复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十一章 积分变换法 Methods of integral transforms

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU Chapter 11积分变换法 、无界空间的有源导热问题- Fourier变换法 定解闻题:/4(~1<3u1、()=/(x1.(-a<x<∞) d-=(x) w-aw=0,(-o0<x< oo)v, -av=f(x, 0),( 00<X<00 Iwo=p(x) x,)=w(x,)+v(x,D 1.一维无源导热问题 v(x)-avx(x,1)=0,( Iwo=p(x) 解:把t看作参数,应用 Fourier变换: i(k,1) (x,1)+>W(k,t) n(x,1)分(ik)i(k,1)=-k2i(k, ,(k,1)+a2k2i(k,1)=0, i0=(k) 解得(k,1)=(k)e- 因为(k)+>以(x), k2t av2m(利用[ e- cos bxdx=1e如, 利用卷积定理,得 V(, t) p() d5=p() p(G(x,t;5,0d5

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 11 积分变换法 一、无界空间的有源导热问题—Fourier 变换法 定解问题:   2 0 ( , ) ( , ) ( , ), ( ). t xx t u x t a u x t f x t x u x                  2 2 0 0 0, ( , ), ( ). 0. t xx t xx t t w a w x v a v f x t x w x v                               u x t w x t v x t ( , ) ( , ) ( , ).   1．一维无源导热问题   2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t xx t w x t a w x t x w x              解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换: 1 ( , ) ( , ) d ; 2 1 ( , ) ( , ) d . 2 ikx ikx w k t w x t e x w x t w k t e k                  w x t w k t ( , ) ( , ),    2 2 ( , ) ( , ) ( , ). w x t ik w k t k w k t xx    2 2 0 ( , ) ( , ) 0, ( ). t t w k t a k w k t w k          解得 2 2 ( , ) ( ) . a k t w k t k e    因为 ( ) ( ) ~  k  x ， a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1    (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d        ）， 利用卷积定理，得     2 2 2 2 4 4 1 1 1 ( , ) ( ) d ( ) d 2 2 2 ( ) ( , ; ,0)d , x x w x t e e a t a t a t a t G x t                              

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU (x-5) 其中G(x,t;=,0) 容易验证,G(x,t,5,0)是问题 u, (x1)-a u n(x,1)=0(-∞<x<∝ 的解。 l-n=o(x-5) G(x,t,50)称为一维无源导热问题的基本解(或 Green Function) 显然,只要找到了 Green function,则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义: 在方程为齐次的情况下,在t=0时刻,在x=5处放置一个热量为Q的 点热源,相当于给定初始温度分布≌δ(x-5)因此,G(x,t150)就是在时 刻t=0,在x=5处放置了一个热量为cp的点热源的情况下,在时刻t杆上 的温度分布。因而,它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长,G(x,t,ξ0O)曲线渐趋平坦,即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是,在任一时刻t,杆上的总热量保持不变。即 (x-)2 l(x1)=G(x,t5,0cp5= de 2a√mt 另外, Green function具有性质:G(x,t;5,0)=G(2,t;x,0) 在【<0时,G(x,t;5,0)无意义,这反映了热传导的不可逆性。 G(x,t;5,r) 是 l(x,1)-alu(x,)=0(-∞<x<∞,t>) l-=o(x-5) 的解。 性质:G(x,t;5,r)=G(,;,x,z) G(x,t;5,)=G(x,t-z;x0)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 2 其中   2 2 4 1 ( , ; ,0) . 2 x G x t e a t a t       容易验证， G(x,t;,0) 是问题                 ( ) ( , ) ( , ) 0 0 2 u  x  u x t a u x t x t t xx 的解。 G(x,t;,0) 称为一维无源导热问题的基本解（或 Green Function）。 显然，只要找到了 Green Function， 则任意初始分布的解均可通过一 个积分表示出来。 物理意义： 在方程为齐次的情况下，在 t  0 时刻，在 x   处放置一个热量为 Q 的 点热源，相当于给定初始温度分布 ( ). Q x c     因此， G(x,t;,0) 就是在时 刻 t  0 ，在 x   处放置了一个热量为 c 的点热源的情况下，在时刻 t 杆上 的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。 随着时间的增长， G(x,t;,0) 曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温 度较低的两侧流动。但是，在任一时刻 t ，杆上的总热量保持不变。即   2 2 2 4 ( , ) ( , ; ,0) . 2 x a t c c u x t G x t c d e d e d c a t                             另外，Green Function 具有性质： G x t G t x ( , ; ,0) ( , ; ,0).    在 t  0 时， G(x,t;,0) 无意义，这反映了热传导的不可逆性。 推广：                  a t x e a t G x t 2 2 4 2 1 ( , ; , ) 是                  ( ) ( , ) ( , ) 0 , 2     u x u x t a u x t x t t t xx 的解。 性质： G x t G t x ( , ; , ) ( , ; , ),      G(x,t;,)  G(x,t ; x,0)

