浙江科技大学：《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数

第二章解析函数第16页定理2.1 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导的充分必要条件是：u(x,y)与v(x,y)在点（x，y)可微，并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程OvOuvu(2.3)OxaxOuOv1 QuOv(2.4)f'(2)十axayaxi Oy结16返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第16页 16 定理2.1 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z=x+iy可导的充分必要条件是: u(x,y)与v(x,y) 在点(x,y)可微, 并且在该点满足柯西-黎曼 (Cauchy-Riemann)方程 , (2.3) u v u v x y y x     = = −     1 ( ) (2.4) u v u v f z i x x i y y      = + = +    

第二章解析函数第17页定理2.2函数f(z)=u(x,y) +iv(x,y)在域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内处处可微，并满足柯西-黎曼方程(2.3)推论:设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内有定义，如果在D内u(x,y)和v(x,y)的四个偏导数u,uy,存在且连续，并且满足C-R方程，则f(z)在D内解析结171ae返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第17页 17 定理2.2 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在域D内 解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内处处可 微, 并满足柯西-黎曼方程(2.3). 推论： 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内 有定义，如果在D内u(x,y)和v(x,y)的四个偏 导数ux ,uv ,vx ,vy存在且连续，并且满足C-R方 程，则 f(z)在D内解析

第二章解析函数第18页注：「可验证f(z)=c← f(z)=0如果f(z)在区域D处处为零,则f(z)在D内为一常数证：因为QuOvvduf'(z) =1+1-axaxyOyOuOvuOv故=0ax?yaxQy所以u=常数,V常数,因而f(z)在D内是常数结o18返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第18页 18 如果f '(z)在区域D处处为零, 则f(z)在D内为一常数. ( ) 0 0 u v v u f z i i x x y y u u v v x y x y      = + = −          = = =      故 所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在D内是常数. 证： 因为 ' 注：可验证f z c f z ( ) ( ) 0 =  =

第二章解析函数第19页例题1 判断函数 W = 7在何处可导，在何处解析解：因为u=x, v=-y,OuOuOyOvaxOX可知柯西-黎曼方程不满足，所以w=z在复平面内处处不可导，处处不解析结19返回束

结 束 返回 第二章 解析函数 第19页 19 例题1 1, 0, 0, = −1   =   =   =   y v x v y u x u 解: 因为u=x, v=−y, 可知柯西-黎曼方程不满足, 所以w=z在复平面 内处处不可导, 处处不解析 判断函数 w z = 在何处可导, 在何处解析