复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十一章 积分变换法

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU Chapter1l积分变换法 一、无界空间的有源导热问题 Fourier变换法 定解问趣:J41(x1)-an1(x1)=f(x),(-<x<∞) l-= 00<X< avx=f(x,1),(-∞<x<∞) Iwo=p(x) l(x,D)=w(x,D)+v(x,1) 维无源导热问题 n:(x)-a2v(x,)=0,(-<x<∞) w_=p(x) 解:把t看作参数,应用 Fourier变换 k,1) w(x, ne dx (D=1-m(k1)k w(x, t)<>w(k, 1) (x,1)4(ik)m(k,1)=-k2(k,1) i(k,)+a2k2i(k,1)=0, w_o=o(k) 解得(k,1)=(k 因为p(k)(x) qkt (利用 cos bxdx 利用卷积定理,得 )2 (x-5) ()==J5) d5=s) 「叭XG(x:5,0)d5

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 11 积分变换法 一、无界空间的有源导热问题—Fourier 变换法 定解问题: ( ) 2 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ). t xx t u x t a u x t f x t x u x  =  − = −      =  ( ) ( ) 2 2 0 0 0, ( , ), ( ). 0. t xx t xx t t w a w x v a v f x t x w x v  = =     − = −    − = −     +     = =    u x t w x t v x t ( , ) ( , ) ( , ). = + 1．一维无源导热问题 ( ) 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t xx t w x t a w x t x w x  =  − = −      =  解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换: 1 ( , ) ( , ) d ; 2 1 ( , ) ( , ) d . 2 ikx ikx w k t w x t e x w x t w k t e k    − −  −  =     =    w x t w k t ( , ) ( , ),  ( ) 2 2 ( , ) ( , ) ( , ). w x t ik w k t k w k t xx  = − 2 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t t w k t a k w k t w k  =  + =   =  解得 2 2 ( , ) ( ) . a k t w k t k e  − = 因为 ( ) ( ) ~  k  x ， a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1 − −  (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d  − − − =   ）， 利用卷积定理，得 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 1 1 ( , ) ( ) d ( ) d 2 2 2 ( ) ( , ; ,0)d , x x w x t e e a t a t a t a t G x t               − −   − − − −  − = = =   

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU (x-5) 其中G(x 容易验证,G(x,t;5,0)是问题 a lr(x 0<X<0 的解。 l-=o6(x-5) G(x,t;,0)称为一维无源导热问题的基本解(或 Green function)。 显然,只要找到了 Green function,则任意初始分布的解均可通过 个积分表示出来。 物理意义: 在方程为齐次的情况下,在t=0时刻,在x=5处放置一个热量为Q的 点热源,相当于给定初始温度分布上δ(x-5)因此,G(x,t;5,0)就是在时 刻t=0,在x=5处放置了一个热量为cp的点热源的情况下,在时刻t杆上 的温度分布。因而,它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长,G(x,t;ξ,0)曲线渐趋平坦,即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是,在任一时刻t,杆上的总热量保持不变。即 l(x,1)=G(x,;5,0)cl5= ds da=cp 另外, Green Function具有性质:G(x,t;5,0)=G(5,t;x,0) 在1<0时,G(x,t;5,0)无意义,这反映了热传导的不可逆性。 G(x,t25,) 是 r(t l,(x,1)-a2lun(x,)=0(-∞<x<∞,t>r) 的解。 l|-=(x-5) 性质:G(x,l;5,r)=G(5,t,x,r) G(x, t; s, r)=G(x, t-rxO)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 2 其中 ( ) 2 2 4 1 ( , ; ,0) . 2 x G x t e a t a t    − − = 容易验证， G(x,t;,0) 是问题 ( )     = − − = −     = ( ) ( , ) ( , ) 0 0 2 u  x  u x t a u x t x t t xx 的解。 G(x,t;,0) 称为一维无源导热问题的基本解（或 Green Function）。 显然，只要找到了 Green Function， 则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义： 在方程为齐次的情况下，在 t = 0 时刻，在 x =  处放置一个热量为 Q 的 点热源，相当于给定初始温度分布 ( ). Q x c    − 因此， G(x,t;,0) 就是在时 刻 t = 0 ，在 x =  处放置了一个热量为 c 的点热源的情况下，在时刻 t 杆上 的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长， G(x,t;,0) 曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是，在任一时刻 t ，杆上的总热量保持不变。即 ( ) 2 2 2 4 ( , ) ( , ; ,0) . 2 x a t c c u x t G x t c d e d e d c a t             −    − − − − − = = = =    另外，Green Function 具有性质： G x t G t x ( , ; ,0) ( , ; ,0).   = 在 t  0 时， G(x,t;,0) 无意义，这反映了热传导的不可逆性。 推广： ( ) ( ) (  )      − − − − = a t x e a t G x t 2 2 4 2 1 ( , ; , ) 是 ( )     = − − = −      = ( ) ( , ) ( , ) 0 , 2     u x u x t a u x t x t t t xx 的解。 性质： G x t G t x ( , ; , ) ( , ; , ),     = G(x,t;, ) = G(x,t − ; x,0)

