复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第三章 复变函数级数

ds of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU Chapter3复变函数级数 Abstract::简介解析函数的性质,尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数( power series)的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类 Motivation:引论中讲过,一方面,物理学家力求∑a(=-b)(将此sum 表达为一个简单的函数);但另一方面,有些物理上的表示(例如求解方程和方 程的解等)相当复杂,人们不得不反过来做级数展开。有趣的是,大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了(物理误差范围以内)。这不但对收敛快的级数 是如此,况且对发散级数尤要 cut off!-多项式展开。更有趣的是,这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论,物理理论和实验的核心目标, see part II)。 级数复习常数项级数:S=∑1 函数项级数: ∑=”(2<1),几何级数 1-zn=0 e=∑n(<∞),指数级数: SIn2= ∑(-1) 三角函数级数。 c(-)2n( (2n) 般级数 解析项级数:1.一般级数,2.幂级数 问题:设有序列1 111 23·4…,问S==?,Key: divergence发散 pn-41且S==m(n+1),S= lim s=im(n+1),这是lg发散。 而 (-1) ∑上-收敛,(P>) convergence,且 5(p)绝对收敛。<(P)称为 Riemann zeta function.psl:≤,而∑一发散(调和级数,和谐级数?)

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 3 复变函数级数 Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的 幂级数(power series) 的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为 Taylor 级数和在孤立奇点附近展开为 Laurent 级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。 Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求 ( )k k k a z b − （将此 sum 表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方 程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下 级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数 是如此，况且对发散级数尤要 cut off！--多项式展开。更有趣的是，这样便构成 了本征函数系—早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，see part II）。 级数复习: 常数项级数： 1 1 . n S n    = =  函数项级数： ( ) 0 1 z 1 , 1 n n z z  = =  −  几何级数； ( ) 0 z , ! n z n z e n  = =    指数级数； ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 2 0 sin 1 z , 2 1 ! cos 1 z , 2 ! n n n n n n z z n z z n  + =  = = −   + = −     三角函数级数。 一般级数：…… 解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。 问题：设有序列 111 1, , , , 234 ，问 1 1 ? n S n  = = =  ，Key：divergence 发散. lim 1, n 1 n → n = − 且 ( ) 1 1 d ln 1 , n n x S n x + = = +  lim limln 1 , n ( ) n n S S n → → = = + 这是 log 发散。 而 ( ) 1 1 1 n p n n −  = −  收敛，( p 1) convergence，且 ( ) 1 1 p n p n   =  = 绝对收敛。 ( p) 称为 Riemann zeta function. p 1： 1 1 p n n  ，而 1 1 n n  =  发散（调和级数，和谐级数？）

ds of Mathematical Physics (2016 Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU ∑发散(p≤D但是p>1为何收敛呢? 4 此几何级数收敛(>),:∑收敛(p>) 再问一致收敛呢?要有E,N(E)学说,而非N[See(Sub.1.3)blow 在C平面P=Rep+ilmp,Rep=1有无穷多个奇点。p=-2n(m=1,2,…)是5(p) 的零点,其它零点落在0≤Rep≤1. Riemann假设:上述零点全部在Rep=1/2 一、级数的基本概念与性质( Basic concepts and properties of series) 1.复数序列 (1)定义:按照一定顺序排列的复数二n=an+ibn,n=1,2,…,称为复 数序列,记为{n} 个复数序列完全等价于两个实数序列 (2)聚点:给定复数序列{n},若存在复数z,对于vE>0,恒有无 穷多个二满足n-<6,则称=为n}的一个聚点(或极限点)。 个序列可以有不止一个聚点,例如序列 123456 567就有两 个聚点,±1。 (3)有界序列和无界序列:给定复数序列{},若存在一个正数M, 对所有的n都有|=<M,称为序列有界;否则称为序列无界 (4)极限:给定复数序列{=n},如果对ⅤE>0,3自然数N,使得只 要n>N,就有n-A<E,则称n}收敛于A,记为m=n=A。 个序列的极限必然是这个序列的聚点,而且是唯一的聚点

