14 柱函数 柱坐标系(p,d)中 Helmholtz方程经分离变量为 z"+Z=0 v2w,.2+Am,2=0平2,{4+y由=0 P2R+PR+a-H)P2-xR=o 包含了y,μ与λ三个分离变量常数,其中A为时空分离引进的分离变量常数 类似于球坐标系,φ满足的方程最为简单,利用φ的周期条件可确定本征值γ及相应的本征函数。 dpm( )= Am cos m + Bm sin m Φ"+yΦ=0 d+2x)=小(d) 或 n(6)=Amem4+Bme-m● 接下来,是利用Z满足的微分方程及边界条件确定本征值 还是利用R满足的微分方程及边界条件确定本征值A-p? 视问题的条件而定 关于Z的微分方程容易求解,为此,要讨论R满足的微分方程应有何种形式的解 141 Bessel方程的解 当λ-μ>0时,令:A-μ=k2,则R满足的微分方程为 p2R"+pR+(2p2-m)R=0 做变换:x=kp,y(x)=R(p),则R满足的微分方程化为 se方程 这里为更一般地讨论问题,将m2写成P2,γ不再限制于正整数 9 Besse函数及其生成函数 1.基于 Besse微分方程(参见§64节) 由Bes方程:x2y+xy+(x2-y2)y=0可知,x=0是正则奇点 在微分方程的正则奇点邻域,根据 Frobenius and fuchs定理,方程有一个以下形式的解 y(x)=xx,co*0,s称为指标。 在§64已讨论,对于一般的 Bessel方程,可求得两个指标分别为:s=±v Bessel方程的两个解称为 Bessel函数,表为
14 柱函数 柱坐标系 (ρ, ϕ, z) 中Helmholtz方程经分离变量为 ∇2w(ρ, ϕ, z) + λ w(ρ, ϕ, z) = 0 w(ρ,ϕ,z)=R(ρ) Φ(ϕ) Z (z) Z″ + μ Z = 0 Φ″ + γ Φ = 0 ρ2 R″ + ρ R′ + (λ - μ) ρ2 - γ R = 0 包含了 γ, μ 与 λ 三个分离变量常数，其中 λ 为时空分离引进的分离变量常数。 类似于球坐标系，Φ 满足的方程最为简单，利用 Φ 的周期条件可确定本征值 γ 及相应的本征函数。 Φ″ + γ Φ = 0 Φ(ϕ + 2 π) = Φ(ϕ) ⟶ γ = m2 Φm(ϕ) = Am ′ cos m ϕ + Bm ′ sin m ϕ 或 Φm(ϕ) = Am m ϕ + Bm - m ϕ , m = 0, 1, 2, … 接下来，是利用 Z 满足的微分方程及边界条件确定本征值 μ， 还是利用 R 满足的微分方程及边界条件确定本征值 λ - μ？ 视问题的条件而定。 关于 Z 的微分方程容易求解，为此，要讨论 R 满足的微分方程应有何种形式的解。 14.1 Bessel 方程的解 当 λ - μ > 0 时，令：λ - μ = k2，则 R 满足的微分方程为 ρ2 R″ + ρ R′ + k2 ρ2 - m2 R = 0 做变换： x = k ρ, y(x) = R(ρ)，则 R 满足的微分方程化为： x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0 Bessel 方程 (1.1) 这里为更一般地讨论问题，将 m2 写成 v2 ， v 不再限制于正整数。 Bessel 函数及其生成函数 1. 基于 Bessel 微分方程 （参见 § 6.4节 ） 由 Bessel 方程：x2 y″ + x y′ + x2 - v2 y = 0 可知， x = 0 是 正则奇点。 在微分方程的正则奇点邻域，根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程有一个以下形式的解 y(x) = xs k=0 ∞ ck xk, c0 ≠ 0, s 称为指标。 在 §6.4 已讨论，对于一般的 Bessel方程，可求得两个指标分别为： s = ±v。 Bessel方程的两个解称为Bessel函数，表为：
2 z14anb x 2+r n1(052k!r(k+T+1)2 J(x), (-1) x2A-y y2(x) J-"(x) 台dk!r(k-y+1) 但J-(x)与J(x)仅在v不为整数时才线性独立 V=m为整数时,J-m(x)=(-1)Jm(x),二者线性相关,为此,构造了另一个解: y()=20s7)()-()=M()称为Nmm函数或第二类Besl函数 SlnT丌 这样,无论v是否整数,J(x)都与M(x)线性无关。我们就得到 Bessel方程的两个线性独立 ()=(- x)2k+ 般阶数Bess函数的级数表示 台k!r(k++1) (cos v r)J,(x)--(x) Nr(x)= 有的文献写成Y(x) SInyI (n-k-1)!/x)2k-n (-1) n(x=-Jn(x)In (k+n+1)+(k+1) k! T Ek!