连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法积分号下求导例7设对每个uEI函数f(a,u）在区间（a,+o）上非负，且关于单调递减若f(a,u)da在区间I上一致收敛，则当a→+时，f(a,u)在区间I上一致趋于零证明因为f(a,u)dac在区间I上一致收敛，所以，limβ(b）=0,00Ja其中+xf(c,u)daβ(b) = supuEI由于f(α,u）在区间（a，+）上非负，且关于α单调递减，所以bf(a, u) dcsup/f(b,u)/≤supUEIUEIJb-1≤ β(b -1) → 0 (b →+)这说明f(α,u）在区间I上一致趋于零返回全屏关闭退出11/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 7 éz u ∈ I ¼ê f(x, u) 3«m (a, +∞) þK, 'u x ü N4~. e Z +∞ a f(x, u)dx 3«m I þÂñ, K x → +∞ , f(x, u) 3«m I þªu". y² Ï Z +∞ a f(x, u)dx 3«m I þÂñ, ¤± lim b→+∞ β(b) = 0, Ù¥ β(b) = sup u∈I Z +∞ b f(x, u)dx . du f(x, u) 3«m (a, +∞) þK, 'u x üN4~, ¤± sup u∈I |f(b, u)| 6 sup u∈I Z b b−1 f(x, u) dx 6 β(b − 1) → 0 (b → +∞). ù`² f(x, u) 3«m I þªu". 11/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导e-uad 在0<<1上不一致收敛例8证明积分证明 对每个u E(0,1)函数 f(a,u)= e-ua"在区间(a,+oo)上非负且关于 α单调递减.由于e-ua?= 1 0 (c → +8);supuE(0,1)e-ua"dc 在0<u<1 上不一致收敛所以根据例7的结论，积分a返回全屏关闭退出II12/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 8 y²È© Z +∞ a e −ux2 dx 3 0 < u < 1 þØÂñ. y² éz u ∈ (0, 1) ¼ê f(x, u) = e −ux2 3«m (a, +∞) þK, 'u x üN4~. du sup u∈(0,1) e −ux2 = 1 6→ 0 (x → +∞), ¤±â~ 7 (Ø, È© Z +∞ a e −ux2 dx 3 0 < u < 1 þØÂñ. 12/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