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 维有源零初始条件的导热问题 f(x,1)(-<x<∞) 解:把t看作参数,应用 Fourier变换, i(k,1)+a2ki(k,1)=f(k,1), 此非齐次方程可用 Laplace变换,或常数变异法求解。得 v(k, t=f(k,r)e d 因为f(k,)f(x,z) ek(-)4 ay2xern)(利用上e cos bxdx=-e 4a 利用卷积定理,有 f(, r)e-k(-x)+ f(s,r)e 4a(-nd5 ∫(5,r)G(x,t-r;5,0)d5 「f(5,r)G(x,5,r)d5 v(x, 1= f(5,r)G(x,1;5,r)d5d 其中G(x,t;5,r) r1)e4a(-),它也是问题 u,(x,1)-alun(x,)=(x-5)6(-)(-∞<x<∞,t>r) 的解。 因此,一维无界空间的有源导热问题 l1(x,1)-a2l(x,1)=f(x,1)(-∞<x<∞ p(x) 的解为 l(x,D)=w(x,1)+v(x,1) p(G(x,t;,0)d5+ f( 5, r)G(x, t; 5, r)ds dr. G(x,t;5,r)称为一维无界空间导热问题的基本解(或 Green function)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 3 2．一维有源零初始条件的导热问题 ( ) 2 0 ( , ), 0. t xx t v a v f x t x v =  − = −      =  解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换， 2 2 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0. t t v k t a k v k t f k t v =  + =   =  此非齐次方程可用 Laplace 变换，或常数变异法求解。得 ( ) 2 2 0 ( , ) ( , ) . t a k t v k t f k e d   − − =  因为 f k f x ( , ) ( , ),    ( ) ( )  (  )  − − − − −  a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1 (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d  − − − =   ）. 利用卷积定理，有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 ( , ) ( , ) d 2 ( , ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d . x a k t a t f k e f e a t f G x t f G x t                    − −  − − − −  −  −  − = − =    0 ( , ) ( , ) ( , ; , )d d , t v x t f G x t        −   =       其中 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 ( , ; , ) . 2 x a t G x t e a t       − − − = − 它也是问题 ( )     = − = − − −      = 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) , 0 2 t t xx u u x t a u x t  x   t  x t  的解。 因此，一维无界空间的有源导热问题 ( )     = − = −     = ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 u x u x t a u x t f x t x t t xx  的解为 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d d . t u x t w x t v x t           G x t f G x t   − − = +   = +        G(x,t;, ) 称为一维无界空间导热问题的基本解（或 Green Function）

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 三维无界空间的静电场问题 静电势u(F)满足 Poisson方程,即 l(7)=lx+ly+l==- P(r) oO<x,V,=< 现在用三重 Fourier变换: (7) 求解 (k)=(-∫∫ 其中F=x1+n2+x2和k=k+k2+k l(F)>i(k), lx()4>(ik)2i(k)=-k1(k) u,()<(ik,)i(k)=-kFu(k), i Vu(r)<>-k-u(k) u (r)<(ik)u(k)=-kau(k) 设/()0)分f(k i(k)=,;f(k) e/r cos ksin edkd edo oo sIn 2 由卷积定理得,()=/1 √2z f(r 4 引入函数GP)=4zF-fi