(k+n)! (广 注意J(x)的级数是全平面内闭一致收敛的,并且在x→0时,J(x)有界,而N(x)无界 对非整数阶,第二类Bes函数( Neumann函数)的级数形式复杂得多,式中dgam函数如()=a I(=) 以上就是我们在§64得到的一些结论 这些结论源自于 Bessel微分方程的级数解— thanks to Frobenius and Fuchs 2基于生成函数(参见§34节) 另一方面,由解析函数的 Laurent展开(参见§34的例题),可知 ep|(-r)=SJx)p此式在除原点之外的整个复平面t之内:内闭一致收敛 其中:J(x)≡ (-1)P 为整数阶 Bessel函数 2m!r(n+m+1)(2 因此,函数 v(,D=ep|5(t-r)称为 bessel函数的生成函数 比较级数表示,可知由生成函数定义的Bes函数和由 Bessel微分方程得出的 Bessel函数两者一致。 ·回顾在 Legendre函数: 我们从生成函数定义得到了在x=±1处有界的 Legendre函数,再导出递推关系,进而, 由递推关系导出由生成函数定义的 Legendre函数满足 Legendre方程,从而完成两个定义一致性的证明 当然,也可对生成函数应用二项式展开,得到 Legendre函数的级数表示,再比较两种级数表示证明一致性。 我们这里直接比较:生成函数定义的 Bessel数与微分方程定义的 Bessel函数的级数形式,证明了一致性 当然,也可以从递推关系,得到由生成函数定义的 Bessel函数应满足的微分方程,进而证明一致性。 基于 Bessel函数的生成函数,还可以得到平面波展开公式 令生成函数中的t=ie6,则有 9= exp[ i u cos 6=∑ho(c"= PJn(u)elne 再令=kp,p=√x2+y2,则有
y1(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v ≡ Jv(x), y2(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k - v + 1) x 2 2 k-v ≡ J-v (x) 但 J-v(x) 与 Jv(x) 仅在 v 不为整数时才线性独立。 当 v = m 为整数时，J-m(x) = (-1)m Jm(x)，二者线性相关，为此，构造了另一个解： y2(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π ≡ Nv(x) 称为 Neumann 函数或第二类 Bessel 函数 这样，无论 v 是否整数， Jv(x) 都与 Nv(x) 线性无关。我们就得到Bessel方程的两个线性独立解。 Jv(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v , 一般阶数 Bessel 函数的级数表示 Nv(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π , 有的文献写成 Yv(x) Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 - 1 π k=0 n-1 (n - k - 1)! k ! x 2 2 k-n - 1 π k=0 ∞ (-1)k k ! (k + n)! [ψ(k + n + 1) + ψ(k + 1)] x 2 2 k+n 注意 Jv(x) 的级数是全平面内闭一致收敛的，并且在 x 0 时，Jv(x) 有界，而 Nv(x) 无界。 对非整数阶，第二类Bessel函数（Neumann函数）的级数形式复杂得多，式中digamma函数 ψ(z) = Γ′(z) Γ(z) 。 以上就是我们在 §6.4 得到的一些结论。 这些结论源自于 Bessel 微分方程的级数解 —— thanks to Frobenius and Fuchs. 2. 基于生成函数 （参见 §3 .4节） 另一方面，由解析函数的Laurent展开（参见 § 3.4 的例题），可知 exp x 2 t - t -1 = n=-∞ ∞ Jn(x) t n 此式在除原点之外的整个复平面 t 之内：内闭一致收敛 其中：Jn(x) ≡ m=0 ∞ (-1)m m! (n + m)! x 2 n+2 m = m=0 ∞ (-1)m m! Γ(n + m + 1) x 2 n+2 m 为整数阶 Bessel函数 因此，函数 w(z, t) = exp z 2 t - t -1 称为Bessel函数的生成函数 。 比较级数表示，可知由生成函数定义的Bessel函数和由Bessel微分方程得出的Bessel函数两者一致。 回顾在Legendre函数： 我们从生成函数定义得到了在 x = ±1 处有界的Legendre函数 ，再导出递推关系 ，进而， 由递推关系导出由生成函数定义的Legendre函数满足Legendre方程 ，从而完成两个定义一致性的证明 。 