Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算,例如 ∑,∫,和等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪,求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务 1862年,俄数学家瓦申科-扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890年左右,英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程,他将 微分看做“乘法”d0x)=pP(x),2(x)=p(x),将积分看做“除法 d 0(55=o(x),…「o(5)d5)"=-o(x),以及一·1 例如,求解y-y=1,yO)=0. 1=-(x-1 p-l p P P 6n!n+1 他用此法解了大量的微积分方程,包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题,这使职业数学家大为吃惊,责难他的方法毫无根据。他对此不睬,并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法,出过一些错误 十世纪,布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究,找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace引进的积分变换是 脉相通的,符号法是 Laplace变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法,并称之为运算微积或算符演算。 1782年, Laplace研究概率论时得到一种特殊形式的积分 ep(x)dx=0(p):9(x)→(p).这种变换以及逆变换很多人研究过 1823年,泊松得到φ(x) eo(p)p,这是 Riemann-Mellin变换
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 6 Laplace Transform History of Integral Transforms 计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如 , , 和 d dx 等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积 分方程是数学、物理学家面临的重要任务。 1862 年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。 1890 年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将 微分看做“乘法”： d ( ) ( ) d x p x x = ， n d ( ) ( ) d n n x p x x = ，将积分看做“除法”： 0 1 ( )d ( ) x x p = ， 0 0 1 ( )(d ) ( ) x x n n x p = ，以及 1 1 1 . ! n n x p n = 例如，求解 y y y ' 1, (0) 0. − = = 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1. ! ! ! 1 ( 1)! n n x n n n n x n n n n py y y p p p p p x x x e p n n n n n = + + = = = = − = = = = − − = = = = = − + + 他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问 题，这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此 法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。 二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研 究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前 Laplace 引进的积分变换是一 脉相通的，符号法是 Laplace 变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程 的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。 1782 年 ， Laplace 研 究 概率论时得到一种特殊形式的积分， 0 ( )d ( ) : px e x x p + − = ( ) ( ). x p → 这种变换以及逆变换很多人研究过。 1823 年，泊松得到 1 ( ) ( )d , 2 a i px a i x e p p i + − = 这是 Riemann-Mellin 变换
Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU 积分变换简介( ntroduction to integral transforms) 1.积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2.积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数;对于偏微分方程,可以消去一个自 变量的微分。 3.积分变换法解微分方程的特点类似对数运算,不直接求未知函数,而是 求变换后未知函数的象,然后通过反演即求得未知函数。 4.积分变换的定义:列P)=[K(p,x(xdx(ab可为有限或无穷),其中 K(Px)称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换列(P)=eox)dx的核为 ;傅里叶变换列(p)= e-(x)dx的核为e;:其它还有汉克尔变换 列(p)=,(px(x)d,梅林变换列(P)=x-x)d等等。 5.积分变换的应用:求解常微分方程的初值问题,求解积分方程;求定积 分 LT应用:(1)求解常微分方程的初值问题。(2)求解积分方程。(3)求定积分。 LT特点:以定理形式讲授(但不证明),再例题分析 、 Laplace变换的定义和基本性质 定义:若对于(0,∞)上的函数q(1),下述积分收敛于列(p),即 列()=eo,则称列(p)为o)的 Laplace变换,记为o(p)49( t>0 引入阶梯函数( Heaviside step function)H(l)= l0t<0 那么 P(p) ()H( 2. Laplace变换存在的条件 ()在区间[0,∞)中,p()和φ'(n)除具有第一类间断点外都是连续的,而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个 第一类间断点是指在此点t=10不连续,但左极限lm(r)和右极限
