复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第七章 Fourier变换

Methods ofm ical Physi Chapter 7 Fourier tra YLMa@ Phys. FDU Chapter 7 Fourier Transforms abstracts:复习 Fourier级数,讲解 Fourier transforms的定义、性质和物理意义 (例题:介绍多重 Fourier transforms 应用:求解常微分方程;坐标一动量和时间一能量空间具有丰富的物理 为求解偏微分方程的定解问题做准备 Fourier Series 1. Fourier级数的定义 动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。) 定义:设函数f()的周期为T,则下述级数称为f()的 Fourier级数, 2n丌 f(1) 其中,{an 2 rtT f(1) d(n=12,3…) 2n丌 2 引入圆频率O0=T (如果t是时间空间的变量),上式可改写为 f(-ao+2(a, cosmo! +b, sin noo) 其中 2 ry dt(n=1,2,3 () sin noord(=123…) Fourier级数的收敛性里希菜条件 irichlet conditions]:对于周期为 T的函数f(t),若它满足:(1)连续,或在每个周期中只有有限个第 类间断点*:(2)在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间 内单调),则其 Fourier级数收敛,并且

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 7 Fourier Transforms Abstracts：复习 Fourier 级数，讲解 Fourier Transforms 的定义、性质和物理意义 (例题)；介绍多重 Fourier Transforms. 应 用：求解常微分方程；坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理； 为求解偏微分方程的定解问题做准备。 一、 Fourier Series 1. Fourier 级数的定义 (动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理规律。) 定义：设函数 f (t) 的周期为 T ，则下述级数称为 f (t) 的 Fourier 级数，   =       + + 1 0 2 sin 2 ( ) ~ cos n n n t T n t b T n f t a a   ， 其中， ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 ( )d 2 2 ( )cos d 1,2,3, 2 2 ( )sin d 1,2,3, . T T T n T T n T a f t t T n a f t t t n T T n b f t t t n T T   − − −  =     = =   = =      引入圆频率 T   2 0 = （如果 t 是时间空间的变量），上式可改写为 ( )  = + + 1 0 0 0 ( ) ~ cos sin n n n f t a a n t b n t 其中， ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 0 1 ( )d 2 ( )cos d 1,2,3, 2 ( )sin d 1,2,3, . T T T n T T n T a f t t T a f t n t t n T b f t n t t n T   − − −  =     = =   = =      Fourier 级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichlet conditions)]：对于周期为 T 的函数 f (t) ，若它满足：（1）连续，或在每个周期中只有有限个第一 类间断点*；（2）在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间 内单调)，则其 Fourier 级数收敛，并且

Methods ofm ical Physi Chapter 7 Fourier transfor YLMa@ Phys. FDU f(o 2n丌 (在连续点) (27smx1)=1(+0)+1(-0)(在间断点 *第一类间断点在此点t=t0函数f()不连续,但左极限lmf(1)和右 极限lmf(1)均存在且有限,所以可积 r-0+0 Fourier级数的物理意义 任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之 和,它们的振幅分别为√an+b2( See Chapter03分高变量法&本征值问题).因 此,傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析( Spectrum analysis 2. Fourier级数的复数形式(简洁): 利用 ineos -InoI ine +e COS nO f()=∑ c,e b l((t)=∑ncn=",z=e- discrete frequencies:n=no(n=0,±1,±2,…, quantum numbers)l 其中 f(1)edr,(n=0,±1±2,…) ibn ib Co =ao, C 各次谐波的振幅为2ln 3.有限区间非周期函数的 Fourier展开(实际体系都有限非周期): 对有限区间的非周期函数,总可以通过延拓来构造周期函数,然后 作傅里叶展开(即拷贝不走样)。设函数f(x)在坐标空间的区间x{-,小上 满足 Dirichlet条件,则f(x)的 Fourier级数为, f(x)=a+∑| a,cos +b sin nT ≤x≤l) f(xdx 其中, -1(o(n=123-) ∫/()nx(m=123

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 2 ( ) ( ) 0 1 ( ) 2 2 cos sin ( 0) ( 0) . 2 n n n f t t n n a a t b t f t f t T T t    =     + + =    + + −      在连续点 在间断点 *第一类间断点: 在此点 0 t = t 函数 f (t) 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 f t t→t − 和右 极限 lim ( ) 0 0 f t t→t + 均存在且有限，所以可积。 Fourier 级数的物理意义： 任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之 和，它们的振幅分别为 2 2 an + bn （See Chapter 10.3 分离变量法&本征值问题）. 因 此，傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrum analysis). 2. Fourier 级数的复数形式(简洁)： 利用 i e e n t in t in t 2 sin 0 0 0    − − = 和 2 cos 0 0 0 in t in t e e n t    − + = 得 0 0 ( ) [ ( ( )) , ] in t i t n n n n n f t c e f z t c z z e    − −  =− =− = = =   [discrete frequencies: 0 ,( 0, 1, 2, ,quantum numbers) n   = =   n n ], 其中， 1 2 0 1 2 1 ( ) d T in t n T c f t e t T  − =  , (n = 0,1,2, ) . 0 a0 c = ， 2 n n n a ib c + = ， 2 n n n a ib c − − = . 各次谐波的振幅为 n 2 c . 3. 有限区间非周期函数的Fourier 展开（实际体系都有限非周期）： 对有限区间的非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后 作傅里叶展开（即拷贝不走样）。设函数 f (x) 在坐标空间的区间 x l l − ,  上 满足 Dirichlet 条件，则 f (x) 的 Fourier 级数为，   =       = + + 1 0 ( ) cos sin n n n x l n x b l n f x a a   ， (− l  x  l) 其中， ( ) ( ) 0 1 ( )d 2 1 ( )cos d 1,2,3, 1 ( )sin d 1,2,3, , l l l n l l n l a f x x l n a f x x x n l l n b f x x x n l l   − − −  =     = =   = =     

