。 一、 数理方程的来源（状态描述、变化规律） 1. 翻译 I．Classical Newton Mechanics [质点力学 mr F r t  ( , ) ](Newton)，连续体力学 2 2 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 0 (3 1D ( , ) [ ( , ) ( , )] 0; v( , ) ( , ) [ ( , ) ] ( , ) ( , )(Euler eq.). ( , ) u r t a u r t t r t r t v r t t r t p r t v r t v r t f r t t r t                                    弹性定律 基本方程 弦 弹性体力学 杆 振动： 波动方程); 膜 流体力学：质量（流）守恒律： 热力学物态方程：     II.Electrodynamic Mechanics (Maxwell equations) ; ; 0 0; ( ) . , , ( , ) D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A                                                        d d d d d d d 满足波动方程。 Lorenz力公式 力学方程；Maxwell eqs.+电导定律 电报方程。 III. Statistic Mechanics (Boltzmann-Gibbs statistics): 2 2 0; 0. T k T t D t                  热传导方程： 扩 散方程： 特别: 稳态（ 0 t    ）: 2    0 (Laplace equation). IV. Quantum Mechanics: Schr dinger’s equation (Schr dinger, Heisenberg, Dirac, Fermi, Einstein) 2 2 . 2 u i u Vu t m      

Methods of Mathematical Physics(2016.11)Chapter Determi linate solution problem of equat YLMa@ Phys. FDU 2.分类 物理过程 方程 数学分类 振动与波 双曲线 波动方程V-1x=0 a- at 输运方程 能量:热传导x=0 抛物线 质量:扩散Ot 稳态方程 椭圆型 Laplace equation Vu=0 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤: (1)定变量:找出能够表征物理过程的物理量作为未知数(特征量,科学思 维上设为已知),并确定影响未知函数的自变量 (2)立假设:抓(取)主要因素,舍(弃)次要因素,将问题“理想化 “无理取闹”(物理乐趣;大胆假设,小心求证) (3)取局部:从研究物体内部中找出微小的局部(微元),相对于此局部的 切高阶无穷小量均可忽略--线性化。 (4)找作用:根据已知物理规律或定律,找出局部和邻近部分的作用关系。 (5)列方程:根据物理规律在局部上的表现,联系局部作用列出微分方程。 1.弦的横振动方程(1+1D) [一根张紧( interaction between particles)的 柔软弦的微小横振动问题] (1)定变量:取弦的平衡位置为x轴。表征横振 动的物理量为各点的横向位移 l(x,),故速度为u4和加速度为un (2)立假设:1)弦的横振动是微小的,l<1 因此,sina≈tana≈a,cosa≈1,又∵=tana≈a <<1 2)弦是柔软的,即在它的横截面内不产生应力,则在拉紧的情 况下弦上相互间的拉力即张力T(x,1)始终是沿弦的切向(等

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 2 2. 分类 物理过程 方 程 数学分类 振动与波 波动方程 2 2 2 2 1 0 u u a t      双曲线 输运方程 2 0 u k u t         能量：热传导 质量：扩 散 抛物线 稳态方程 Laplace equation 2   u 0 椭圆型 二、 数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： (1) 定变量：找出能够表征物理过程的物理量作为未知数（特征量,科学思 维上设为已知），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓(取)主要因素，舍（弃）次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理乐趣；大胆假设，小心求证）。 （3）取局部：从研究物体内部中找出微小的局部（微元），相对于此局部的 一切高阶无穷小量均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 1．弦的横振动方程（1+1D） [一根张紧(interaction between particles)的 柔软弦的微小横振动问题] (1)定变量：取弦的平衡位置为 x 轴。表征横振 动的物理量为各点的横向位移 u(x,t) ，故速度为 t u 和加速度为 tt u . (2)立假设：1）弦的横振动是微小的，  1， 因此， sin tan      ，cos 1 ，又 tan u x       ， 1    x u . 2) 弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情 况下弦上相互间的拉力即张力 T(x,t) 始终是沿弦的切向(等