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 2 积分变换简介(Introduction to integral transforms) 1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。 2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换 可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自 变量的微分。 3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是 求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。 4．积分变换的定义： ( ) ( , ) ( )d b a p K p x x x = （a,b 可为有限或无穷），其中 K( p, x) 称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换 0 ( ) ( )d px p e x x − = 的核为 px e − ；傅里叶变换 ( ) ( )d ipx p e x x − − = 的核为 ipx e − ；其它还有汉克尔变换 0 ( ) ( ) ( )d n p xJ px x x = ，梅林变换 1 0 ( ) ( )d p p x x x − = 等等。 5. 积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积 分。 LT 应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。 LT 特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。 一、Laplace 变换的定义和基本性质 1. 定义：若对于 (0,) 上的函数 (t) ，下述积分收敛于 ( p) ，即 0 ( ) ( )d pt p e t t − = ，则称 ( p) 为 (t) 的 Laplace 变换，记为 ( p) (t) 。 引入阶梯函数(Heaviside step function) = 0 0 1 0 ( ) t t H t ，那么 ( ) ( ) ( )d . pt p e t H t t − − = 2. Laplace 变换存在的条件： (i) 在区间 [0,) 中， (t) 和 '(t) 除具有第一类间断点外都是连续的，而 且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个； 第一类间断点是指在此点 0 t = t 不连续，但左极限 lim ( ) 0 0 t t t → − 和右极限
Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU imo()均存在且有限,所以可积。 (i)q()随t增长的速度不超过某一指数函数,即)≤Me (M>0,s0≥0,1≥0) 定理:当Rep=s>s时,(1)(p)存在并一致收敛, 或者说,当 rg p 6时 2)o(p)为p的解析函数 证明:设p ,则 dt≤Me-odt 因此,当Re, 时,可(p)存在并一致收敛,即mp( 对于任何实常数s>5,考虑ReP2≥s时的积分厂[0J ,[∞O]dsm[ p(Oep]dt solo S1-50 因此,「[0]山是一致收敛的,根据含参变量广义积分的性质, 于是可以交换求导和积分的次序,即 列(p) (D) dp 由此可见,可(p)的导数在Rep≥s1>s上处处存在且有限, 即可(p)是解析的 3. Laplace变换的基本性质 (1)线性定理:如果q()分(Pq2(1)4>四 2是两个复常 数,则,cq()+c2q2(1)4c(p)+c2(P
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 3 lim ( ) 0 0 t t t → + 均存在且有限，所以可积。 (ii) (t) 随 t 增 长 的 速 度 不 超 过 某 一 指 数 函 数 ， 即 s t t Me 0 ( ) ( 0, 0, 0) M s0 t . 定理：当 Re 0 p = s s 时，(1) ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re = → p p . 或者说，当 − + − 2 arg 2 p 时， ( p) 0 (p → ). (2) ( p) 为 p 的解析函数。 证明：设 p = s + i ，则 ( 0 ) 0 0 0 0 ( ) ( ) d ( ) d d pt pt s s t M p t e t t e t M e t s s − − − − = = − 因此，当 Re 0 p = s s 时， ( p) 存在并一致收敛，即 lim ( ) 0 Re = → p p . 对于任何实常数 1 0 s s ，考虑 Re 1 p s 时的积分 0 ( ) d pt t e t p − ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 2 0 1 0 ( ) d ( ) d ( ) d d pt pt s t s s t t e t t e t t te t p p M M te t s s − − − − − = − 因此， 0 ( ) d pt t e t p − 是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质， 于是可以交换求导和积分的次序，即 ( ) − − = = 0 0 ( ) d ( ) d d d d d t e t p t e t p p p pt pt 由此可见， ( p) 的导数在 Re 1 0 p s s 上处处存在且有限， 即 ( p) 是解析的。 3. Laplace 变换的基本性质： （1） 线性定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 t 1 p 2 t 2 p ， 1 2 c , c 是两个复常 数，则， ( ) ( ) ( ) ( ) c11 t + c22 t c11 p + c22 p