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 2 1 1 p n n  =  发散 ( 1) p  . 但是 p 1 为何收敛呢？ 1 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 7 8 15 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 8 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 p p p p p p p n p p p p p p n p p p p n n  =  − − − − =       = + + + +  + + +  + +                     + + + +  + + +  + +                    = + + + +  =               此几何级数收敛 ( p 1) ， 1 1 p n n  =  收敛 ( p 1) 。 再问一致收敛呢？要有   ,N ( ) 学说，而非 N [See (Sub. 1.3) below]. 在 C 平面 p p i p = + Re Im , Re 1 p = 有无穷多个奇点。 p n n = − = 2 ( 1,2, ) 是  ( p) 的零点，其它零点落在 0 Re 1.   p Riemann 假设：上述零点全部在 Re 1/ 2. p = 一、 级数的基本概念与性质 (Basic concepts and properties of series) 1. 复数序列 （1） 定义：按照一定顺序排列的复数 n n n z = a + ib ，n = 1,2,  ，称为复 数序列，记为 zn 。 一个复数序列完全等价于两个实数序列。 （2） 聚点：给定复数序列 zn  ，若存在复数 z ，对于   0 ，恒有无 穷多个 n z 满足 z − z   n ，则称 z 为 zn  的一个聚点（或极限点）。 一个序列可以有不止一个聚点，例如序列 , 7 6 , 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 − − − 就有两 个聚点，  1。 （3） 有界序列和无界序列：给定复数序列 zn  ，若存在一个正数 M ， 对所有的 n 都有 zn  M ，称为序列有界；否则称为序列无界。 （4） 极限：给定复数序列 zn  ，如果对   0， 自然数 N ，使得只 要 n  N ，就有 z − A   n ，则称 zn  收敛于 A ，记为 zn A n = → lim 。 一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点

显然,如果写成zn=an+ibn,A=a+,则mn=An athematical Physics(2016 Chapter 3 Series of complex variable functions lim b= b a 例如,对于点列},有 不存在a (5)序列极限存在(序列收敛)的 Cauchy充要条件:任给E>0,存在 正整数N,使对于任意正整数p,有-N|<6 个无界序列不可能是收敛的 2.复数项级数 复数项级数的收敛:一个复数级数,x1+ :,如果它的 部分和Sn=∑所构成的序列{Sn}收敛,即有极限mSn=S,则称 级数∑收敛,而序列{Sn}的极限S称为级数∑=的和;如果级数 imSn不存在(无穷或不定),则称∑二发散 注 =∑Re+∑m=,因此,一个复数级数完全等价于两个实 数级数。若∑Re,∑m:都收敛,则∑:收敛:若∑Re= ∑m=k至少有一个发散,则∑=发散。 ∑=收敛的充要条件( Cauchy收敛判据):任给E>0,存在正整数N, 使对于任意正整数p≥1,有 <E 特别是,令p=1,则得到级数收敛的必要条件:im|=0

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 显然，如果写成 n n n z = a + ib ， A = a +ib ，则     = = =  → → → b b a a z A n n n n n n lim lim lim 例如，对于点列   n  ，有        =  =    = → 1 1 1 1 1 0 1 lim       不存在 且 n n （5）序列极限存在（序列收敛）的 Cauchy 充要条件：任给   0 ，存在 正整数 N ，使对于任意正整数 p ，有 −   N+ p N z z . 一个无界序列不可能是收敛的。 2． 复数项级数 复数项级数的收敛：一个复数级数， 1 2 1 k k k z z z z  = + + + =  ，如果它的 部分和 = = n k n k S z 1 所构成的序列 Sn  收敛，即有极限 Sn S n = → lim ，则称 级数   k=1 k z 收敛，而序列 Sn  的极限 S 称为级数   k=1 k z 的和；如果级数 n n S → lim 不存在（无穷或不定），则称   k=1 k z 发散。 注：     =  =  = = + 1 1 1 Re Im k k k k k k z z i z ，因此，一个复数级数完全等价于两个实 数级数。若   =1 Re k k z ，   =1 Im k k z 都收敛，则   k=1 k z 收敛；若   =1 Re k k z ，   =1 Im k k z 至少有一个发散，则   k=1 k z 发散。   k=1 k z 收敛的充要条件（Cauchy 收敛判据）：任给   0 ，存在正整数 N ， 使对于任意正整数 p 1, 有    + = + N p k N k z 1 . 特别是，令 p = 1 ，则得到级数收敛的必要条件： lim = 0 → k k z

Methods ofMathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 绝对收敛:如果∑|收敛,则称∑二绝对收敛。 绝对收敛的性质: ◆绝对收敛的级数一定收敛(因为 <∑|k<E),反之不定 ◆绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是,可 以把一个收救级数拆成几个子级数,每个子级数 仍绝对收敛。 ◆两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛 a, a,b, a,b,a,b a2a2b。a2b,a2b2 例如,S=∑an,S2=∑b是绝对收敛的,则 [注意最后一步的l=k-n及n的取值范围] SS2=∑an∑b=∑∑ab=∑∑ab-(b=0)因为|an和|b k=0 构成的实数级数收敛,所以anbn构成的实数级数也收敛。 由于∑|k是一个实数级数,而且是一个正项级数,因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法(自证或者查资料证明之) 比较判别法:若四1≤v,而∑v收敛,则∑收敛 若12v,而∑v发散,则∑发散 比值判别法( D'Alembert判别法)若m=1<1,则∑收敛 若lm 1>1,则∑发散 若1mn以=1=1,∑叫可能收敛,也可能发散

