第二章解析函数第11页例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性,dw解：z ≠O),故f(z)=1/z 除 z=0外处处解析;2dzZZ=0是它的一个奇点。解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数：(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析所有解析点的集合必为开集。结11返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第11页 11 例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性. 解： ( ) 2 1 0 , dw z dz z = − 故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析； z = 0 是它的一个奇点。 解析函数的性质： (1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析； 所 有解析点的集合必为开集
第二章解析函数第12页问题： 对函数f(z)=u(x,y) +iv(x,y):如何判别其解析（可导）性？我们也可以将它看作是变量x,v的二元函数，则对x求偏导和对求偏导结12返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第12页 12 问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)， 如何判别其解析（可导）性？ 我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数, 则 对x求偏导和对y求偏导
第二章解析函数第13页Aw_ f(z+z)- F(), 取△z= △x,得由AzAzAwu(x +ax, y)+iv(x +ax, y)-[u(x, y)+iv(x, y))二Azaxu(x+ax, y)-u(x, y) , i[v(x +ax, y)-v(x, y))axax由△x→0，得Ou(x, y).Ov(x, y)f'(x+iy) ==u.+ivaxax结o13返回00束
结 束 返回 第二章 解析函数 第13页 13 w f z z f z ( ) ( ) z z + − = 由 ，取 = z x,得 w u x x y iv x x y u x y iv x y ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] z x + + + − + = 由 →x 0，得 u x x y u x y i v x x y v x y ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] x x + − + − = + ( , ) ( , ) ( ) x x u x y v x y f x iy i x i x u v + = + = +
第二章解析函数第14页Awf(z+△z)- f(z)取△z = iy(△x = 0),得由AzAzAwu(x, y +ay)+iv(x, y+ay) -[u(x, y)+iv(x, y))二AzO+iayu(x, y+ay)-u(x, y) , i[v(x, y+ay) -v(x,y)iayiay由△x →0，得Ou(x,y) , Ov(x, y)f'(x+iy)=-iu.+yayioy结oooe14返回DO束
结 束 返回 第二章 解析函数 第14页 14 w f z z f z ( ) ( ) z z + − = 由 ，取 = = z i y x ( 0),得 ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] 0 w u x y y iv x y y u x y iv x y z i y + + + − + = + 由 →x 0，得 u x y y u x y i v x y y v x y ( , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] i y i y + − + − = + ( , ) ( , ) ( ) y y u x y v x y f x iy iu v i y y + = + = − +
第二章解析函数第15页由此得Ou(x, y)Ov(x, y)Ov(x, y) u(x, y)axaxayay称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程简称C-R方程且f(z)=u, +iv,= V,-iu,结155返回束
结 束 返回 第二章 解析函数 第15页 15 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , u x y v x y u x y v x y x y y x = = − 由此得 ( ) . x x y y 且f z u iv v iu = + = − 称为柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程简称 C-R方程