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 4 二、 三维无界空间的静电场问题 静电势 u(r)  满足 Poisson 方程，即 2 0 ( ) ( ) . xx yy zz r u r u u u    = + + = − (−   x, y,z  ) 现在用三重 Fourier 变换:              =       =   −   u k u r e r u r u k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r = xi + yi + zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i = + + . u r u k ( ) ( ),  2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), xx yy zz u r ik u k k u k u r ik u k k u k u r ik u k k u k  = −  = −  = − 或 2 2   − u r k u k ( ) ( ). 设 0 ( ) ( ) ( ), r f r f k   =  2 1 u k f k ( ) ( ). k = 3 3 2 cos 2 2 2 2 0 0 0 cos 0 0 0 1 1 1 1 1 d sin d d d 2 2 1 2 sin sin d d d 2 ik r ikr ikr e k e k k k k k rk e k k rk                        =         = =        0 2 1 sin 1 d . 2 x x r x r    = =  由卷积定理得， 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d d . 2 2 4 f r u r f r r r r r r r       = =      − −       引入函数 1 1 ( ; ) , 4 G r r  r r  = − 

hods of Mathematical Physics hapter 11 Methods of integral transforms YLMaPhys FDU 并利用∫(F)=,有 E ()=1 dr'= 4 ∫poFG(:;F 显然,G(G;r) 是非齐次方程 4 V2u(F)=-f()(-∞<x,yz<∞)的最简单的特殊问题 Vu(F)=-0(-F)(-∞<x,y,x<∞)的解。 我们称GG:P)=11为方程v()=-/()(-∞<x,y2=<)的基 本解(或 Green function) G(,)s11 的物理意义:在空间F点放置一个电量为E0的点电荷, 此电荷在点产生的电势为G(F;F).显然,它具有源点F与场点F的交换 对称性:G(F;F)=G(P’;F). 三、三维无界空间的受迫振动问题 Poisson公式和推迟势公式 现在的定解问题是 n(F,1)- a-vu(r,)=f(F,1),(-0<x,y,x<∞) p(F), (F) v,(F,)-a2v2v(GF,1)=0, v (r, 1)-a'Vv(r, 1)=f(r, n) vo=(),,|==v(F) 0. l(F,D)=w(F,1)+v(,1) 1.自由振动问题 n(,1)-avw(F,D)=0, wl=(F),,l==v(F) ∞0<x,y,<∞ 解:现在用三重 Fourier变换

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 5 并利用 0 ( ) ( )   r f r   = ，有 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( ) ( ; )d . 4 r u r r r G r r r r r      = =     −    显然， r r G r r −   =     1 4 1 ( ; )  是非齐次方程 ( ) ( ) 2 u r f r    = − (−   x, y,z  ) 的最简单的特殊问题 ( ) ( ) 2  u r = − r − r      (−   x, y,z  ) 的解。 我们称 r r G r r −   =     1 4 1 ( ; )  为方程 ( ) ( ) 2 u r f r    = − (−   x, y,z  ) 的基 本解 （或 Green Function）. r r G r r −   =     1 4 1 ( ; )  的物理意义：在空间 r   点放置一个电量为 0  的点电荷， 此电荷在 r  点产生的电势为 G r r ( ; ).  显然，它具有源点 r   与场点 r  的交换 对称性： G(r;r ) G(r ;r)      =  . 三、 三维无界空间的受迫振动问题 Poisson 公式和推迟势公式 现在的定解问题是 ( ) 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , , ( ), ( ). tt t t t u r t a u r t f r t x y z u r u r   = =  −  = −      = =  2 2 2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ), ( ), ( ). 0, 0. tt tt t t t t t t w r t a w r t v r t a v r t f r t w r w r v v   = = = =     −  = −  =  +     = = = =    u r t w r t v r t ( , ) ( , ) ( , ). = + 1. 自由振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w r t a w r t w r w r   = =  −  =   = =  (−   x, y,z  ) 解：现在用三重 Fourier 变换：