例7.5.1如图7.5.1的一根 金属棒,其密度分布为 p(x)=2x2+3x+6(kg/m) 求这根金属棒的质量M。 解M=”(2x2+3x+6dx 图7.5.1 x3+-x2+6 234(kg) 这个问题可以作以下的推广: (1)假定物理量分布在一个平面区域上,x的变化范围为区间anb] 如果过x(a≤x≤b)点并且垂直于x轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用∫(x)表示,或者说该平面区域在横坐标位于 [x,x+dx]中的部分上的物理量可以表示为f(x)dx,那么由类似的讨论, 可以得到这个区域上的总物理量为 Q=f(x)dx
这个问题可以作以下的推广： ⑴假定物理量分布在一个平面区域上， x 的变化范围为区间[, ] a b 。 如果过 x （ ≤ ≤ bxa ）点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的 物理量的密度可以用 xf )( 表示，或者说该平面区域在横坐标位 于 [, d] x x x + 中的部分上的物理量可以表示为 f ( )d x x ，那么由类似的讨论， 可以得到这个区域上的总物理量为 ( )d b a Q fx x = ∫ 。 例 7.5.1 如图 7.5.1 的一根 金属棒，其密度分布为 )kg/m(632)( 2 ρ xxx ++= ， 求这根金属棒的质量 M 。 解 6 2 0 M = ++ (2 3 6)d xx x ∫ )kg(2346 2 3 3 2 6 0 3 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++= xxx 。 0 6 x 图 7.5.1
例7.5.2求圆心在水下10m,半径为1m的竖直放置的圆形铁 片(图7.5.2)所受到的水压力。 解由物理定律,浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压 强为 p=h pg, 这里,ρ是液体的密度,g是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为x轴的正向建立坐标系,于是铁片在深度为10+x处 (-1≤x≤1)受到的压强为(10+x)g,在圆铁 水面 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 x+10 条带域,则带域的面积为 ds=2v1-x dx 所以带域上所受到的压力为 O dF=2gv1-x (10+x)dx 于是铁片所受到的水压力为 =2g」-x2(0+x=10mg(N 图7.5.2
例 7.5.2 求圆心在水下 10 m，半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁 片（图 7.5.2）所受到的水压力。 解 由物理定律，浸在液体中的物体在深度为h的地方所受到的压 强为 = ⋅ ρghp ， 这里，ρ 是液体的密度，g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿铅 垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系，于是铁片在深度为10 + x处 ( −1 1 ≤ x ≤ )受到的压强为( ) 10 + x g ，在圆铁 片上截取与水面平行、以微元dx为宽度的 一条带域，则带域的面积为 2 d 21 d S xx = − ， 所以带域上所受到的压力为 2 d 2 1 (10 )d F = −⋅ + g x xx， 于是铁片所受到的水压力为 1 2 1 F g2 1 (10 )d 10 x xx πg − = −⋅ + = ∫ （N）
这个结论可以推广到立体区域去。事实上,§4的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面x=a和x=b之间的几何体的体积公式 设过x点且与x轴垂直的平面与该几何体相截,截面积为A(x),则 几何体的体积为 V= A(xdx 此式就可以看成是应用本方法的一个特例,其中物理量的密度函数 A(x)是截面的面积
这个结论可以推广到立体区域去。事实上，§ 4 的第三部分给 出了求三维空间中夹在平面 x a = 和 x = b之间的几何体的体积公式： 设过 x 点且与 x 轴垂直的平面与该几何体相截，截面积为 A x( )，则 几何体的体积为 ( )d b a V Ax x = ∫ 。 此式就可以看成是应用本方法的一个特例，其中物理量的密度函数 xA )( 是截面的面积
(2)假定物理量是分布在一条平面曲线 x=x(1) t∈ y=y(t 上,分布函数(即物理量的密度)为f(1),在(x(1),y(t)处截取一段 长度为d的弧,那么在这段弧上的物理量dQ为 do=f(t)d/ 利用弧长的微分公式, d@=f()d/=f(oVx(2+y(2dt 关于t在[71,T2]上积分,就得到 o= f(di=/(vx(02+y(odr 这个结论可以推广到空间曲线的情况
⑵假定物理量是分布在一条平面曲线 x xt y yt t TT = = ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( ), ( ), [, ] 1 2 上，分布函数（即物理量的密度）为 f t( )，在( ( ), ( ) ) xt yt 处截取一段 长度为 d l 的弧，那么在这段弧上的物理量 d Q 为 d ( )d Q ft l = 。 利用弧长的微分公式， d ( )d Q ft l = = 2 2 f () () () d t xt yt t ′ ′ + ， 关于 t 在[, ] T T 1 2 上积分，就得到 2 2 1 1 2 2 ( )d ( ) ( ) ( ) d T T T T Q ft l ft xt yt t == + ′ ′ ∫ ∫ 。 这个结论可以推广到空间曲线的情况