Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导asinBa例3证明当α>0时，积分dr在β≥β>0上一致收Q2+2敛证明由分部积分法，可得+8+αr+oasinBaacosBa1acosBrdda:XQ2+α2βJbQ2+2β(α2 + α2)Jbb+821bcosbQcosBada十βJbβ(α2 + b2)(α2+2)2由1bcosbbBoβ(Q2 + 62)及cosBα2-211Bo2βo(α2+2)β (α2 +α2)2即知J+αda在β≥β>0上一致收敛Q2+2I返回全屏关闭退出6/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 3 y² α > 0 , È© Z +∞ 0 x sin βx α2 + x2 dx 3 β > β0 > 0 þÂ ñ. y² d©ÜÈ©{, Z +∞ b x sin βx α2 + x2 dx = − x cos βx β(α2 + x2) +∞ b + 1 β Z +∞ b cos βxd x α2 + x2 = b cos bβ β(α2 + b 2) + 1 β Z +∞ b cos βx α2 − x 2 (α2 + x2) 2 dx, d b cos bβ β(α2 + b 2) 6 1 bβ0 9 cos βx β α2 − x 2 (α2 + x2) 2 6 1 β0(α2 + x2) < 1 β0x2 , = R +∞ 0 x sin βx α2+x2 dx 3 β > β0 > 0 þÂñ. 6/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则Dirichlet判别法积分号下求导+8sinc-uT例4设0<P≤1,证明d对u≥0一致收敛eap10证明月任给0≤u<+8o我们有+8sinaurdaeapb+8uTuurcos&cos&cosreuepedrcp+1cpap16-bucosb+8+x-ur-uauecosrpecoOs&eda,drbpcp+1apJbJb+80+-uru=;ue1cos&urdcduebp&pe-buJbu>0,bP，+8-bu-bu+8ucosreeeddrPEpbpap+1ap+1Jbh返回全屏关闭退出-中7/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 4 0 < p 6 1, y² Z +∞ 0 e −ux sin x xp dx é u > 0 Âñ. y² ? 0 6 u < +∞, ·k Z +∞ b e −ux sin x xp dx = − e −ux cos x xp +∞ b − Z +∞ b ue−ux cos x xp + pe−ux cos x xp+1 dx = e −bu cos b b p − Z +∞ b ue−ux cos x xp dx − Z +∞ b pe−ux cos x xp+1 dx, Z +∞ b ue−ux cos x xp dx 6 1 b p Z +∞ b ue−uxdx = 0, u = 0; e −bu b p , u > 0, Z +∞ b p e −ux cos x xp+1 dx 6 Z +∞ b p e −bu xp+1 dx 6 e −bu b p . 7/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号积分号下求导故-bu+α3sin aeuT3dabpbp.cp6所以,任给> 0, 当 b 充分大时,对任意的 0 ≤ u< +o,都有sin ada<e.-p+8sin aur因此，积分dc对u≥o一致收敛eapJo返回全屏关闭退出I8/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ Z +∞ b e −ux sin x xp dx 6 3 e −bu b p 6 3 b p . ¤±, ? ε > 0, b ¿©, é?¿ 0 6 u < +∞, Ñk Z ∞ b e −ux sin x xp dx < ε. Ïd, È© Z +∞ 0 e −ux sin x xp dx é u > 0 Âñ. 8/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号积分号下求导ue-uada 在≤u<+o上不一致收敛例5证明积分证明显然积分在 u≥0 收敛.因为+8u = 0;2daue-ubJbu> 0,P所以+αlim β(b) =ue-urdalimsup=1±0.b→+αb-→+oou≥01故所给积分不一致收敛返回全屏关闭退出I49/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 5 y²È© Z +∞ a ue−uxdx 3 0 6 u < +∞ þØÂñ. y² w,È©3 u > 0 Âñ. Ï Z +∞ b ue−uxdx = 0, u = 0; e −ub, u > 0, ¤± lim b→+∞ β(b) = lim b→+∞ sup u>0 Z +∞ b ue−uxdx = 1 6= 0, ¤È©ØÂñ. 9/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dirichlet判别法Abel判别法连续性交换积分号Cauchy准则积分号下求导fαsinau例6证明积分da 在0<u<+上不一致收敛&J0月由于证明+8sin cudasupβ(b)二supau>0u>0Jb+sinadasup二cu>0Jbu+8sindc一a0元+ 0 (b →+8),2Xsinru所以d在0< u<+oo上不一致收敛c0返回退出全屏关闭?10/31
Cauchy OK Dirichlet O{ Abel O{ ëY5 È©Ò È©Òe¦ ~ 6 y²È© Z +∞ 0 sin xu x dx 3 0 < u < +∞ þØÂñ. y² du sup u>0 β(b) = sup u>0 Z +∞ b sin xu x dx = sup u>0 Z +∞ bu sin x x dx > Z +∞ 0 sin x x dx = π 2 6→ 0 (b → +∞), ¤± Z +∞ 0 sin xu x dx 3 0 < u < +∞ þØÂñ. 10/31 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