2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 解: arctan a= arctan a arctan +o arctan x 例8.13计算 x2=- 鄘:∫+ arctan x arctan xd() arctan1+∫1° x(1+x lim Ji( )ds 4b→)+x1+x + lim In b 4b 3h(1+b2)+1n2 +-n2 42 「+o 例8.141 Xix t sect. tan t dt=12dt=或令x=一,用 sect. tan t 凑微分法 则 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -6-清华大学理科楼1101电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解: a arctan a 2 arctan = − π ， , 1 4 arctan a = a = π . 例 8.13 计算 ∫ +∞ 1 2 arctan dx x x . 解: ) 1 arctan ( arctan ∫ 1 2 ∫1 +∞ +∞ = − x dx xd x x ∫ +∞ +∞ + = − 1 + 1 2 (1 ) 1 1 dx x x arctanx x dx x x x b b ) 1 1 lim ( 4 1 2 + = + ∫ − →+∞ π ln 2] 2 1 ln(1 ) 2 1 lim [ln 4 2 = + − + + →+∞ b b b π ln 2 2 1 4 = + π 例 8.14 ∫ +∞ = − 1 2 x x 1 dx 。 ∫ ∫ ∫ +∞ = = = ⋅ ⋅ = − 1 2 0 2 0 sec 2 sec tan 2 sec tan 1 π π π dt dt t t t t x x dx x t 或令 t x 1 = ，用 凑微分法 则 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 青华大学理科楼1101电话:62781785 t x√x dt= arcsin 丌 例8.15广义积分 答案:-- arccose 解:取变换e三SeCt,则 x=In(sect), e dx= sect tan tdt tan t =∫ arccos e= arcsine例8.16计算 arccose tan t 广义积分xln"xdx [解]采用分部积分,即有 Ⅰ.=-x2lnn nIn"x.dx 2 2 2 或 8.3阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用用于求特定极限 运用定积分求极限常用公式为 b-a b-a lim∑f(a+k) b f(x)ds n k=1 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 7-清华大学理科楼 电话:6278178
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ ∫ − − = − +∞ 0 1 2 2 1 2 ) 1 ( 1 1 1 dt t t t x x dx ∫ = = − = 1 0 2 0 2 1 arcsin 1 1 π dt t t . 例 8.15 广义积分 = − ∫ +∞ 1 2 1 x e dx . 答案： 1 arccos 2 − − e π . 解: 取变换e t ，则 x = sec x t e dx t tdt x = ln(sec ), = sec tan ， 1 1 2 arccos arccos arcsin tan 2 tan 1 − − = ∫ − dt = − e = e t t I e π π 例 8.16 计算 广义积分 x xdx 。 n ∫ 1 0 ln [解] 采用分部积分，即有 1 1 0 2 1 1 0 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 − − = − ∫ ⋅ = − n n n n I n dx x I x x x n x 2 1 2 ( 1) ! 2 1 2 − + − ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − n n n n I n n L . 或 1 1 2 , 4 1 = − n = − n− I n I I 。 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 用于求特定极限 运用定积分求极限常用公 式 为 ∑ = ∫ − + − →∞ = b a n k k f x dx n b a f a n b a lim ( ) ( ) n 1 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785