当然，也可对生成函数应用二项式展开 ，得到Legendre函数的级数表示 ，再比较两种级数表示证明一致性 。 对 Bessel函数： 我们这里直接比较 ：生成函数定义的Bessel函数与微分方程定义的Bessel函数的级数形式 ，证明了一致性 。 当然，也可以从递推关系 ，得到由生成函数定义的Bessel函数应满足的微分方程 ，进而证明一致性 。 基于Bessel函数的生成函数，还可以得到平面波展开公式。 令生成函数中的 t = θ，则有 exp u 2 θ + - θ = exp[ u cos θ] = n=-∞ ∞ Jn(u) θ t n = n=-∞ ∞ n Jn(u) n θ 再令 u = k ρ, ρ = x2 + y2 ，则有 2 z14a.nb
z14a. nb exp(i k p cos 0= i"Jn(k p)eine Jacobi-- Anger公式 jacobi.- Anger公式将平面波表示为一些列柱面波的叠加。这个公式多用于分析圆柱体的波散射问题。 文件z1401包含番 Mathematica代码,显示平面波、柱面波以及平面波表示为柱面波的动画及图形。 3几个低阶 Bessel函数与 Neumman函教图 注意整数阶 Bessel函数无法表为初等函数形式。 Bessel [2, x] BesselJ[l,x Bessel [2,x] c1ear["G1oba1★"] gl =Plot[[BesselJ[O, x], BesselJ[l, x], BesselJ[2, x]y Plotstyle+[[Red], [Magenta, Dashed], [Blue, DotDashed]] PlotLabel- BesselJ [n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions",LegendMarkerSize +[30, 151]] g2= Plot[[BesselY[o, x], Bessel [l, x], BesselY [2, x]) [x,0, 10), PlotRange+[-5,1 Plotstyle+[[Red], [Magenta, Dashed], [Blue, DotDashed]] PlotLabel- Bessel [n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions",LegendMarkerSize +[30, 151]] Grid[[igl, Spacer[50], 921)] Jn(x) -Jo(r) Y(x) Yo() 02 J1(x) Y1(x) 8、10 J2(x) 例题 日例1.计算积分:|=c-xb(bx)dx,a>b>0 利用Bese函数的级数表示:m)=(1) Edk!r(k+ 1) (广 (-1)(b dx,因为幂级数内闭一致收敛,积分求和可交换次序 fk!r(k+1)(2 (I)(b exx2kdx,利用Ak=eax+dx=-A-1=-A Eo k! k
exp[ k ρ cos θ] = n=-∞ ∞ n Jn(k ρ) n θ —— Jacobi-Anger 公式 Jacobi-Anger公式将平面波表示为一些列柱面波的叠加。这个公式多用于分析圆柱体的波散射问题。 文件 z14-01 包含 Mathematica 代码，显示平面波、柱面波以及平面波表示为柱面波的动画及图形。 3. 几个低阶Bessel函数与 Neumman函数图 注意整数阶Bessel函数无法表为初等函数形式。 BesselJ[1, x] BesselY[2, x] BesselJ[1, x] BesselY[2, x] Clear["Global`*"] g1 = Plot[{BesselJ[0, x], BesselJ[1, x] , BesselJ[2, x] }, {x, 0, 10}, PlotRange {-1 / 2, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, DotDashed}}, PlotLabel BesselJ[n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions", LegendMarkerSize {30, 15}]]; g2 = Plot[{BesselY[0, x], BesselY[1, x] , BesselY[2, x] }, {x, 0, 10}, PlotRange {-5, 1}, PlotStyle {{Red}, {Magenta, Dashed}, {Blue, DotDashed}}, PlotLabel BesselY[n, x], PlotLegends LineLegend["Expressions", LegendMarkerSize {30, 15}]]; Grid[{{g1, Spacer[50], g2}}] 2 4 6 8 10 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Jn(x) J0(x) J1(x) J2(x) 2 4 6 8 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 Yn(x) Y0(x) Y1(x) Y2(x) 4. 