9 Determinate solution problem of equations YLMa@ Phys. FDU 价于弦上相互间有小的弹簧相连一最简单的相互作用!)。 3)所有外力都垂直于x轴,外力线密度为F(x,) 4)设(细长)弦的线密度为p(x,1),重力不计。 (3)取局部:在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微 元)。质量:p(x,)dx 弧长:d=ax2+dn2=1+(m)drxd(即这一小段的长度在振 ax 动过程中可以认为是不变的,因此它的密度p(x,t)不随时间变化,另 外根据Hoke定律δF=-kobx可知,张力T(x,1)也不随时间变化,我 们把它们分别记为p(x)和T(x) (4找作用:找出弦段dx所受的力。外力:F(x,l)dx,垂直于x轴方向; 张力变化:( Tcos a)-( Cosa)=7(x+dx)-(x),x方向紧绷, (Tsina)Ir+dr-(Tsina)L=(Tu,)+dr-(Tu)L=(Tus )dx, 垂直于x轴方向 (5)列方程:根据牛顿第二定律 T(x+dx)-7(x)=0,因x方向无位移,故T(x+dx)=7(x)=T P(x)dxu= F(x, t dx+(Tu)dx=F(x, tdx+Tu,dx 即n-m=f(x),其中(x)=(x2是单位质量所受外力。 如果弦是均匀的,即p为常数,则可写a=,为弦振动的传播速度,则 uu -au=f(x,t) 对于自由运动,即无源∫=0,这个方程简化为齐次方程:un-a2un=0 在有界实空间的适当边界条件下,通过分离变量和求解本本征值问题, 得到与a啊相关的本征值,再与实验频率相比较,即可求得材料的a

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 3 价于弦上相互间有小的弹簧相连—最简单的相互作用！)。 3) 所有外力都垂直于 x 轴，外力线密度为 F(x,t) . 4) 设（细长）弦的线密度为 (x,t) ，重力不计。 (3)取局部：在点 x 处取弦段 dx , dx 是如此之小,以至可以把它看成质点(微 元)。 质量： (x,t)dx . 弧长： x x x u ds dx du 1 d d 2 2 2              （即这一小段的长度在振 动过程中可以认为是不变的，因此它的密度 x,t 不随时间变化，另 外根据 Hooke 定律   F k x   可知，张力 T(x,t) 也不随时间变化，我 们把它们分别记为 x 和 T(x). (4)找作用：找出弦段 dx 所受的力。外力： F(x,t)dx ，垂直于 x 轴方向； 张力变化：T T T x x T x cos | cos | ( d ) ( )    x x x d       , x 方向紧绷，  sin | sin | | | d  x x x x x x x x x d d        x T T Tu Tu Tu x         , 垂直于 x 轴方向。 (5)列方程：根据牛顿第二定律 T(x  dx) T(x)  0 ，因 x 方向无位移，故 T(x  dx)  T(x)  T . x xu F x t x Tu  x F x t x Tu x ( )d t t  ( , )d  x x d  ( , )d  xxd 即 u f (x,t) T utt  xx   ，其中  ( , ) ( , ) F x t f x t  是单位质量所受外力。 如果弦是均匀的，即  为常数，则可写  T a  为弦振动的传播速度，则 ( , ) 2 u a u f x t tt  xx  . 对于自由运动，即无源 f  0 ，这个方程简化为齐次方程： 2 0 tt xx u a u   . 在有界实空间的适当边界条件下，通过分离变量和求解本本征值问题， 得到与 a 啊相关的本征值，再与实验频率相比较，即可求得材料的 a

9 Determinate solution problem of equat YLMa@ Phys. FDU 怎么运动:源(非齐次)驱动或边界驱动和初始驱动。 2.杆的纵振动方程(1+1D) [一根弹性( Clinear interaction betweer particles)均匀细杆的微小纵振动问题] (1)定变量:取细长杆的放置为x轴。表征 纵振动的物理量为各点x离开 平衡位置的纵向位移(x,) pO,t) (2)立假设:1)振动方向与杆的方向一致。 2)均匀细杆,同一横界面上各 点的质量密度ρ,横截面面积 S与杨氏模量Y(应力与应变 之比值)都是常量(常数)。 3)杆有弹性,服从 Hooke定律:应力P与相对伸长成正比,即 P(x)=y2x2,其中PxD)单位横截面上的内力(相互作 用),方向沿x轴正方向,但是力F=PG,1)AS是沿该截面法 向(外向)的。x施给x截面的力(拉力)的方向:-x;同 理P(x+△x,1)△S=Y1△为x中△x施给x+△x截面方向 的力(拉力),其方向:文(这种取法类似于紧绷弦的受力分析)。 4)外力与杆的方向一致,各点时刻t单位横截面上的外力为 F(x,1)(例如每个弹簧都用绳子牵引着),重力不计。 (3)取局部:在点x处取杆微段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点。 质量:m(x,)Sdx 绝对伸长:M=l--l 相对伸长:如=.(应力)。 (4)找作用:找出杆的这个微段所受的力。外力:F(x,)Sdx; 应力变化:(hu,S)-(rm,S)1=(r,S)dx= Yu sd