Methods of Mathematical Physics (2 Chapter 7 Fourier tra YLMa@ Phys. FDU 其复数形式为: 1()2c+/sx≤0).c=J/s=-02) 注意:这时的 Fourier级数只在区间x1内有意义,例如 6(=1e 这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质 PCs are different with dcs)。 4.正交完备函数集: 在区间xb上不恒为零的函数系{a1(x)92(x)02(x)…},若 9()(xx=0(m≠n):又若对于地b上的任意平方可积函数 ( square integrable function)f(x),完整性方程*均成立,则称{(x)}为区 间xb上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases) 如果对于地ab上的平方可积函数f(x),总有f(x)=∑c9x),并且 (x)dx=∑(x)(x+∑F门1(dx=∑kN 成为完整性方程(称巴塞瓦等式),N2=19(xdx为q(x)的积分模方。 注:)正交性与区间x有关。完备性:这些基矢一个不能多、一个不能少。 ()在复数函数集中,积分应理解为q(x)(xdx=m, where a set of orthogonal complete normalized function bases are (x)=P(x)/NE (3)同一定义域的f(x)可以以q(x)表示:f(x)=∑c(x),其值为 Ck(representation theory (4)对于ID无界空间区域( see below),连续波矢k的本征函数为平面波 =(x)b e", its orthogonal complete normalized relation 9(x)(x)t≈、1 ei(k-k) dx=8(k-k)=8(p-P)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 3 其复数形式为： ( ) n i x l n n f x c e   =− =  (− l  x  l)， 1 ( ) d 2 n l i x l n l c f x e x l  − − =  (n = 0,1,2, ) . 注意：这时的 Fourier 级数只在区间 x−l,l 内有意义，例如： 1 ( ) ( ). 2 n x i l n x e l x l l   + =− = −    这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCs are different with DCs.)。 4. 正交完备函数集： 在区间 xa,b 上不恒为零的函数系 1 (x),2 (x),3 (x), ，若 ( ) ( )d 0 b m n a  x x x =  (m  n) ；又若对于 xa,b 上的任意平方可积函数 (square integrable function) f (x) ，完整性方程* 均成立，则称 n (x) 为区 间 xa,b 上的正交完备归一集 (A set of orthogonal complete normalized function bases). *如果对于 xa,b 上的平方可积函数 f (x) ，总有 =  k k k f (x) c  (x) ，并且 2 2 2 2 2 ( ) d ( ) ( )d | | | ( ) | d b b b s k s k k k k k a a a s k k k f x x c c x x x c x x c N        = + =    成为完整性方程（称巴塞瓦等式）, 2 2 | ( ) | d b k k a N x x =   为 (x) k 的积分模方。 注: (1)正交性与区间 xa,b 有关。完备性：这些基矢一个不能多、一个不能少。 (2)在复数函数集中，积分应理解为 ( ) ( )d , b m n mn a    x x x =  where a set of orthogonal complete normalized function bases are ( ) ( ) / . k k k   x x N  (3) 同一定义域的 f x( ) 可 以 以 ( ) k  x 表 示 ： =  k k k f (x) c  (x) ， 其值为 k c (representation theory). (4)对于 1D 无界空间区域(see below)，连续波矢 k 的本征函数为平面波 1 ( ) , 2 ikx k  x e  = its orthogonal complete normalized relation is ( ') ' 1 1 ( ) ( )d d ( ') ( '). 2 i k k x k k     x x x e x k k p p    − − − = = − = −  

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@ Phys. FDU 5)How to find p, (x)in a generalized approach? See Chapter 10.6, S-L eigenvalue problem( Sturm- Liouville型方程的本征值问题) 例如1:17204smn0sb“、y0s2入 在区间-号7,门上是正交完备函数集。 正交性: g()h(1)d=0,g(t)和h()是上面集合中的任意两个不同函数 平方可积性:1o)d=972+(可+ kel d=T,g()=1; 模方(归一性):N2= 1gOFd=T,8()是除1之外的其它函数。 例如2:{e}(m=0±1+2…)在区间x[-,1上是正交完备集 例如3:{c-}(m=0±1+2…)在区间z/a,/a]上是正交完备集。 多重傅里叶级数: 二元函数f(t11)在-7≤41≤T1,-12≤l2≤2内的傅里叶级数为 f(12)=∑∑ 其中,cn 731(4,)m+m时(mn=0,±1,±2,…) 12 二、 Fourier积分与 Fourier变换 We consider an interaction-free particle within the quantum mechanics For the particle is confined in the finite space range ofx[a, b, there is the discrete variables( n), and the wave function is (x). In that case, we need