例题 ☺ 例 1. 计算积分： I = ∫0 ∞ -a x J0(b x) x, a > b > 0 解：利用Bessel函数的级数表示 ：J0(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + 1) x 2 2 k I = 0 ∞ -a x k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + 1) b x 2 2 k x, 因为幂级数内闭一致收敛 ，积分求和可交换次序 = k=0 ∞ (-1)k k ! k ! b 2 2 k 0 ∞ -a x x2 k x, 利用 Ak = 0 ∞ -a x xk x = k a Ak-1 = k ! ak A0 = k ! ak+1 z14a.nb 3
k!24,利用:|-2|=(-12b! (-1)4b2k(2k)! (证明见下注) 2kk!k! 利用:(1+t)= 注:(1)二项式系数 连续k个间隔为 (-r)(-r-1)( 注意这里r不必为正整数 从P+k-1开始,k个间隔为1的数 r+k-1 =(-)(k 所以: 2/=(-1y/k-2) 2|=(-1y =1)(2k-1)=(-1y (2k-1)!!(2k)! 2k! 2k (2k)! 22k(k!)2 ()个4bxdx=-1称为Lhmz公式 a +l 成立的条件为:Rea>0且Re(a±ib)≥0(尽管这里只对a>b>0情况进行证明。) 对复数a△多值函数√口+取p+VGa+>例的分枝 Integrate[ eax BesselJ[0,bx],【x,0,∞}, Assumptions沙(Re[a]>0}] ConditionalExpression Re[a]≥Abs[Im[b] 142 Besse函数的递推关系 Q递推关系 当然,可以类似于 Legendre,从生成函数导出递推关系。只是这种做法仅适用于整数阶Bess函数 对一般 Bessel函数,通常从级数表示出发,导出递推关系 Bessel函数最基本的递推关系为
= k=0 ∞ (-1)k k ! k ! b2 k 22 k (2 k)! a2 k+1 , 利用： - 1 2 k = (-1)k (2 k)! 22 k k ! k ! （证明见下注 ） = 1 a k=0 ∞ - 1 2 k b a 2 k , 利用：(1 + t)r = k=0 ∞ r k t k for t < 1 = 1 a 1 + b a 2 -1/2 = 1 a2 + b2 注：(1) 二项式系数 -r k = (-r) (-r - 1) (-r - 2) ⋯[-r - (k - 1)] 从 - r 开始，连续k 个间隔为1 的数相乘 k ! 注意这里 r 不必为正整数 = (-1)k (r + k - 1) (r + k - 2) ⋯(r + 1)r 从 r+k-1 开始，k 个间隔为1 的数相乘 k ! = (-1)k r + k - 1 k , k = 0, 1, 2, … 所以： - 1 2 k = (-1)k k - 1 2 k = (-1)k k - 1 2 k - 3 2 ⋯ 1 2 k ! = (-1)k (2 k - 1)!! 2k k ! = (-1) k (2 k - 1)!! 2k k ! (2 k)!! 2k k ! = (-1)k (2 k)! 22 k (k !)2 (2) 0 ∞ -a x J0(b x) x = 1 a2 + b2 称为 Lipschitz 公式 成立的条件为 ：Re a > 0 且 Re (a ± b) ≥ 0 （尽管这里只对 a > b > 0 情况进行证明 。） 对复数 a, b，多值函数 a2 + b2 取 a + a2 + b2 > b 的分枝 Integrate[-a x BesselJ[0, b x], {x, 0, ∞}, Assumptions {Re[a] > 0}] ConditionalExpression 1 a 1 + b2 a2 , Re[a] ≥ Abs[Im[b]] 14.2 Bessel 函数的递推关系 递推关系 当然，可以类似于Legendre，从生成函数导出递推关系。只是这种做法仅适用于整数阶Bessel函数。 对一般Bessel函数，通常从级数表示出发，导出递推关系。 Bessel函数最基本的递推关系为： 4 z14a.nb