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 绝对收敛：如果   k=1 k z 收敛，则称   k=1 k z 绝对收敛。 绝对收敛的性质： ◆ 绝对收敛的级数一定收敛（因为：      + = + + = + n p k n k n p k n k z z 1 1 ），反之不定。 ◆ 绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可 以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数 仍绝对收敛。 ◆ 两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。 例如，   = = 0 1 n S an ，   = = 0 2 l S bl 是绝对收敛的，则 [注意最后一步的 l k n = − 及 n 的取值范围] 1 2 0 0 0 0 0 0 . k n l n l n k n n l n l k n S S a b a b a b      − = = = = = =  = = =     | | ( 0) l b− = 因为 | | n a 和 | | l b 构成的实数级数收敛，所以 | | n k n a b − 构成的实数级数也收敛。 由于   k=1 k z 是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之） 比较判别法：若 k k u  v ，而   k=1 k v 收敛，则   k=1 uk 收敛； 若 k k u  v ，而   k=1 k v 发散，则   k=1 uk 发散； 比值判别法（D’Alembert 判别法）：若 lim 1 1 =  + → l u u k k k ，则   k=1 uk 收敛； 若 lim 1 1 =  + → l u u k k k ，则   k=1 uk 发散； 若 lim 1 1 = = + → l u u k k k ，   k=1 uk 可能收敛，也可能发散；

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 根值判别法( Cauchy判别法若lmk<1,则∑k收敛: 若lm k 则∑发散 若lmn4=1,∑可能收敛,也可能发散: Gas判别法;如果(至少n充分大)“=1+2+0-1,则当>1时, ∑|收敛(相当于P|<1x而当n≤1时,发散 3.复变函数级数(设u4()为域D中的连续函数,k=12…) 函数级数的收敛:如果对于D中的一点=0,级数∑u4(=0)收敛,则称级数 么()在点收敛;反之∑u(=)发散,则称∑4(日)在点发散。 如果级数∑u4()在D中的每一点都收敛,则称级数在D内收敛。 其和函数S()是D内的单值函数。 致收敛:如果对于任意给定的E>0,存在一个与z无关的N(E),使当 n>N()时,对于任意正整数p214()<E对D中每一点z均成 立,则称级数∑u4()在D内一致收敛 (X)一致收敛级数的性质: 一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的,级数的一致收敛性质是它在一定区域内 的性质。 (*)若在区域D内满足队()≤a4,a4与无关(k=12,…),且∑a1收敛,则

Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 5 根值判别法（Cauchy 判别法）：若 lim 1 1  → k k k u ，则   k=1 uk 收敛； 若 lim 1 1  → k k k u ，则   k=1 uk 发散； 若 lim 1 1 = → k k k u ，   k=1 uk 可能收敛，也可能发散； Gauss 判别法：如果（至少 n 充分大） 2 1 1 1 n n u O u n n  +   = + +     ，则当   1 时，   n=1 un 收敛（相当于 1 1 n n u u +  ）；而当   1 时，   n=1 un 发散。 3． 复变函数级数（设 u (z) k 为域 D 中的连续函数，k =1,2, ） 函数级数的收敛：如果对于 D 中的一点 0 z ，级数  ( )  =1 0 k k u z 收敛，则称级数  ( )  k=1 k u z 在 0 z 点收敛；反之  ( )  =1 0 k k u z 发散，则称  ( )  k=1 k u z 在 0 z 点发散。 如果级数  ( )  k=1 k u z 在D中的每一点都收敛，则称级数在D内收敛。 其和函数 S(z) 是 D 内的单值函数。 一致收敛：如果对于任意给定的   0 ，存在一个与 z 无关的 N( ) ，使当 n  N( ) 时，对于任意正整数 p 1,    + = + n p k n k u z 1 ( ) 对 D 中每一点 z 均成 立，则称级数  ( )  k=1 k u z 在 D 内一致收敛。 （X）一致收敛级数的性质： ⚫ 一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内 的性质。 ⚫ （*）若在区域 D 内满足 k ak u (z)  ， k a 与 z 无关 ( 1, 2, ), k = 且   k=1 k a 收敛，则