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第四章级数 §1复数项级数
2 第四章 级数 §1 复数项级数
1.复数列的极限设{an}(n=1,2…,)为一复数列, 其中αn=an+in,又设a=a+ib为一确定的复数 如果任意给定≥0,相应地能找到一个正数 Na)使|an-c<ε在n>N时成立,则a称为复数 列{an}当n-o时的极限,记作 Im a 々个 C n→0 此时也称复数列{an}收敛于a
3 1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an =an+ibn , 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数 N(e), 使|an-a|<e在n>N时成立, 则a称为复数 列{an}当n时的极限, 记作 a a n n lim 此时也称复数列{an}收敛于a
定理一复数列{an}(n=1,2,)收敛于a的充要 条件是iman=a.mbn=b n→0 n→0 [证]如果 lima=a,则对于任意给定的e>0, n→00 就能找到一个正数N,当n>N时 (an +ibm)-(a+ibk nI Jan-akslcan-a)+i(b-b)kE 所以 lim a=a,同理limb,=b n→>∞ n→>0
4 定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要 条件是 a a bn b n n n lim ,lim lim , lim . | | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | a a b b a a a a i b b a ib a ib n n n n n n n n n - - - - 所以 同理 则 e e [证] 如果 , 则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N, 当n>N时, a a n n lim
反之,如果 lima=a, limb=b n→) n→>O 则任给,存在N,当n>N时, <-b-b 2”n 从而有 a-a=(an-a)+i(b-b) ana+b,-bke 所以 lima=a n→00 5
5 反之, 如果 lim . | | | | | | | ( ) ( ) | 2 ,| | 2 | | , , , lim ,lim a a e a a e e e - - - - - - - n n n n n n n n n n n n n a a b b a a i b b a a b b N n N a a b b 所以 从而有 则任给 存在 当 时