复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第六章 Laplace变换 Laplace transform and delta function

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算,例如 ∑,∫,和等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪,求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务 1862年,俄数学家瓦申科-扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890年左右,英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程,他将 微分看做“乘法”d 0(x)=p(x),(x)=po(x),将积分看做“除法 「o55=10),y=(x,以及11=1x 例如,求解y-y=1,y(0)=0 5d= n!n+1 他用此法解了大量的微积分方程,包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题,这使职业数学家大为吃惊,责难他的方法毫无根据。他对此不睬,并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法,出过一些错误。 二十世纪,布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究,找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace引进的积分变换是一 脉相通的,符号法是 Laplace变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法,并称之为运算微积或算符演算。 1782年, Laplace研究概率论时得到一种特殊形式的积分, ∫eo(x)x=列(p):ox)→列(p)这种变换以及逆变换很多人研究过 8年,泊松得到以)=1丁“列P地这是 Riemann-Mellin变换

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如  , ,  和 d dx 等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务。 1862 年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890 年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将 微分看做“乘法”： d ( ) ( ) d x p x x    ， n d ( ) ( ) d n n x p x x    ，将积分看做“除法”： 0 1 ( )d ( ) x x p       ， 0 0 1 ( )(d ) ( ) x x n n x p        ，以及 1 1 1 . ! n n x p n   例如，求解 y y y ' 1, (0) 0.    0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1. ! ! ! 1 ( 1)! n n x n n n n x n n n n py y y p p p p p x x x e p n n n n n                                       他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题，这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。 二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace 引进的积分变换是一 脉相通的，符号法是 Laplace 变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。 1782 年 ， Laplace 研 究 概 率 论 时 得 到 一 种 特 殊 形 式 的 积 分 ， 0 ( )d ( ) : px e x x p         ( ) ( ). x p  这种变换以及逆变换很多人研究过。 1823 年，泊松得到 1 ( ) ( )d , 2 a i px a i x e p p i          这是 Riemann-Mellin 变换

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU 积分变换简介( ntroduction to integral transforms) 1.积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系 2.积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数;对于偏微分方程,可以消去一个自 变量的微分。 3.积分变换法解微分方程的特点类似对数运算,不直接求未知函数,而是 求变换后未知函数的象,然后通过反演即求得未知函数 4.积分变换的定义:列(P)=K(P,x(xdx(ab可为有限或无穷),其中 K(Px)称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换列p2=(x)d的核为 e";傅里叶变換列()=∫co(x)dx的核为em;其它还有汉克尔变换 列(P)=Jnx1(px(x)dx,梅林变换列p)=x-oxdx等等。 5.积分变换的应用:求解常微分方程的初值问题,求解积分方程;求定积 分 LT应用:(1)求解常微分方程的初值问题。(2)求解积分方程。(3)求定积分。 LT特点:以定理形式讲授(但不证明),再例题分析。 、 Laplace变换的定义和基本性质 1.定义:若对于(O,∞)上的函数o(t),下述积分收敛于列(p),即 列(p)=5co)d,则称列(p)为o()的 Laplace变换,记为列(p)4>9(O 引入阶梯函数( Heaviside step function)H()= 0t< 0’那么 p(p)= e O(O)H(odr 2. Laplace变换存在的条件 (i)在区间[0,∞)中,o()和q(t)除具有第一类间断点外都是连续的,而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个; 第一类间断点是指在此点t=t不连续,但左极限imo(1)和右极限

