第二章矩阵与向量 2.向量能否由向量组，n线性表出可转化 为线性方程组有没有的问题 对于元线性方程组(2-8)若以o侧表示其中第个未知 量的系数构成的m维列向量，即 4 azj ,= j=1,2,.,n B= Amj bm 那么，方程组(2-8)可以表示为 x a+x2az+.+x a =B 反之对应的线性方程组为
第二章 矩阵与向量 . 2. , , 1 为线性方程组有没有解的问题 向 量能否由向量组 m 线性表出可转化 对于n元线性方程组(2-8)若以j表示其中第j个未知 量的系数构成的m维列向量，即 1 2 1, 2, , j j j m j a a j n a = = 1 2 m b b b = 那么，方程组(2-8)可以表示为 1 1 2 2 n n x x x + ++ = 反之对应的线性方程组为
第二章矩阵与向量 1七1+012x2+.+41mn=b1 021X1+022X2++02mXm=b2 amx1+am2x2++amm xn=bm 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量a1,2,am线性表示.当能由向量 必1,2，.anm线性表示且表达式唯一时，方程组(2-8) 有解且解唯一，当线性方程组无解时，β能由向量 01,02,0m线性表示
第二章 矩阵与向量 于是，方程组(2-8)有没有解的问题就转化为向 量能否由向量1 ,2 ,., m线性表示.当能由向量 1 ,2 ,., m线性表示且表达式唯一时,方程组(2-8) 有解且解唯一，当线性方程组无解时， 能由向量 1 ,2 ,., m线性表示。 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
第二章矩阵与向量 3.一般地，a与，o2,om必为且仅为一下三 种情形之一： 1.a可由a1,02,0m的线性表示，且表达式唯 2.a可由o1,o2,om的线性表示，但表达式不 唯一； 3.o不能由a1,a2,.,0m的线性表示
第二章 矩阵与向量 3.一般地， 与 ,2 ,., m 必为且仅为一下三 种情形之一： 1. 可由1,2 ,.,m 的线性表示，且表达式唯 一； 2.可由1,2 ,.,m 的线性表示，但表达式不 唯一； 3.不能由1,2 ,.,m 的线性表示
第二章矩阵与向量 4.线性相关和线性无关的定义 定义2.3.2设n维向量组a41,am,如果存在 不全为0的m个数k1,2,.,km,使得 k1a1+k202+.+km0m=0 则称向量组%1,2,0m线性相关，否则称它们线性 无关. 由定义显然可得到，一个向量组要么线性相关，要 么线性无关。 注：1,2，0m线性无关，就是 k1a41+k202+.+km0m=0<k1=k2=.=km=0
第二章 矩阵与向量 定义2.3.2 设n维向量组1 , 2 ,., m ，如果存在 不全为0 的m 个数k1，k2，.，km，使得 k11 + k22 + .+ kmm = 0 注： 1 ,2 ,.,m 线性无关,就是 k11 + k22 + .+ kmm = 0 k1 = k2 = . = km= 0 则称向量组1 ,2 ,.,m 线性相关,否则称它们线性 无关. 4.线性相关和线性无关的定义 由定义显然可得到，一个向量组要么线性相关，要 么线性无关
第二章矩阵与向量 根据定义23.2，可以直接得到以下结论： (1)只有一个向量a的向量组线性相关的充要条件是a=0; (2)如果向量组c%1,2,m中有某两个向量a,=ka (),对应成比例，那么向量组1，an线性 相关； (3)含有零向量的向量组必线性相关 在一个向量组%1,2，&m中，任取若干个向量组成 的向量组，叫做a1,2,0m的部分向量组，简称部分 组. (④)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的
第二章 矩阵与向量 根据定义2.3.2，可以直接得到以下结论: (1)只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是=0; (2)如果向量组1 ,2 ,.,m中有某两个向量i=kj (i≠j) ，对应成比例，那么向量组1 ,2 ,.,m线性 相关 ; (3)含有零向量的向量组必线性相关. 在一个向量组1 ,2 ,.,m中，任取若干个向量组成 的向量组，叫做1 ,2 ,.,m的部分向量组，简称部分 组. (4)向量组的一个部分组线性相关，那么这向量组线性 相关.其逆否命题是：线性无关向量组的任意一个部分 组也是线性无关的