/R? -x?-y(r<R)例3 求函数f(x,J)=的定义域1提示与分析：求使x?+y?有意义的点集x?+ y?-i解解不等式组R2-x?-.3解得 2<2+≤R,所以，定义域为D=(x,)l 2<x2+2≤R}
求函数 的定义域. 2 2 2 2 2 2 1 f x y R x y r R ( , ) ( ) x y r = + − − + − 例3 提示与分析: 求使 ， 同时 有意义的点集 2 2 2 2 2 2 1 . R x y x y r − − + − 解 解不等式组 ， 2 2 2 2 2 2 0 0 x y r R x y + − − − 解得 2 2 2 2 r x y R + , 所以，定义域为 2 2 2 2 D x y r x y R = + {( , ) }
sin xy例4求极限limx-0乘积的极限等x331于极限的乘积提示与分析：利用两个重要的极限及极限的四则运算sin xysinsin xyxylim解lim ylim= limVx->0xx-→0x-→0x-0xyxyJ-1J-1y-1y-1sin xysinulim y=limlimy =1.1 =1.limX-0J-→1xyu-→0J-1u令xy=u
利用两个重要的极限及极限的四则运算. 求极限 0 1 sin lim . x y xy → x → 例4 提示与分析: 解 0 1 sin lim x y xy → x → 0 1 sin lim x y xy y → xy → = 0 0 1 1 sin lim lim x x y y xy y → → xy → → = 0 1 sin lim lim xy y xy y → → xy = 0 1 sin lim lim u y u y → → u = = 1 1 = 1. 令xy=u 乘积的极限等 于极限的乘积
sinxy例4求极限limx-0xJ-1曲面上的任意一点，以任意方式趋于（0，1）点，函数的极限都1.即曲面上的点都汇集到一点00.5-5-321.50N-22-3
求极限 0 1 sin lim . x y xy → x → 例4 1 曲面上的任意一点，以任意方 式趋于(0,1)点，函数的极限都 1.即曲面上的点都汇集到一点
x+y不存在.例5 讠证明极限limx-o x-yJ-0提示与分析：取两个不同的路径，得到不同的极限证当P(x,)沿着直线y=0.9x趋于P,(0,0)时,x + 0.9xx+y19.limlimx-→0x-0.9xx-0 x--0y=0.9x当P(x,y)沿着直线y=-x趋于P(0,0)时,x+yx-x不同的路径0limlimx-→>0x-0 x-yx+x极限值不同V-0V=-Xx+y不存在综上，极限limx-0x-yJ-0
证明极限 不存在. 0 0 lim x y x y → x y → + − 例5 提示与分析: 证 当P x y y x P ( , ) 0.9 (0,0) 沿着直线 = 趋于 0 时， 取两个不同的路径，得到不同的极限. 0 0 lim x y x y → x y → + − 0 0.9 0.9 lim 0.9 y x x x x → x x = + = − = 19, 当P x y y x P ( , ) (0,0) 沿着直线 = − 趋于 0 时， 0 0 lim x y x y → x y → + − 0 lim y x x x x x x = → − − = + = 0, 不同的路径 极限值不同 综上，极限 不存在. 0 0 lim x y x y → x y → + −
x+y不右大一证明极限lim例5沿着y=0.9x趋于x-0XV-0(0,0),极限为19沿着y=-x趋于(0,0)，A极限为02004030-202010-40,1-00.5-10 --20 0-30-0.5-40-1-1-0.50.5100-0.5-10.57
证 明 极 限 不 存 在. 00 limxy x y → x y → +− 例 5 沿着y = -x趋于(0,0), 极限为 0 沿着y=0.9x趋于 (0,0),极限为19