例6求函数z=x+e"的偏导数、全微分利用偏导数、全微分公式提示与分析：将看作常数口aaz解et69(xy)xx二axaxax= yxy-l + ye*y将x看作常数a0az= x' Inx +e*yxy(xy)rsayayay= x Inx+ xey复合OzOz.)dydz. =)dx+(dx +dy=(axay
求函数 e 的偏导数、全微分. y xy 例6 z x = + 提示与分析: 解 利用偏导数、全微分公式. z x 将y看作常 数 ( ) e y xy x x = + y 1 yx − = 幂函 数的 求导 法则 指数 复合 函数 e ( ) xy xy x + y 1 yx − = , xy + e y z y 将x看作常数 ( ) e y xy x y = + ln y = x x 指数 函数 求导 指数 复合 函数 e ( ) xy xy y + ln y = x x e , xy + x d d d z z z x y x y = + = + ( ) ( ) d d x y e y xy 1 yx y − + ln e y xy x x x +
xy,(x, y) (0,0);例7设函数f(x,y)=x2+y0,(x, y) =(0,0)(1)求f(0,0), f;(0,0);(2)函数z= f(x,y)在(0,0)是否连续?提示与分析:(1)(0,0)是分段函数的分段点，故而，应用定义求(0,0)处偏导数；(2) 首先考察该函数在(0,0)极限是否存在f(0 + △x, 0) - f(0, 0)解 (1) Ji(0,0)= lim ArAr-→0Ar.0-00(△x) +0lim= lim= 0.Ax-→0 △xAxAr-→>0
设函数 2 2 4 ,( , ) (0,0), ( , ) 0, ( , ) (0,0). xy x y f x y x y x y = + = 例7 提示与分析:(1)(0,0)是分段函数的分段点，故而，应 用定义求(0,0)处偏导数； (1) (0,0), (0,0);(2) ( , ) (0,0) 求f f z f x y x y 函数 = 在 是否连续？ (2) 首先考察该函数在(0,0)极限是否存在. 解 (1) (0,0) x f 0 (0 ,0) (0,0) lim x f x f → x + − = 2 0 0 0 ( ) 0 lim x x x → x − + = 0 0 lim →x x = = 0
0 . (Ay)2f(0, 0 + Ay) - f(0,0)0 +(Ay)f'(0,0) = lim limAy-→0AyAyAy-→00= lim= 0, :: f'(0,0) = f’(0,0) = 0Ay-→0 Ay当(x,y)沿着抛物线y=/x趋于(0,0)时，(2）2yx.xlimJim不同的路径22t+x-02x-→0X+xy=Vx极限值不同当(x,y)沿着抛物线y=2/x趋于(0,0)时4x.xxy4limlim=x4x2 +16x2Vx-017+1J-0y=2Vxy于是，极限lim不存在，函数f(x,y)在(0,0)不连续x-→0XJ-0
(0,0) y f 0 (0,0 ) (0,0) lim y f y f → y + − = 2 4 0 0 ( ) 0 0 ( ) lim y y y → y − + = 0 0 lim →y y = = 0, (0,0) (0,0) 0. x y f f = = (2) 当( , ) (0,0) x y y x 沿着抛物线 = 趋于 时， 2 2 4 0 0 lim x y xy → x y → + 2 2 0 lim x y x x x → x x = = + 1 , 2 = 当( , ) 2 (0,0) x y y x 沿着抛物线 = 趋于 时， 2 2 4 0 0 lim x y xy → x y → + 2 2 0 2 4 lim x 16 y x x x → x x = = + 4 , 17 = 不同的路径 极限值不同 于是，极限 不存在，函数 在 不连续 2 2 4 0 0 lim ( , ) (0,0) . x y xy f x y → x y → +
y,(x, y) ±(0,0);4例7 设函数f(x,J)=x2+沿着y=2/x趋于（0,0）0,(x,..)4(1)求f'(0, 0). f'(0, 0);(2)函数z = f(极限为17沿着y=/x趋于（0,0)极限为0.54170.80.60.20.50.50.40.20.60-0.5000.8D.500.20.40.6不同的路径，极限值不同1.51.22
设函数 2 2 4 ,( , ) (0,0), ( , ) 0, ( , ) (0,0). xy x y f x y x y x y = + = 例7 (1) (0,0), (0,0);(2) ( , ) (0,0) 求f f z f x y x y 函数 = 在 是否连续？ 0.5 4 17 沿着 趋于 ， 极限为 (0,0) 0.5. y x = 沿着 趋于 ， 极限为 2 (0,0) 4 17 y x = 不同的路径，极限值不同