《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，C）第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩

第二章矩阵与向量 例3设矩阵A= 0 】 -1 5其列向量 60 24 a1,2,3,a,间有线性关系：a4=a,+2C2-ac3 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量B,B2,B,B,间也有线性关系 B4=B+2B2-B

第二章 矩阵与向量 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系

第二章矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下： 「1 3 0 1 3 0 3-6r 5+32 A 0 2 -1 5 0 2 -1 5 -6 -16 4 0 0 -19 19 1 1 3 0 1 10 3 r-3531 0 2 -1 5 0 20 4 2+3 0 0 -1 0 01 -1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ： 3 1 6 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 6 16 4 r r A −     −       − − 3 2 3 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 19 19 r r +     −       − 3 1 ( ) 19 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 1 1 r  −     −       − 31 2 3 3 1 1 0 3 ~ 0 2 0 4 0 0 1 1 r r r r − +           −

第二章矩阵与向量 3 1 0 01 2 -2 010 2 102 001 -1 e =B 容易看出，B的列向量B,B2,B3,B,间也有 线性关系B4=B1+2B2-B3: 推论初等行列)变换不改变矩阵的列（行）秩

第二章 矩阵与向量 2 1 2 1 1 0 3 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r            − 1 2 1 0 0 1 ~ 0 1 0 2 0 0 1 1 r r B −     =       − 1 2 3 4 4 1 2 3 , 2 . B         = + − 容易看出， 的列向量 间也有 线性关系 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩

第二章矩阵与向量 定理2.4.3矩阵的行秩等于列秩 证：由于mX矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 ●● I= 0 0 第r行 0 0 0 第r列 而矩阵的行秩和列秩都等于r,根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于，即A的行秩等于列秩

第二章 矩阵与向量 定理2.4.3 矩阵的行秩等于列秩. 证：由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r m n I r           =          第 列 第 行 而矩阵I的行秩和列秩都等于r，根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于r，即A的行秩等于列秩

第二章矩阵与向量 定义2.4.2矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A), 对于m×矩阵A,显然R(A)满足条件： 0≤R(A)≤min{m,m}.若A为n阶方阵，且 R(A)=,则称A为满秩矩阵 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B)

第二章 矩阵与向量 定义2.4.2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). ( ) 0 ( ) min{ , }. ( ) . m n A R A R A m n A n R A n A    = 对于 矩阵 ，显然 满足条件： 若 为 阶方阵，且 ，则称 为满秩矩阵 推论 ~ ( ) ( ). 若矩阵A B R A R B ，则 =