定理的证明作下图,闭曲线C=L+C,CR在 Re(s)的区域内是半径为R的圆弧,当R充分 大后,可以使F(Ss)e的所有奇点包含在闭曲线 C围成的区域内 虚轴 为奇点 所+jR RB 实轴 B-jR
定理的证明 作下图, 闭曲线C=L+CR , CR在 Re(s)<b的区域内是半径为R的圆弧, 当R充分 大后, 可以使F(s)est的所有奇点包含在闭曲线 C围成的区域内. O 实轴 虚轴 L CR b+jR b-jR 为奇点 b
根据留数定理可得 f. F(S)e"ds=2t j2Res[F(S)e B+jR 2r jLJB-jR k 在上式左方取R)+∞的极限,并根据 Jordan引 理,当>0时,有 lim F(seds=0 R→>+CR 1cB+」 从而 F(se ds=>Res f(selt>o 2丌jJ-j∞ k=1
根据留数定理可得 = + - = = + = n k s t C s t R R s t n k s t C s t F s s F s s F s F s s F s R 1 j j 1 ( ) e d ( ) e d Res ( ) e 2 j 1 ( ) e d 2 j Res ( ) e b b 即 ( ) Res ( ) , 0 2 j 1 lim ( ) e d 0 1 j j = = = = + - →+ F s e ds F s e t F s s n k s t s s s t C s t R k R b b 从而 在上式左方取R→+的极限, 并根据Jordan引 理, 当t>0时, 有
最常见的情况,是函数F(s)是有理函数,即 s+a …+a1S+a F(s)=m bs"+bnS"-+…+bs+b S+……+a1S+a1 bn、(S-S1)(s-S2)…(s-Sn) A(S) B(S 其中A(s)和B(S)是不可约的多项式,B(S)的次数 是n,A(s)的次数小于B(S)的次数,这时f(s)满足 定理所要求的条件
最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 B s A s b s s s s s s a s a s a s a b s b s b s b a s a s a s a F s n n m m m m n n n n m m m m = - - - + + + + = + + + + + + + + = - - - - - - 其中A(s)和B(s)是不可约的多项式, B(s)的次数 是n, A(s)的次数小于B(s)的次数, 这时F(s)满足 定理所要求的条件
如果一元n次方程B(s)=0只有单根,这些单根 称作B()的一阶零点,也就是 A(S B(e的一阶极点假设S是其中的一阶极点, 则可在s处展开为罗朗级数为 A(S) B(S) (S-Sk) +Co+C(S-Sk)+C2(s-Sk)"+
如果一元n次方程B(s)=0只有单根, 这些单根 称作B(s)的一阶零点, 也就是 + + - + - + - = - 2 0 1 2 1 ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) e , , ( ) ( ) k k k s t k k s t c c s s c s s s s c B s A s s s B s A s 则可在 处展开为罗朗级数为 的一阶极点 假设 是其中的一阶极点