第2章 模糊聚类分析
第 2 章 模糊聚类分析
§2.1模糊矩阵 定义1设R=(rmn若0≤r1≤1,则称R为模 糊矩阵.当r只取0或1时,称R为布尔(Bol矩阵 当模糊方阵R=(z)2xn的对角线上的元素r都为1 时,称R为模糊自反矩阵. 定义2设=(a)mxnB=(b)m都是模糊矩阵, 相等:A=B分>a b 包含:4<B令a;≤b 并:AUB=(anVb)mxn 交:A∩B=(an∧bm×n; 余 (1-ai) mxn
§2.1 模糊矩阵 定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模 糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij) n×n的对角线上的元素rii都为1 时，称R为模糊自反矩阵. 定义2 设A=(aij)m×n ,B=(bij)m×n都是模糊矩阵， 相等：A = B aij = bij； 包含：A≤B aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n
模糊矩阵的并、交、余运算性质 幂等律:AUA=A,A∩=A; 交换律:AUB=BUA,A∩B=B∩A 结合律:(4UBUC=AU(B∪C, (4∩BnC=An(BnO; 吸收律:AU(4∩B)=A,A∩(AUB)=A 分配律:( AUB)nC=(4nC)U(B∩O; (4nB)UC=(UCn(B∪O; 0-1律:AUO=A,A∩O=0 A∪E=E,A∩E=A;E 还原律:(4)=A; 对偶律:(AUBF=4∩B,(A∩BF=AUB
模糊矩阵的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A，A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C )∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C )∩(B∪C)； 0-1律： A∪O = A，A∩O = O； A∪E = E，A∩E = A； 还原律：(Ac ) c = A； 对偶律： (A∪B) c =Ac∩Bc , (A∩B) c =Ac∪Bc . = 1 ... 1 1 ... 1 E
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 设A=(a1mxB=(b)xn,定义模糊矩阵A 与B的合成为: A°B=(cr) nxn 其中cn=∨{(a1k∧b)1≤k≤ 模糊方阵的幂 定义:若A为n阶方阵,定义42=A°A, A3=A2°A,…,Ak=441°A 0.10.3 030.3(0.10.30.303 0.40.7 0.40.7(0.40.70.407
模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 设A= (aik)m×s，B= (bkj) s×n，定义模糊矩阵A 与B 的合成为： A °B= (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}. 模糊方阵的幂 定义：若A为n 阶方阵，定义A2 = A °A， A3 = A2 °A，…，Ak = Ak-1 °A. = = 0.4 0.7 0.3 0.3 0.4 0.7 0.1 0.3 0.4 0.7 0.3 0.3 0.4 0.7 0.1 0.3 3
合成(°)运算的性质 性质1:(4°B)°C=A°(B°O; 性质2:A°4=Ak+,(4m)n=Am; 性质3:A°(BUC)=(A°B)U(A° C) (BUC)°A=(B°4)U(C 汪 性万 质4;O°A=A° 6)运算关子(m的分配律不成立,即 性质.B,℃型)QB分 0.10.3 0.20.1 A B C 0.20.1 0.30.2 0.30.2
合成(° )运算的性质： 性质1：(A °B) ° C = A ° (B ° C)； 性质2：Ak °Al = Ak + l ，(Am) n = Amn； 性质3：A ° ( B∪C ) = ( A °B )∪( A ° C )； ( B∪C ) ° A = ( B °A )∪( C ° A )； 性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I =A； 性质5：A≤B，C≤D A °C ≤B °D. 注：合成(°)运算关于(∩)的分配律不成立，即 ( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C ) = = = 0.3 0.2 0.5 0.1 , 0.3 0.2 0.2 0.1 , 0.2 0.1 0.1 0.3 A B C