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 2.一维有源零初始条件的导热问题 -avx=f(x,1),(-∞<x<∞ 解:把t看作参数,应用 Fourier变换, i(k,1)+a2k2i(k,1)=f(k,) 此非齐次方程可用 Laplace变换,或常数变异法求解。得 (k,1)=「f(k,r)e 因为f(k,z)f(x,r) c)(利用 e- cos bxdx -e 4a Va 利用卷积定理,有 f(,)e-k (-n f∫(5,r)e ()G(x1-505 f(, rG(x, t; 5, r)ds f(s, r)G(,t; 5, r)ds dr (-2 其中G(x,t;5,r)= eta(.它也是问题 l(x,1)-a2u2(x,1)=o(x-5)6(t-r)(-∞<x<m,t>r) 的解 因此,一维无界空间的有源导热问题 l4(x,1)-a2lx(x,1)=f(x1)(∞<x<∝ =(x) 的解为 u(x, 0=w(x, )+v(x,t) P(sG(, t; 5, 0)ds+ f(E, r)G(x, t; 5, r)ds dr G(x,;5,τ)称为一维无界空间导热问题的基本解(或 Green Function)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 3 2．一维有源零初始条件的导热问题   2 0 ( , ), 0. t xx t v a v f x t x v             解：把 t 看作参数，应用 Fourier 变换， 2 2 0 ( , ) ( , ) ( , ), 0. t t v k t a k v k t f k t v         此非齐次方程可用 Laplace 变换，或常数变异法求解。得   2 2 0 ( , ) ( , ) . t a k t v k t f k e d       因为 f k f x ( , ) ( , ),                   a t x a k t e a t e 2 2 2 2 4 2 1 (利用 a b ax e a e bx x 4 2 2 cos d        ）. 利用卷积定理，有         2 2 2 2 1 4 ( , ) ( , ) d 2 ( , ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d . x a k t a t f k e f e a t f G x t f G x t                                       0 ( , ) ( , ) ( , ; , )d d , t v x t f G x t                  其中       2 2 1 4 ( , ; , ) . 2 x a t G x t e a t            它也是问题                   0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) , 0 2 t t xx u u x t a u x t  x   t  x t  的解。 因此，一维无界空间的有源导热问题                ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 u x u x t a u x t f x t x t t xx  的解为 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ; ,0)d ( , ) ( , ; , )d d . t u x t w x t v x t           G x t f G x t                  G(x,t;,) 称为一维无界空间导热问题的基本解（或 Green Function）

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 、三维无界空间的静电场问题 静电势l()满足 Poisson方程,即 Vu(r)=ux+u+u =p(r) (-∞<x,y,z<∞ 现在用三重 Fourier变换: a小)=/1 ) 求解。 (k) √2 u(r)e 其中 和k=k+k2 u(r)u(k) l.(P)>(l ik)u(k)=-kui(k) u(F)+(ik,u(k)=-ku(k), p Vu(r)*-k2u(k) l(F)+(ik1)2i(k)=-k2i(k) 设∫(F) P(r) >f(k) i(k)=2f(k) B tos k sin @dkd edg eikrcsesinOdkd8=-rsinrk rk I rosin x dx 2 由卷积定理得,0)=(.= 引入函数G(;r)

