2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 解:(1)设切点坐标为(x0,y),则在此点的切线斜率为yx=b x 在此点的切线方程为 x-x0)+ 2 把点(10)代入上式得x0=3, 切线方程为y=(x-1), 则A=J[(y2+2)-(2y+1)dy= 3 =x(x-1)2cx-1(x-2)2ax 丌 7.1.3光滑曲线的弧长 .直角坐标系中的光潛曲线y=f(x),a≤x≤b的弧长为 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 6-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 解：（1）设切点坐标为(x0 , y0 ) ，则在此点的切线斜率为 2 2 1 0 0 − ′ = = x y x x 在此点的切线方程为 ( ) 2 2 2 1 0 0 0 − + − − = x x x x y 把点(1,0)代入上式得 3， x0 = 切线方程为 ( 1) 2 1 y = x − ， 则 3 1 [( 2) (2 1)] 1 0 2 A = ∫ y + − y + dy = （2）V x dx x dx x 3 2 2 3 2 1 ( 1)] ( 2) 2 1 = π ∫ [ − −π ∫ − π π π 6 1 2 1 3 2 = − = 7.1.3 光滑曲线的弧长 1. 直角坐标系中的光滑曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b的弧长为 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 6 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 =的1+[(x)2tr 2.参数方程下 x=x(1)2y=y(),a≤t≤B的弧长为 l=1x(o)2+b(]2th. 3.极坐标系下光滑曲线 P=ple q≤B的弧长为 √p(o)++p(o)d 例7.11 求心形线 r=a(1+cos)(a>0)的弧长 解 1=aJ(1+ cos p)2+(sin do =a/r√2+2 cos odo 2aJo 2 cos xdo =8aJf cos tdt=8a. 7.1.4旋转体的侧面积 L.直角坐标系中曲线y=∫(x),a≤x≤b绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积 为A=2n功f(x)1+(x)]2t 2.参数方程下曲线 x=x(t),y=y(1)2a≤t≤B绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为 A=2TJy(OVx(oP++[y(ol dt 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 = ∫ + [ ] ′ b l a f x dx 2 1 ( ) 。 2. 参数方程下 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 的弧长为 = ∫ [ ] ′ + +[ ′ ] β l α x t y t dt 2 2 ( ) ( ) 。 3. 极坐标系下光滑曲线 ρ = ρ( ) ϕ , α ≤ ϕ ≤ β 的弧长为 = ∫ ( ) + +[ ] ′ β l α ρ ϕ ρ ϕ dϕ 2 2 ( ) 。 例7.11 求心形线 r = a(1+ cosϕ) ( ) a > 0 的弧长. 解 : = ∫ ( + ) + (− ) π ϕ ϕ ϕ 2 0 2 2 l a 1 cos sin d = ∫− + π a π 2 2cosϕdϕ a d 8a costdt 8a 2 2 2 cos 2 = ∫0 = ∫0 = π π ϕ ϕ 。 7.1.4 旋转体的侧面积 1. 直角坐标系中曲线 y = f (x), a ≤ x ≤ b 绕 轴旋转生成的旋转体的侧面积 为 x = ∫ + [ ] ′ b A a f x f x dx 2 2π ( ) 1 ( ) 。 2. 参数方程下曲线 x = x(t), y = y(t), α ≤ t ≤ β 绕 x 轴旋转生成的旋转体的侧面积为 = ∫ [ ′ ] + +[ ′ ] β A π α y t x t y t dt 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 。 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 7 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785
2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 例7.12设有曲 线y 过原点作其切 线,求此曲线 切线及x轴为成 的平面区域绕x 轴旋转一周所得到的旋转体 表面积 解:可以求得切线为 2 切点为(2,1) 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕x轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 A=2Tyy1+y'2dx 由切线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 A2=22xdx=√5丌 z√4x-3dx=2(55-1) 所以旋转体表面积 A1+412=(15-1) 例7.13设外旋转线的方程为 x=alt-sint (0≤t≤2m,a>0), y=a(1-cost) (1)求它绕x轴旋转一周生成的体积与侧面积; 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 8-清华大学理科楼1101电话:62781785
2005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 例 7. 12 设有曲 线 y = x −1, 过原点作其切 线, 求此曲线, 切线及 x 轴为成 的平面区域绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体 表面积. 解 : 可以求 得切线为 y x 2 1 = , 切点为( ) 2,1 . 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕 x 轴旋转一周所 得到的旋转体表面积为 ∫ = + ′ 2 1 2 A1 2π y 1 y dx 由切线绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 π 5π 2 5 2 1 2 2 A2 = ∫0 x dx = (5 5 1) 6 4 3 2 = ∫1 − = − π π x dx 所以旋转体表面积 (11 5 1) 6 = 1 + 2 = − π A A A 。 例 7. 13 设外旋转线的方程为 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ > = − = − (0 2 , 0) (1 cos ) ( sin ) t a y a t x a t t π ， （1）求它绕 x 轴旋转一周生成的体积与侧面积； 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 8 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785