Methods of Mathematical Physi ) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU (2)相似定理:如果0)列(p),a是一正数,则a)分可 证明:o(an)loan)e"d=o(r)ead=|=o/p (3)原函数求导定理:如果o()4(p),则q()p(p)-0(0 般地,对自然数n,有(带初值) p(0<pp(p)-po(0)-p o(O) 证明 p(0<ho(e"dt=he"dp(0 p((e"r+ph p(0)e"'dr= pp(p)-(o) 其中,t→∞时,o(t)em→0,这是因为o(1)(p),所以 0(1)≤Me,而Rep 因此 p(口)e|≤Me 两个极限 1.lmpp(p)=o(0),这是因为pp(p)-0(0)作为q()的象函 数,应满足m[p(p)-9(0)]=0,即mp(p)=o(0) 2. lim po(p)=lim p(t) 这是因为o()4→q(e"d=po(p)-0o), lim pp(p)=limL o(Oe-p'dt+p(0) q(1)dt+g(0) lim o(n) (4)原函数积分定理:如果m01列(,则M(无初 值) 证明:记v()=[o(rdr,显然,v(O)=0 于是有v(1)4pv(p)-v(0)=pv(p) 另一方面,v(1)=(1)页(p).比较两式可得
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 4 （2） 相似定理：如果 (t) ( p) ，a 是一正数，则 a p a at 1 ( ) . 证明： = = − − a p a a at at e t e a p pt 1 ( ) ( ) d ( ) d 0 0 . （3） 原函数求导定理：如果 (t) ( p) ，则 '(t) p(p)−(0). 一般地，对自然数 n，有（带初值） ( ) ( ) ( ) ( ) (0) '(0) (0) −1 −2 −1 − − − − n n n n n t p p p p . 证明： ( ) ( ) d ( ) (0) '( ) '( ) d d ( ) 0 0 0 0 = + = − = − = = − − − t e p t e t p p t t e t e t pt t t pt pt pt 其中， t → 时， ( ) → 0 − pt t e ，这是因为 (t) ( p) ，所以 s t t Me 0 ( ) ，而 Re 0 p = s s ，因此 ( ) ( ) 0 t e − pt Me− s−s0 t → (t → ) . 两个极限： 1． lim ( ) = (0) → p p p ，这是因为 p ( p) −(0) 作为 (t) 的象函 数，应满足 lim ( ) − (0) = 0 → p p p ，即 lim ( ) = (0) → p p p . 2． 0 lim ( ) lim ( ) p t p p t → → = ， 这是因为 '( ) '( ) d ( ) (0) 0 = − − t t e t p p pt ， 0 0 0 0 lim ( ) lim '( ) d (0) '( )d (0) lim ( ). pt p p t p p t e t t t t − → → → = + = + = （4） 原函数积分定理：如果 (t) ( p) ，则 ( ) p p d t 0 ( ) (无初 值)。 证明：记 0 ( ) ( )d t t ，显然， (0) = 0 . 于是有 '(t) p (p)−(0) = p (p). 另一方面， '(t) =(t) (p). 比较两式可得
Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU (p)=列(p),所以v(p 这就是说w00(p),即[ p(r)dreg(p (5)延迟定理:如果φ(1)可(p),τ是一 正数,则 P(t-TH(t-T) 列(p)(t>r) 证明 op(t-t)H(.rl q(t-r)H(t-r)← o p(t-t)H( dt= p(t-te"p'dr 在积分中作变换u=t-r,即得, p(ue" du=e p(p) 4.例题分析(已知原函数求象函数) (1)从定义,性质出发 例1求H()的象函数。 解](p)=H(口)e 1·epd (Rep>o) 1()分-,(Rep>0) P 例2求ea的象函数,a是一复常数。 解]φ( dt P e (Re p> re a) 例2 (Re p>rea) 0 例3求snt的象函数
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 5 p (p) =(p) ，所以 ( ) p p p ( ) = . 这就是说 ( ) p p t ( ) ，即 ( ) 0 ( )d t p p . （5） 延迟定理：如果 (t) ( p) ，是一 正数，则 t H t e (p) p − ( − ) ( − ) ( t ). 证明: 0 ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) d . pt pt t H t t H t e t t e t − − − − − − = − 在积分中作变换 u = t − ，即得， ( ) ( ) ( ) d ( ) 0 t H t e u e u e p p pu p − − − − − = . 4. 例题分析(已知原函数求象函数)： （1）从定义，性质出发 例 1 求 H(t) 的象函数。 [解] p p H t e t e t pt pt 1 ( ) ( ) d 1 d 0 0 = = = − − , (Re p 0) p H t 1 ( ) , (Re p 0) . 例 1' ： 0 1 1 d (Re 0). pt e t p p = − 例 2 求 at e 的象函数，a 是一复常数。 [解] ( ) p a p e e t e t at pt p a t − = = = − − − 1 ( ) d d 0 0 , (Re p Re a) p a e at − 1 , (Re p Re a). 例 2' ( ) 2 0 0 1 1 d d (Re Re ) ( ) t t pt p t te te e t t e p p p = − = − − − − − . 例 3 求 sin t 的象函数