北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 线性方程组 第五节 齐次线性方程组的解法

x=kh1+k22+…+k,n 其中k1,k2,,k,是任意常数 2,线性方程组基础解系的求法 定理 若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩 R(A)片<n(未知量的个数)，则(1)必有基础解系： 且基础解系中含有n-r个解向量. 证明 因R(A)戶<n,则A可经有限次初等行变换和列 的换法变换化为B型阵，即

t t x = k1h1 + k2h2 ++ k h , , , . 其中k1 k2  kn−r是任意常数 ２．线性方程组基础解系的求法 定理 若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩 R(A)=r<n(未知量的个数），则（1）必有基础解系； 且基础解系中含有n-r个解向量. 证明 因R(A)=r<n,则A可经有限次初等行变换和列 的换法变换化为B型阵,即 ．

0b1…bnr 0 A- r.n-r 0

                    → − − 0 0 0 0 0 1 1 0 1 , 1 1 1,                         r r n r n r b b b b A

1 bin-r 2 0 b 4x=0台 :.: =0 0 0 0 0 =-b心+1--bn-n x=-b-brn

0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 1 , 1 1 1, =                                       − − n r r n r n r x x x b b b b                                 = − − − = − − −  + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 Ax = 0

现对x,41,,心n取下列n一r组数： 1=-b1X+1--b1-x2 分别代入 =br1br-rn

现对 x r+1 ,  , x n 取下列 n− r 组数：               + + n r r x x x  2 1      = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 分别代入 , .               1 0 0  ,               0 1 0  ,               = 0 0 1  