加倍公式对数凸性B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式对数导数登乘定理Weierstrass公式定理 4 B(α,y) 在 I = (0,+oo) × (0, +oo) 上连续, 且 B(α,y) = B(y,α).证明在B函数的定义式tr-1(1 -t)u-1dtB(a,y) =中，如果<1则t=0是瑕点：如果y<1.则t=1是瑕点.故把积分拆成两部分：tr-l(1 - t)y-1dt =tr-1(1 -t)u-1dt+ta-1(1 -t)u-1dt,Jo0其中0<a<1.当t→0时te-l(1 -t)g-1 ~ te-1所以第一个积分当>0时收敛返回全屏关闭退出-6/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 4 B(x, y) 3 I = (0, +∞) × (0, +∞) þëY, B(x, y) = B(y, x). y² 3 B ¼ê½Âª B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt ¥, XJ x < 1, K t = 0 ´×:; XJ y < 1, K t = 1 ´×:. rÈ© ¤ üÜ©: Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt = Z a 0 t x−1 (1 − t) y−1dt + Z 1 a t x−1 (1 − t) y−1dt, Ù¥ 0 < a < 1. t → 0 , t x−1 (1 − t) y−1 ∼ t x−1 , ¤±1È© x > 0 Âñ; 6/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式当t→1时tt-1(1 - t)g-1 ~ (1 - t)u-1所以第二个积分当y>o时收敛.就是说,B(c,y的定义域为>0,y>0对于区间I上任取一点（co,yo),取o>i>0,o>yi>0,则当α≥a1,y≥yi时，无论t是区间（0,1)上怎样的数值，都有tr-1(1 - t)u-1 ≤ t"i-1(1 - t)u1-1由于积分t1-1(1-t)u-1dt收敛，因而积分te-1(1-t)y-1dt在[c1,+oo）×[y1,+oo）上一致收敛，故B(a,y)在（co,yo)连续，由（aco,yo)的任意性可知，B（c，y）在其定义域上连续作变换t=1-u,即可得到B(c,y)=B(yc).返回全屏关闭退出7/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª t → 1 , t x−1 (1 − t) y−1 ∼ (1 − t) y−1 , ¤±1È© y > 0 Âñ. Ò´`, B(x, y) ½Â x > 0, y > 0. éu«m I þ?: (x0, y0), x0 > x1 > 0, y0 > y1 > 0, K x > x1, y > y1 , ÃØ t ´«m (0, 1) þNê, Ñk t x−1 (1 − t) y−1 6 t x1−1 (1 − t) y1−1 , duÈ© R 1 0 t x1−1 (1 − t) y1−1dt Âñ, Ï È© R 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt 3 [x1, +∞) × [y1, +∞) þÂñ, B(x, y) 3 (x0, y0) ëY, d (x0, y0) ?¿5, B(x, y) 3Ù½ÂþëY. C t = 1 − u, = B(x, y) = B(y, x). 7/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数B函数等价定义Dirichlet公式Weierstrass公式定理5(B函数无穷积分表示）对任意的α>0,y>0,有z9-1+αB(, y) =-dz(1 + z)r+y证明由定义知tar-1(1 - t)y-1dt,B(c,y) =1.2令t=,即有1-t=,dt={142)，代入后就有29-1+8B(α,y) =-dz ( > 0, y>0)(1 + z)r+y返回全屏关闭退出I8/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 5 (B ¼êáȩL«) é?¿ x > 0, y > 0, k B(x, y) = Z +∞ 0 z y−1 (1 + z) x+y dz. y² d½Â B(x, y) = Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1dt, - t = 1 1+z , =k 1 − t = z 1+z , dt = − dz (1+z) 2 , \Òk B(x, y) = Z +∞ 0 z y−1 (1 + z) x+y dz (x > 0, y > 0). 8/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与工函数B函数等价定义Weierstrass公式定理 6(B 函数递推公式）对任意的 > 0,y>1, 有y-1B(α,y) =B(c, y - 1).c+y-l证明从B函数的定义出发，由分部积分可得tr(1 -t)y-1jtyt(1 - t)y-2 dtB(, 2c&r0yy-1-t-1(1 - t)g-2 dt -tc-1(1 - t)y-1 dtcaJoy-B(c,y- 1) _ -B(α, y).ca因此,y-1B(a,y) = -B(α, y - 1).+y-1(m-1)!(n-1)!r(m)r(n)特别, 由于 B(1,1) = 1, 对于 m,n E N+ 有 B(m,n) =r(m+n)(m+n-1)!I返回全屏关闭退出-l9/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 6 (B ¼ê4íúª) é?¿ x > 0, y > 1, k B(x, y) = y − 1 x + y − 1 B(x, y − 1). y² l B ¼ê½ÂÑu, d©ÜÈ© B(x, y) = Z 1 0 (1 − t) y−1d t x x = t x (1 − t) y−1 x 1 0 + y − 1 x Z 1 0 t x (1 − t) y−2 dt = y − 1 x Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−2 dt − y − 1 x Z 1 0 t x−1 (1 − t) y−1 dt = y − 1 x B(x, y − 1) − y − 1 x B(x, y). Ïd, B(x, y) = y − 1 x + y − 1 B(x, y − 1). AO, du B(1, 1) = 1, éu m, n ∈ N+ k B(m, n) = (m−1)!(n−1)! (m+n−1)! = Γ(m)Γ(n) Γ(m+n) . 9/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
B函数等价定义Dirichlet公式加倍公式对数凸性对数导数叠乘定理B函数与T函数Weierstrass公式定理7(B函数与T函数的关系,Dirichlet公式）对任意的>0,y>0,有r(α)r(y)B(a,y) = T(r +y)证明根据B函数和T函数的递推公式，只需对>1,y>1的情况证明结论成立.由T函数的定义x-Xvy-le-"dv,ur--uduI(c)r(y) =Jo10在上式中命三ut.再交换积分次序，就得到++8+u'ty-le-utdtur-lle-"dur(r)r(y) =Jo0+8+ur+y-le-(1+t)udu.ty-1dt(1)01上面交换积分次序是合理的，这只需注意到在α>1,y>1的假设下，有返回退出全屏关闭=10/38
B ¼ê Γ ¼ê B ¼ê d½Â Dirichlet úª \úª éêà5 éêê U¦½n Weierstrass úª ½n 7 (B ¼ê Γ ¼ê'X, Dirichlet úª) é?¿ x > 0, y > 0, k B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) . y² â B ¼êÚ Γ ¼ê4íúª, Ié x > 1, y > 1 ¹ y²(ؤá. d Γ ¼ê½Â Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 u x−1e −udu Z +∞ 0 v y−1e −vdv, 3þª¥· v = ut, 2È©gS, Ò Γ(x)Γ(y) = Z +∞ 0 u x−1e −udu Z +∞ 0 u y t y−1e −utdt = Z +∞ 0 t y−1dt Z +∞ 0 u x+y−1e −(1+t)udu. (1) þ¡È©gS´Ün, ùI5¿3 x > 1, y > 1 be, k 10/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