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自 变量的微分。 3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是 求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 4．积分变换的定义： ( ) ( , ) ( )d b a   p K p x x x   （a,b 可为有限或无穷），其中 K(p, x) 称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换 0 ( ) ( )d px   p e x x     的核为 px e  ；傅里叶变换 ( ) ( )d ipx   p e x x      的核为 ipx e  ；其它还有汉克尔变换 0 ( ) ( ) ( )d n   p xJ px x x    ，梅林变换 1 0 ( ) ( )d p   p x x x     等等。 5. 积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积 分。 LT 应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。 LT 特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义：若对于 (0,) 上的函数 (t) ，下述积分收敛于 (p) ，即 0 ( ) ( )d pt   p e t t     ，则称 (p) 为 (t) 的 Laplace 变换，记为 (p) (t) 。 引入阶梯函数(Heaviside step function)       0 0 1 0 ( ) t t H t ，那么 ( ) ( ) ( )d . pt   p e t H t t      2. Laplace 变换存在的条件： (i) 在区间 [0,) 中， (t) 和 '(t) 除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个； 第一类间断点是指在此点 0 t  t 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 t t t    和右极限

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU imq(t)均存在且有限,所以可积。 (i)o(1)随t增长的速度不超过某一指数函数,即l(t)≤M >0,s6≥0,t≥0) 定理:当Rep=s>时,(1)(p)存在并一致收敛,即lmp(p)=0 或者说,当-x+δ≤mgp≤x-6时,列(P)→0(p→∞) (2)(p)为P的解析函数 证明:设p=S+i,则 o(p)=o o(e arl sS lo(l le ld sMJetwardt= m 因此,当Rep=S>S时,列(P)存在并一致收敛,即imn列p)=0 对于任何实常数s>5,考虑ReP≥时的积分[0"]d ≤Mt So 于是(mm1出是一致收敛的,根据含参变量广义积分的性质, 因此,「 交换求导和积分的次序,即 iop p(n)epd dp 由此可见,可(P)的导数在Rep≥s>s0上处处存在且有限 即可(p)是解析的 3. Laplace变换的基本性质 (1)线性定理:如果q()(P2()分四2(P),c,C2是两个复常 数,则,c1()+c22(1)4C1(p)+c2(P)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 3 lim ( ) 0 0 t t t    均存在且有限，所以可积。 (ii) (t) 随 t 增 长 的 速 度 不 超 过 某 一 指 数 函 数 ， 即 s t t Me 0 ( )   0, 0, 0 M  s0  t  . 定理：当 Re 0 p  s  s 时，(1)  ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re   p p  . 或者说，当          2 arg 2 p 时， (p) 0 p  . (2) (p) 为 p 的解析函数。 证明：设 p  s  i ，则  0  0 0 0 0 ( ) ( ) d ( ) d d pt pt s s t M p t e t t e t M e t s s                    因此，当 Re 0 p  s  s 时，  ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re   p p  . 对于任何实常数 1 0 s  s ，考虑 Re 1 p  s 时的积分 0 ( ) d pt t e t p               1 1 0 0 0 0 2 0 1 0 ( ) d ( ) d ( ) d d pt pt s t s s t t e t t e t t te t p p M M te t s s                                  因此， 0 ( ) d pt t e t p           是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质， 于是可以交换求导和积分的次序，即               0 0 ( ) d ( ) d d d d d t e t p t e t p p p p t p t    由此可见，  ( p) 的导数在 Re 1 0 p  s  s 上处处存在且有限， 即  ( p) 是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质： （1） 线性定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 t 1 p 2 t 2 p ， 1 2 c ,c 是两个复常 数，则， ( ) ( ) ( ) ( ) c11 t  c22 t  c11 p  c22 p

(2)相似定理:如果04列,0是一正数,则0)→可2 证明:q(a P (3)原函数求导定理:如果o()列(p),则q()p(p)-0(0) 一般地,对自然数n,有(带初值) ()ep"(p)-p"o(0)-p2g(0) 证明 ()→D,o(et= Se"do( epro+pl o(e"'df= po(p)-p(O 其中,1→∞时,(l)e→0,这是因为(1)列(p),所以 ()≤Me,而Rep=s>S,因此 (t)e"|≤Me 两个极限: 0(p)=o(0),这是因为pp(p)-0(0)作为(t)的象 数,应满足lm[po(p)-o(0)=0,即mp0(p)=0(0). 2. li p)=limo(o) 这是因为o()[(O)ert=p列(p)-90), lim pp(p)=lim l o'(o)e dt+p(0)= o'(odt+p(O) lim(o) (4)原函数积分定理:如果o)4列(m),则1列p)(无初 值)。 证明:记v(1)=o(r)dr 显然,v(0) 于是有v()4pv(p)-v(0)=pv(p) 另一方面,v()=(1)<(p)比较两式可得