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 4 怎么运动：源（非齐次）驱动或边界驱动和初始驱动。 2．杆的纵振动方程（1+1D） [ 一 根 弹 性 (linear interaction between particles)均匀细杆的微小纵振动问题] (1)定变量：取细长杆的放置为 x 轴。表征 纵振动的物理量为各点 x 离开 平衡位置的纵向位移 u(x,t). (2)立假设：1) 振动方向与杆的方向一致。 2) 均匀细杆，同一横界面上各 点的质量密度  ，横截面面积 S 与杨氏模量 Y （应力与应变 之比值）都是常量（常数）。 3) 杆有弹性，服从 Hooke 定律：应力 P 与相对伸长成正比，即 x u x t P x t Y    ( , ) ( , ) , 其中 P x t ( , ) :单位横截面上的内力（相互作 用），方向沿 x 轴正方向，但是力 F P r t S   ( , ) 是沿该截面法 向（外向）的。 x  施给 x 截面的力（拉力）的方向：x ˆ ；同 理 ( , ) | x x u P x x t S Y S x         为 x 中 x   施给 x x  截面方向 的力（拉力），其方向: x ˆ （这种取法类似于紧绷弦的受力分析）。 4) 外力与杆的方向一致，各点时刻 t 单位横截面上的外力为 F(x,t) （例如每个弹簧都用绳子牵引着），重力不计。 (3)取局部：在点 x 处取杆微段 dx , dx 是如此之小，以至可以把它看成质点。 质量： (x,t)Sdx . 绝对伸长： x x x u  u u  , 相对伸长： ux x u    （应力）。 (4)找作用：找出杆的这个微段所受的力。外力： F(x,t)Sdx ； 应力变化：Yu S Yu S Yu S x Yu S x x x xx x x x x x d d d    

9 Determinate solution problem of equat YLMa@ Phys. FDU (5)列方程:根据牛顿第二定律 ASdxu,, F(x, t)Sdx Yu Sdx 即,un--un=f(x,1),其中f(x,1)= F(x,) 令 为杆振动的传播速度,则 a'u=f(x,t) 自由振动:齐次方程;受迫振动:非齐次方程 注意:杆中应力与相对位移成正比,因而做纵振动:虽然弦中位移Δu在 x轴方向为零,但是粒子之间的相互作用力 即张力T使得弦紧绷着,因而做横振动 et 3.薄膜的横振动方程(不要求) (张紧的柔软膜的微小振动问题) 定变量:各点的横向位移(x,y,),从而速度为 L,加速度为u 立假设:1)膜是柔软的,即在它的横界面内不产 生应力,膜上任一点的表面张力 7(x,y,1)必在过这一点的切平面内。 2)膜振动是微小的,张力的仰角l<1,因此 T= Tsin a≈ T tan a=T 3)所有外力都垂直于0-xy面,外力面密度为F(x,y,1) 4)膜是均匀的,即,密度ρ为常数。 取局部:在点(xy)处取一小块模dS,质量:p(x,)dS 找作用:找出膜所受的力。外力:F(x,y,t)dS,垂直于0-xy面 张力变化:打d=T

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 5 (5)列方程：根据牛顿第二定律 S xu F x t S x Yu S x  d tt  ( , ) d  xx d 即， u f (x,t) Y utt  xx   ，其中  ( , ) ( , ) F x t f x t  . 令  Y a  为杆振动的传播速度，则 ( , ) 2 u a u f x t tt  xx  . 自由振动：齐次方程; 受迫振动：非齐次方程。 注意：杆中应力与相对位移成正比，因而做纵振动；虽然弦中位移 u 在 x 轴方向为零，但是粒子之间的相互作用力 即张力 T 使得弦紧绷着，因而做横振动。 3．薄膜的横振动方程 (不要求) （张紧的柔软膜的微小振动问题） 定变量：各点的横向位移 u(x, y,t) ，从而速度为 t u ，加速度为 tt u . 立假设：1) 膜是柔软的，即在它的横界面内不产 生应力，膜上任一点的表面张力 T(x, y,t) 必在过这一点的切平面内。 2) 膜振动是微小的，张力的仰角  1 ，因此， sin tan u u T T T T n        . 3) 所有外力都垂直于 0  xy 面，外力面密度为 F(x, y,t) . 4) 膜是均匀的，即，密度  为常数。 取局部：在点 x, y 处取一小块模 dS ，质量： (x,t)dS . 找作用：找出膜所受的力。外力： F x y t S ( , , )d ，垂直于 0  xy 面； 张力变化：      l l u l n u T dl T d