复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 Series solutions of linear difference equations and some special functions

Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU Chapter8线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 特点 1)过程繁杂乏味,结果简单精彩。 2)问题复杂,思路原始。 3)想法既笨(非小技巧)又绝顶聪明。 4)学思路方法,用时查手册、程序。 基本概念及通解结构 二阶线性常微分方程的标准形式 y(x)+p(x)y(x)+q(x)(x)=f(x)变系数方程,非齐次, 其非齐次项f(x)亦称为自由项 y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0齐次方程 y"(x)+P0y(x)+q0y(x)=0 二阶线性常系数齐次微分方程 对于一般n阶线性齐次常微分方程,可以用算符L作用到函数y(x)上的 形式表示 dx'dro(x)=0 L是各阶微商的线性函数,最高阶为n,称为n阶线性微分算符。所谓线 性,指算符L中,仅仅包含y(x)的各阶微商(包括零阶)的一次幂项 2.方程的常点和正则奇点(特点:常点非常,奇点更奇) 为进行比较普遍的讨论,我们取方程的宗量为复变量。 方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是,解的解析性由系数 的解析性决定。常点:如果系数函数p(x)和q(x)在x=x点是解析的,则 点称为二阶线性常微分方程的常点 奇点:如果p(x)和q(x)中的一个(或两个)在x=x点是不解析,则x0点 称为二阶线性常微分方程的奇点。 正则奇点:如果x=x点为方程的奇点,但在该点函数(x-x)p(x)和 (x-x)q(x)都是解析的,则x0点称为二阶线性常微分方程的正则奇点 (二阶奇点可解,有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换) 3.齐次方程的通解结构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 特 点： 1） 过程繁杂乏味, 结果简单精彩。 2） 问题复杂，思路原始。 3） 想法既笨（非小技巧）又绝顶聪明。 4） 学思路方法，用时查手册、程序。 一、 基本概念及通解结构 1. 二阶线性常微分方程的标准形式 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  f (x) 变系数方程，非齐次， 其非齐次项 f (x) 亦称为自由项。 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 齐次方程 y (x)  p0 y (x)  q0 y(x)  0 二阶线性常系数齐次微分方程。 对于一般 n 阶线性齐次常微分方程，可以用算符 L 作用到函数 y(x) 上的 形式表示： 1 0 1 0 d d d d , , , , ( ) 0 d d d d n n n n L y x x x x x          ， L 是各阶微商的线性函数，最高阶为 n ，称为 n 阶线性微分算符。所谓线 性，指算符 L 中，仅仅包含 y(x) 的各阶微商（包括零阶）的一次幂项。 2. 方程的常点和正则奇点（特点：常点非常，奇点更奇） 为进行比较普遍的讨论，我们取方程的宗量为复变量。 方程的通解完全由方程的系数的性质决定。特别是，解的解析性由系数 的解析性决定。常点：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在 0 x x  点是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的常点。 奇点：如果 p(x) 和 q(x) 中的一个（或两个）在 0 x x  点是不解析，则 0 x 点 称为二阶线性常微分方程的奇点。 正则奇点：如果 0 x x  点为方程的奇点，但在该点函数   ( ) 0 x  x p x 和   ( ) 2 0 x  x q x 都是解析的，则 0 x 点称为二阶线性常微分方程的正则奇点 （二阶奇点可解，有限阶奇点和本性奇点则不可解或寻找非线性变换）。 3. 齐次方程的通解结构