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 4 二、 三维无界空间的静电场问题 静电势 u(r)  满足 Poisson 方程，即 2 0 ( ) ( ) . xx yy zz r u r u u u            x, y,z   现在用三重 Fourier 变换:                           u k u r e r u r u k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r  xi  yi  zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i    . u r u k ( ) ( ),  2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), xx yy zz u r ik u k k u k u r ik u k k u k u r ik u k k u k          或 2 2    u r k u k ( ) ( ). 设 0 ( ) ( ) ( ), r f r f k     2 1 u k f k ( ) ( ). k  3 3 2 cos 2 2 2 2 0 0 0 cos 0 0 0 1 1 1 1 1 d sin d d d 2 2 1 2 sin sin d d d 2 ik r ikr ikr e k e k k k k k rk e k k rk                                          0 2 1 sin 1 d . 2 x x r x r       由卷积定理得， 3 1 1 1 ( ) ( ) ( ) d d . 2 2 4 f r u r f r r r r r r r                      引入函数 1 1 ( ; ) , 4 G r r  r r    

Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU 并利用f(F) p(r 有 l)1 ∫poG(;r) 显然,G(F;F)= 是非齐次方程 v()=-f()(-∞<x,y,z<∞)的最简单的特殊问题 v2(F)=-6(-F)( ∞<x,V,2<∞ )的解。 我们称GP)=47F-为方程v0)=)(xy=<)的基 本解(或 Green Function) 的物理意义:在空间r点放置一个电量为E0的点电荷 TF-F 此电荷在产点产生的电势为G(F;F).显然,它具有源点r与场点F的交换 对称性:G(F;F) 三、三维无界空间的受迫振动问题 Poisson公式和推迟势公式 现在的定解问题是 n(,1)-avu(F,1)=f(F,1),(-<x,y,z<∞) -0=叭(F,ul=v(F) F,1)-aV2w(F21)=0, v, (F, 1-a-VvF, n=f(r, n) A==(F.w|-。=v(F) →l(,D)=w(,)+v(F2) 自由振动问题 n(F,)-a2V2v(F,1)=0, =(F) (-∞<x,y,z<∞) 解:现在用三重 Fourier变换

Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 5 并利用 0 ( ) ( )   r f r    ，有 0 0 1 ( ) 1 ( ) d ( ) ( ; )d . 4 r u r r r G r r r r r                显然， r r G r r         1 4 1 ( ; )  是非齐次方程 ( ) ( ) 2 u r f r         x, y,z   的最简单的特殊问题 ( ) ( ) 2  u r   r  r         x, y,z   的解。 我们称 r r G r r         1 4 1 ( ; )  为方程 ( ) ( ) 2 u r f r         x, y,z   的基 本解 （或 Green Function）. r r G r r         1 4 1 ( ; )  的物理意义：在空间 r   点放置一个电量为 0  的点电荷， 此电荷在 r  点产生的电势为 G r r ( ; ).  显然，它具有源点 r   与场点 r  的交换 对称性： G(r;r ) G(r ;r)        . 三、 三维无界空间的受迫振动问题 Poisson 公式和推迟势公式 现在的定解问题是   2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , , ( ), ( ). tt t t t u r t a u r t f r t x y z u r u r                  2 2 2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ), ( ), ( ). 0, 0. tt tt t t t t t t w r t a w r t v r t a v r t f r t w r w r v v                              u r t w r t v r t ( , ) ( , ) ( , ).   1. 自由振动问题 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w r t a w r t w r w r                 x, y,z   解：现在用三重 Fourier 变换：