加倍公式对数凸性B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式对数导数叠乘定理Weierstrass公式(α +y - 1)r+y-10≤ur+y-lty-le-u(t+1)≤，(u≥0)(t +1)e0≤ u+y-ltu-le-u(t+1) ≤ (y -1)y-lu*e-", (t ≥0).现在在（1)式右端用变量代换w=u(1+t)，最后得到C+aa+oow++y-le-wty-ldtT(α)r(y) =dw(1 +t)r+yJoJo+8ty-1dt=r(α+y)(1 +t)r+y=r(a+y)B(a,y).从而得到r()r(y)B(α,y) :(α>0,y>0).r(c+y)返回全屏关闭退出I11/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª 0 6 u x+y−1 t y−1e −u(t+1) 6 (x + y − 1)x+y−1 (t + 1)x , (u > 0) 0 6 u x+y−1 t y−1e −u(t+1) 6 (y − 1)y−1u xe −u , (t > 0). y33 (1) ªmà^Cþ w = u(1 + t), Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 t y−1dt Z +∞ 0 wx+y−1e −w (1 + t) x+y dw = Γ(x + y) Z +∞ 0 t y−1 (1 + t) x+y dt = Γ(x + y) B(x, y). l B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (x > 0, y > 0). 11/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式例 1 求积分36sin" cosm cd的值.其中n及m都是非负整数解作变量代换t=sin&.得号1t)"dtsin" cosm dc2001n+1.m+1B-222n+1m+1r212n+mT2在这个表达式中，I函数的自变量所取的值或是整数，或是半整数，因此所给返回全屏关闭退出12/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ~ 1 ¦È© Z π 2 0 sinn x cosm xdx , Ù¥ n 9 m Ñ´Kê. ) Cþ t = sin2 x, Z π 2 0 sinn x cosm xdx = 1 2 Z 1 0 t n−1 2 (1 − t) m−1 2 dt = 1 2 B n + 1 2 , m + 1 2 = 1 2 · Γ n+1 2 Γ m+1 2 Γ n+m 2 + 1 , 3ùLª¥, Γ ¼êgCþ¤½´ê, ½´ê, Ïd¤ 12/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
加倍公式对数凸性叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式对数导数Weierstrass公式积分是可以算出来的.特别当m=0时就有()r (n)1rsin" d2 (+1)Jo(n-1) 元当n为偶数;n!!2,(n-1)!!当n为奇数。n!!I4返回全屏关闭退出I13/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª È©´±Ñ5. AO m = 0 Òk Z π 2 0 sinn xdx = 1 2 Γ 1 2 Γ n+1 2 Γ n 2 + 1 = (n−1)!! n!! π 2 , n óê; (n−1)!! n!! , n Ûê. 13/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