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 4 （2） 相似定理：如果 (t) (p)，a 是一正数，则        a p a  at  1 ( ) . 证明：                      a p a a at at e t e a p p t        1 ( ) ( ) d ( ) d 0 0 . （3） 原函数求导定理：如果 (t) (p) ，则 '(t)  pp(0). 一般地，对自然数 n，有（带初值）     ( ) ( ) (0) '(0) (0) 1 2 1      n n n n n  t p  p p  p    . 证明： ( ) ( ) d   (0) '( ) '( ) d d ( ) 0 0 0 0                          t e p t e t p p t t e t e t p t t t p t p t p t 其中， t   时， ( )  0  pt  t e ，这是因为 (t) (p) ，所以 s t t Me 0 ( )  ，而 Re 0 p  s  s ，因此   ( ) 0  t e  pt  Me ss0 t  (t ). 两个极限： 1． lim  ( )  (0)  p p p ，这是因为 p(p) (0) 作为 (t) 的象函 数，应满足 lim  ( )  (0)  0  p p  p ，即 lim  ( )  (0)  p p p . 2． 0 lim ( ) lim ( ) p t p p t      ， 这是因为 '( ) '( ) d   (0) 0          t t e t p p p t ， 0 0 0 0 lim ( ) lim '( ) d (0) '( )d (0) lim ( ). pt p p t p p t e t t t t                          （4） 原函数积分定理：如果 (t) (p)，则   p p d t       0 ( ) (无初 值)。 证明：记 0 ( ) ( )d t     t   ，显然， (0)  0. 于是有 '(t)  p p(0)  p p. 另一方面， '(t) (t) p. 比较两式可得

Methods of Mathematical Physics(2016.10) YLMa a Phys. FDU pGp)=0(0),所以p)=P 这就是说w()o1,即r则() (5)延迟定理:如果∞()>列(p),τ是 正数,则 O(t-T)H(t-T)*e-prop)(t>r) 证明 pit-T).t) q(t-r)H(t-t)分 D p(t-TH(-re"dt=o(t-t)e"'di 在积分中作变换u=1-r,即得 (t-T)H(I-r)+e-ph p(uepdu=e"prp(p) 4.例题分析(已知原函数求象函数) (1)从定义,性质出发 例1求H()的象函数 解列(p)=H(Ont=1 e-pidt_I(Rep>0 P H(∠、1 (Re p>o) 例 (Rep>o 例2求e的象函数,a是一复常数。 解(P)=[e"e"=!ed P-a.(Re p> Rea) e (Re p> rea) 例2 cide" Re p>rea 例3求snt的象函数

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 5 p ( p) p ，所以   p p p   ( )  . 这就是说   p p t   ( )  ，即   0 ( )d t p p       . （5） 延迟定理：如果 (t) (p) ，是一 正数，则 t H t e p p        (  ) (  ) ( t  ). 证明: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d . pt pt t H t t H t e t t e t                       在积分中作变换 u  t  ，即得， ( ) ( ) ( ) d ( ) 0 t H t e u e u e p p p u p                 . 4. 例题分析(已知原函数求象函数)： （1）从定义，性质出发 例 1 求 H (t) 的象函数。 [解] p p H t e t e t p t p t 1 ( ) ( ) d 1 d 0 0            , (Re p  0) p H t 1 ( )  , (Re p  0) . 例 1' ： 0 1 1 d (Re 0). pt e t p p       例 2 求 at e 的象函数，a 是一复常数。 [解]   p a p e e t e t a t p t p a t            1 ( ) d d 0 0  , (Re p Rea) p a e at   1 , (Re p  Rea). 例 2' ( ) 2 0 0 1 1 d d (Re Re ) ( ) t t pt p t te te e t t e p p p                     . 例 3 求 sin t 的象函数