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU 定理一(迭加原理):若y(x)和y2(x)是n阶线性微分方程(共有n个解) dx dx'dr yx)=Lny(x)=0 的两个解,则4y(x)+B2(x)也是该方程的解(A和B是两个任意常数 定理二:若y(x)和y2(x)是方程 y(x)+p(x)y(x)+(x)y(x)=L2y(x)=0 的两个特解,则y(x)和y2(x)线性无关的充要条件是:它们的朗斯基 ( Wronski))行列式数学: Wronsky行列式)△(n,y2)=Px)y2(x不为 yi(x)y2(x) 零。这条定理是显而易见的,如果y和y2是线性相关的,则令 4y(x)+B2(x)=0.将其微商便得到方程组{1+的2=0 Ay+ By=0 当△=,|=0时,有非零的A和B解,此即y1y=-AB反之,当 y △≠0时,只有平凡解:A=B=0,此即表示y和y2是线性无关的(两者 的比值是x的函数)。 Wronski行列式的性质 i)交换对称性:△(y,y2)=△(y2yH) i)对数连续性:A(,y2)x=031 loelylato dlogr dlog y2 d log x i)线性相关性:△(y1,y2)=0a)→y2=cy1(c= const) 如果y1(x)和y2(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)x)=0的两个线 性独立解(称为特解),那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此,对于这个方程来说,{v(x),y2(x)是完备系(基本解),而 (x)=Ay(x)+B2(x)为通解。有了通解,再根据定解条件:y(x)=a和 y(x0)=B,就可以确定常数A和B

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 2 定理一（迭加原理）：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是 n 阶线性微分方程（共有 n 个解） 1 0 1 0 d d d d ˆ , , , , ( ) ( ) 0 d d d d n n L y x L y x n n n x x x x           的两个解，则 ( ) ( ) 1 2 Ay x  By x 也是该方程的解（ A 和 B 是两个任意常数）。 定理二：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 2 ˆ y x p x y x q x y x L y x   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0     的两个特解，则 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 线性无关的充要条件是：它们的朗斯基 （Wronski）行列式(数学：Wronsky 行列式)   ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 y x y x y x y x y y     不为 零 。 这 条 定 理 是 显 而 易 见 的 ， 如 果 1 y 和 2 y 是线性相关的 ， 则 令 Ay1 (x)  By2 (x)  0 . 将其微商便得到方程组          0 0 1 2 1 2 Ay By Ay By . 当 0 1 2 1 2      y y y y 时，有非零的 A 和 B 解，此即 2 1 y y A B / / .   反之，当   0 时，只有平凡解： A  B  0 ，此即表示 1 y 和 2 y 是线性无关的（两者 的比值是 x 的函数）。 Wronski 行列式的性质： i) 交换对称性：     y y y y 1 2 2 1 , , .    ii）对数连续性：   0 0 0 1 2 1 2 d log d log , | 0 | | . d log d log x x x x x x y y y y x x        iii）线性相关性：       y y x y cy c 1 2 2 1 , 0 (for all ) ( const. ).  如果 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的两个线 性独立解（称为特解），那么该方程的任何解均可表示为这两个解的线 性组合。因此，对于这个方程来说， y1 (x), y2 (x) 是完备系(基本解)，而 ( ) ( ) ( ) 1 2 y x  Ay x  By x 为通解。有了通解，再根据定解条件： y(x0 )   和 y (x0 )   ,就可以确定常数 A 和 B

Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU 定理三:若y1(x)是方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的一个特解,则 方程的另一个线性无关的特解为( See adv.Math) v2(x)=y(x-expl-pexydrkoix [证明]既然y(x)和y2(x)是方程的解,所以 y(x)+p(x)y1(x)+q(x)y1(x)=0, y2(x)+p(x)y2(x)+q(x)y2(x)=0 由于y1(x)和y2(x)是线性无关的,因此它们的 Wronsk行列式不为 零,即△(x)=P1y≠0.()×均2-(2)×y,可得 (y2-y2y1)+p(x)v1y2-n2y)=0 因此,d(y-y2x)=-p(x(y-y2y) 此即,=px.积分后可得A(2=△(,y)=x)l 由于 d(卫2)_yy2-y2y_△(x) xp P(x 再积分,即得y(x)=y(x) expf p(x) 4.非齐次方程的通解 定理四:若y1(x)和y2(x)是方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的两个线 性无关解,则相应非齐次方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x) 的一个特解为 x(x)=y()J(0yCd-=()y(ax 其中△(x)= 是 Wronski行列式。 [证明]设y(x)为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=f(x)的任一特解,即 y3(x)+p(x)y3(x)+q(x)y3(x)=f(x)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 3 定理三：若 ( ) 1 y x 是方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的一个特解，则 方程的另一个线性无关的特解为（See Adv. Math.）  p x x x y y x y x exp ( )d d 1 ( ) ( ) 2 1 2 1     . [证明] 既然 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程的解，所以 y1 (x)  p(x)y1 (x)  q(x)y1 (x)  0 , (1) y2 (x)  p(x)y2 (x)  q(x)y2 (x)  0 . (2) 由于 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是线性无关的，因此它们的 Wronski 行列式不为 零，即 ( ) 0 1 2 1 2      y y y y x . 2 1 (1) (2)    y y ，可得 y1 y2   y2 y1  p(x)y1 y2   y2 y1   0. 因此，     1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d d y y y y p x y y y y x         . 此即，     ( ) d d p x x . 积分后可得      (x)   y , y  exp  p(x)dx 1 2 . 由于                   p x x y y x y y y y y y y x exp ( )d ( ) 1 d d 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 再积分，即得  p x x x y y x y x exp ( )d d 1 ( ) ( ) 2 1 2 1     . 4. 非齐次方程的通解 定理四：若 ( ) 1 y x 和 ( ) 2 y x 是方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的两个线 性无关解，则相应非齐次方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  f (x) 的一个特解为       x x f x y x x y x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 3 2 ， 其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x     是 Wronski 行列式。 [证明] 设 ( ) 3 y x 为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  f (x) 的任一特解，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 y  x  p x y  x  q x y x  f x . (3)

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU (3)×y(x)-(1)×y3(x)得 y3-y2y1)+p(x)vy3-y21)=f(x)y1(x), Bp (y-yyi+p(x)0y-yayi=f(x)y(x) 令Q(x)=△(y,y1)= y则,则上式变为, do(x) p(x)O(x)=f(x)y,(x) 作代换Q(x)=△(x)(x),其中△(x)= 得 d△x)(x)-△(x) du(x) p(x)△(xa(x)=f(x)y(x),即 du(x) △(x) =f(x)y(x),[利用了 =-p(x)△(x)] 所以(x)=丁 ∫(、么O=「f(x)y △(x) 由于 y1v3-y3y_ @(x)_A(x)rf()y(x) dx y2 △(x) 再积分,即得乃(x)=y/4(x),f(kdx 用分步积分改写,即得 H(x)/4(x) △( △ y2(x) f(x)y(x) dx -y,(x f(xy,(x) △( △(x) [其,我们利用了()=y(22d=(ep(x1 常点邻域方程的级数解法 1.解的存在和唯一性定理:如果系数函数p(x)和q(x)在圆域x-x<R 内是解析的,则在此圆域内,方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)(x)=0存在唯

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 4 1 3 (3) ( ) (1) ( )    y x y x 得，   ( )  ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y   y y   p x y y   y y   f x y x ， 即   ( )  ( ) ( ) d d 1 3 3 1 1 3 3 1 1 y y y y p x y y y y f x y x x         . 令 3 1 3 1 3 1 ( ) ( , ) y y y y Q x y y      ，则上式变为， ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x Q x f x y x x Q x    . 作代换 Q(x)  (x)u(x) ，其中 1 2 1 2 ( ) y y y y x     ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) 1 p x x u x f x y x x u x u x x x x        ，即 ( ) ( ) d d ( ) ( ) 1 f x y x x u x   x  ， [利用了 ( ) ( ) d d ( ) p x x x x     ]. 所以     x x f x y x u x d ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 那么     x x f x y x Q x x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 由于                  x x f x y x y x y Q x y y y y y y y x d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 3 ， 再积分，即得            x x x f x y x y x y x y x d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 1 . 用分步积分改写，即得                                                     x x f x y x x y x x f x y x y x x x y x x f x y x x y x x f x y x x y x y x x y x x x f x y x y x y x d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 [其中，我们利用了  p x x x y x y x y x y x y x exp ( )d d 1 d ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1        ]. 二、 常点邻域方程的级数解法 1. 解的存在和唯一性定理：如果系数函数 p(x) 和 q(x) 在圆域 x  x0  R 内是解析的，则在此圆域内，方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 存在唯一

Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU 的、满足定解条件y(x)=c和y(x0)=c1的解析解y(x) 既然解是唯一存在的,而且是解析的,则可将其设为以常点x为展开中 心的 Taylor series: J(x)=∑cn(x-x0),其中cn已知。逐项微分得 y(x)=∑mcn(x-x)和yx)=∑m(n-1)cn(x-x)2.将这些带入二阶线 n=2 性常微分方程,就可以确定系数{cn}一这种表示理论的“坐标值”。该幂级 数在收敛圆内即为方程y(x)+p(x)y(x)+q(x)y(x)=0的解一级数解其收敛 半径是R 2.勒让德方程( Legendre' s equation) -x2)y-2xy+1+1y=0,(1为常数,1阶 Legendre's equation 物理上球对称 Laplace方程在θ方向(x=cosO),角动量量子数取零或 正整数;当然数学上l还可取其它值;本质上,含参数的微分方程在确定条 件下存在本征值问题:本征值以量子数表示,本征函数构成正交、完备、归 一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters12and13. 第一步:考察方程的性质,即判断展开中心点的奇性。 Legendre's equation的系数函数是p(x)=-1-x2 2x和q(x)=1-x2 l(+1) 它们 在x=0点都是解析的,即x=0是方程的常点。由上面的定理可知, Legendre's equation的解也是解析的。因此该解可展成以x0=0为中心的 Taylor series 第二步:把解写成y(x)=∑cnx,再求出y(x)和y(x)的级数,代入方程。 y=co+c1x+c2x2+c3x3+…+cnx”+ y=C+2c,x+3C3x'+.+nc,"+ y”=2·l2+3·2cx+…+n(n-1)knx"2+… 第三步:将方程中同次幂项归并,由其系数和为零得出联系cn和cn2的递推 公式(RR,其中c,c1已知)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 5 的、满足定解条件 0 0 y(x )  c 和 0 1 y (x )  c 的解析解 y(x) . 既然解是唯一存在的，而且是解析的，则可将其设为以常点 0 x 为展开中 心 的 Taylor series:  0  0 ( ) , n n n y x c x x      其 中 0 1 c c, 已知。 逐 项 微 分 得   1 0 1 '( ) n n n y x nc x x       和   2 0 2 ''( ) ( 1) . n n n y x n n c x x        将这些带入二阶线 性常微分方程，就可以确定系数{ n c }—这种表示理论的“坐标值”。该幂级 数在收敛圆内即为方程 y (x)  p(x)y (x)  q(x)y(x)  0 的解—级数解,其收敛 半径是 R. 2．勒让德方程（Legendre’s equation） 1  2 ( 1) 0 2  x y   xy   l l  y  ，（ l 为常数，l 阶 Legendre’s equation）. 物理上球对称 Laplace 方程在  方向 ( cos ) x   ，角动量量子数 l 取零或 正整数；当然数学上 l 还可取其它值；本质上，含参数的微分方程在确定条 件下存在本征值问题：本征值以量子数表示，本征函数构成正交、完备、归 一集。方程的来源、分离变量和本征值问题等等 See Chapters 12 and 13. 第一步：考察方程的性质，即判断展开中心点的奇性。 Legendre’s equation 的系数函数是 2 1 2 ( ) x x p x    和 2 1 ( 1) ( ) x l l q x    ，它们 在 x  0 点都是解析的，即 x  0 是方程的常点。由上面的定理可知，Legendre’s equation 的解也是解析的。因此该解可展成以 x0  0 为中心的 Taylor series. 第二步：把解写成 0 ( ) n n n y x c x     ，再求出 y (x) 和 y (x) 的级数，代入方程。 y  c0  c1 x  c2 x 2  c3 x 3  cn x n , y   c1  2c2 x  3c3 x 2  ncn x n1 , y   2 1c2  3 2c3 x  n n 1cn x n2 . 第三步：将方程中同次幂项归并，由其系数和为零得出联系 n c 和 n2 c 的递推 公式（RR，其中 0 1 c c, 已知）