z14a. nb Ir J,(x)=xJx-(x) (1.2) [xJ(x)]=-x-rJ+1(x) 以下基于级数表示给出证明。 Ir.(x)I dxl kirk+r+n2 级数内闭一致收敛,可逐项求导 =P((2k+2n 利用:I(k+v+1)=(k+y)r(k+v) dk!(k+v+1) Edk!ru+v) 2/ xXix x-"J(x)= 级数内闭一致收敛,可逐项求导 k!(k+v+1)(2 Irk 注意因为有2k因子,求和指标k可从1开始 ETk!r(k+v+1) (-1) 其中k=k+1 k!r(k++1+1)(2 由基本递推关系(1.2)得 x"J(x)]=x"J-(x) vx-,(x)+x'(x)=xJ,-(x) x,(x)=-x-u+(x) yx-1J1(x)+x"J(x)=-x"J+( vJ(x)+x(x)=x-I(x) 分别消去J和小,可得两个递推关系 J-1(x)-J+(x)=2/(x) (x)+(29)/令v=0,可得:-1()=6(x) (1.3) 注意上式对任意阶数y成立 由第二类Bese函数Nx)的定义:Nx)=cosn)J(x)-J-(x) 可得N(x)满足相同的递推关系 -[xN(x)]=xN-1(x) N1-1(x)-N+1(x)=2N(x) xM(x)=-x-N+1(x) N(x)+M()s3 Q柱函数 满足以下递推关系的函数 x"Z(x)l=x"Z、-1(x) 称为柱函数 例1.试证明柱函数必满足 Bessel方程,反之不然 证明:类似于 Legendre函数,现在需要从递推关系导出微分方程
x [xv Jv(x)] = xv Jv-1(x) x [x-v Jv (x)] = -x-v Jv+1(x) (1.2) 以下基于级数表示给出证明。 x [xv Jv(x)] = x xv k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 级数内闭一致收敛 ，可逐项求导 = k=0 ∞ (-1)k (2 k + 2 v) k ! Γ(k + v + 1) x2 k+2 v-1 1 22 k+v , 利用：Γ(k + v + 1) = (k + v) Γ(k + v) = xv k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v) x 2 2 k+v-1 = xv Jv-1(x) x [x-v Jv(x)] = x x-v k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 级数内闭一致收敛 ，可逐项求导 = k=1 ∞ (-1) k 2 k k ! Γ(k + v + 1) x2 k-1 1 22 k+v , 注意因为有 2 k 因子，求和指标 k 可从 1 开始 = -x-v k′=0 ∞ (-1) k′ k′ ! Γ(k′ + v + 1 + 1) x 2 2 k′+v+1 其中 k = k′ + 1 = -x-v Jv+1(x) 由基本递推关系 (1.2) 得： x [xv Jv(x)] = xv Jv-1(x) x [x-v Jv (x)] = -x-v Jv+1(x) ⟹ ν xv-1 Jv(x) + xν Jv ′(x) = xv Jv-1(x) -ν x-v-1 Jv(x) + x-ν Jv ′(x) = -x-v Jv+1(x) ⟹ ν Jv(x) + x Jv ′(x) = x Jv-1(x) -ν Jv(x) + x Jv ′(x) = -x Jv+1(x) 分别消去 Jv 和 Jv ′，可得两个递推关系： Jv-1(x) - Jv+1(x) = 2 Jv ′(x) Jv-1(x) + Jv+1(x) = 2 v x Jv(x) 令 v = 0，可得：-J1(x) = J0 ′ (x) (1.3) 注意上式对任意阶数 v 成立。 由第二类Bessel函数 Nv(x) 的定义：Nv(x) = (cos v π) Jv(x) - J-v(x) sin v π 可得 Nv(x) 满足相同的递推关系 ： x [xv Nv(x)] = xv Nv-1(x) x [x-v Nv(x)] = -x-v Nv+1(x) 和 Nv-1(x) - Nv+1(x) = 2 Nv ′(x) Nv-1(x) + Nv+1(x) = 2 v x Nv(x) (1.4) 柱函数 满足以下递推关系的函数 x [xv Zv(x)] = xv Zv-1(x) x [x-v Zv(x)] = -x-v Zv+1(x) 称为 柱函数 ☺ 例 1. 试证明柱函数必满足Bessel方程，反之不然。 证明：类似于Legendre函数 ，现在需要从递推关系导出微分方程 。 z14a.nb 5