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 4 (5) How to find ( ) n  x in a generalized approach? See Chapter 10.6, S-L eigenvalue problem (Sturm-Liouville 型方程的本征值问题). 例如 1：        , 2 , cos 2 , ,sin 4 , cos 4 ,sin 2 , cos 2 1,sin t T n t T n t T t T t T t T       在区间   1 1 2 2 t T T − , 上是正交完备函数集。 正交性： 1 2 1 2 ( ) ( )d 0, T T g t h t t − =  g(t) 和h(t) 是上面集合中的任意两个不同函数。 平方可积性： ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0 1 ( ) d 2 . T k k T k f t t T a a b  − =   = + +       模方（归一性）： 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 d , ( ) 1; | ( ) | d ( ) 1 T T k T T t T g t N g t t T g t − −  = =  =   =    ， 是除 之外的其它函数。 例如 2：       x l n i e  (n = 0,1,2, ) 在区间 x l l − ,  上是正交完备集。 例如 3：  0 in t e −  (n = 0,1,2, ) 在区间 t−    / , / 0 0  上是正交完备集。 5. 多重傅里叶级数： 二元函数 ( , ) 1 2 f t t 在 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 −   −   T t T T t T , 内的傅里叶级数为 ( 0 1 0 2 ) 1 2 ( , ) i m t n t mn m n f t t c e     − +   =− =− =   ， 其中， ( ) 1 1 2 2 1 2 0 1 0 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) d d T T i m t n t mn T T c f t t e t t T T     + − − =   ( , 0, 1, 2, ) m n =   ， 0 0 1 2 2 2 , T T       = = . 二、 Fourier 积分与 Fourier 变换 We consider an interaction-free particle within the quantum mechanics. For the particle is confined in the finite space range of x a b [ , ] , there is the discrete variables {}n , and the wave function is ( ). n  x In that case, we need

Methods of Mathematical Physi Chapter 7 Fourier transforms YLMa@ Phys. FDU to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[-o0, +oo], there is the continue variables kl-oo, +oo], and the wave function is the plane wave P,(x)e(see below ) We need to learn the Fourier transforms 对(-∞,∞)上的非周期函数f(),不能展成 Fourier级数,但是我们 可以把它看成是周期为T的函数当T→∞时的极限。周期为T的函数的 Fourier级数为:f()=∑c;e 其中,c=0,而a O,= T △O=om-e,、2兀 因此,可以把c改写为 c%、f(-d=4o f()ed,代入f()的表达式, △OrT f(1) ∑ f(5)e"d5 ∑△oJ比(5)=m 当T→∞时,△O= 2丌 n>o(continued spectrum) ∑(…A△O→∫()da.因此, f() Lf(S)eo(-sldsdo Chre“d -ef 令f(o)=--d=h-/ok-d, 则()=,=(o)-da Fourier积分定理 若函数∫()在区间(-∞,∞)上满足:(1)f()在任一有限区间上满 足 Dirichlet条件:(2)(0在1(-)上绝对可积即W(收敛、有 限或者Iim∫(t)=0],则∫()可表示成 Fourier积分,且 Fourier积分值等

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 5 to adopt the Fourier series. But in the infinite space range of x[ , ], − + there is the continue variables k[ , ], − + and the wave function is the plane wave ( ) ikx k  x e  (see below). We need to learn the Fourier transforms. 对 t(− , ) 上的非周期函数 f (t) ，不能展成 Fourier 级数，但是我们 可以把它看成是周期为 T 的函数当 T → 时的极限。周期为 T 的函数的 Fourier 级数为： ( ) , n i t n n f t c e   − =− =  其中， 1 2 1 2 1 ( ) d n T i t n T c f t e t T  − =  ，而 T n n n    2  0 = ， T n n     2  = +1 − = . 因此，可以把 n c 改写为 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) d ( ) d 2 n n T T i t i n T T c f t e t f e T       − −   = =   ，代入 f (t) 的表达式，得 ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 n n n T T i i t i t T T n n f t f e e f e                − − − − − =− =−    = =          . 当 T → 时， 0 2  = → T   ， 2 n n T    = → (continued spectrum)， ( ) ( )d . n   →   因此， 1 ( ) ( ) ( ) d d 2 1 1 ( ) d d . 2 2 i t i i t f t f e f e e                − − − −   − − − =   =         令    −  − f = f e = f t e t i i t ( ) d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ~        , 则   − − =     ( ) d ~ 2 1 ( ) i t f t f e . 1. Fourier 积分定理： 若函数 f (t) 在区间 t(− , ) 上满足:（1） f (t) 在任一有限区间上满 足 Dirichlet 条件；（2） f (t) 在 t(− , ) 上绝对可积[即   − f (t)dt 收敛、有 限或者 lim ( ) 0 t f t → = ]，则 f (t) 可表示成 Fourier 积分，且 Fourier 积分值等