定理若s1,s2,…,Sn是函数F(s)的所有奇点适 当选取β使这些奇点全在Re(s)的范围内 且当s=>∞时,F(s))0,则有 I cB +100 2xj-j∞ F("ds=∑Res()e] k=1 S-S k 即 f(0=ERes F(S)e")t>0(2.17) k
定理 若s1 , s2 , ..., sn是函数F(s)的所有奇点(适 当选取b使这些奇点全在Re(s)<b的范围内), 且当s→时, F(s)→0, 则有 ( ) Res ( ) e , 0 (2.17) ( ) e d Res ( ) e 2 j 1 1 1 j j = = = = = = + - f t F s t F s s F s s t n k k s s s t n k k s s s t 即 b b
什么叫一个复变函数fs)的奇点?那就是此函 数没有定义的点,或者说是取值无穷大的点 例如函数 st f(S)= S(S-2)(S+3) 在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2, S2=-3
什么叫一个复变函数f(s)的奇点?那就是此函 数没有定义的点, 或者说是取值无穷大的点. 例如函数 ( 2)( 3) e ( ) - + = s s s f s s t 在0, 2, -3处有三个奇点, 可记为s1=0, s2=2, s3=-3
假设s是fs)的一个奇点,则(s)总可以在s处 展开为罗朗级数,形式为: + f()=∑cn(S- 1三-00 其中-1次方项(s)1的系数c=1就称为s)在s0 点处的留数,记作 Reslf(s),sol=c-1 或 Reslf(s)]=c S=S
假设s0是f(s)的一个奇点, 则f(s)总可以在s0处 展开为罗朗级数, 形式为: + =- = - n n n f (s) c (s s ) 0 其中-1次方项(s-s0 ) -1的系数c-1就称为f(s)在s0 点处的留数, 记作 Res[f(s),s0 ]=c-1 或 1 Res ( ) 0 - = f s = c s s
围绕着八s)的奇点s的附近绕一圈环的积分就 等于 5f(s)ds=∑cn(-s)ds fc,(s-So)ds=2of(s-so)"ds =-00 1=-00 2z_=2T j Reslf(s) 其中C是只围绕S转一圈的任意闭合曲线
围绕着f(s)的奇点s0的附近绕一圈环的积分就 等于 2 j 2 jRes ( ) ( ) d ( ) d ( )d ( ) d 0 1 0 0 0 c f s c s s s c s s s f s s c s s s s s n C n n n C n n C n n n C = - + =- + =- + =- = = = - = - = - 其中C是只围绕s0转一圈的任意闭合曲线
如果函数s)有s152…,Sn共n个奇点,闭合曲线 C包围了这n个奇点,则 f f(s)ds=2r jXRes[f(s)I k=1 k 虚轴 SIX X S 实轴
如果函数f(s)有s1 ,s2 ,...,sn共n个奇点, 闭合曲线 C包围了这n个奇点, 则 = = = n k C s s f s s f s k 1 ( )d 2 j Res ( ) 实轴 虚轴 s1 s2 s3