哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）习题课三

概率论 (X,Y)关于X的边缘分布 PX=0}=P{X=0,=1}+PXx=0,y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1,=1}+P{X=1,Y=3}=318, PX=2}=PX2,=1}+P{X=2,y=3}=3/8, PX=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,=3}=18 (X,Y)关于Y的边缘分布 P{F=1}=∑P{X=k,Y=1}=38+3/8=68, k: P{F=3}=∑P{X=4Y=3}=18+1/8-2/8. k=0

概率论 P{X=0}= P{X=1}= P{X=2}= P{X=3}= P{Y=1}= P{Y=3}= P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.   3 0 , 1 k P X k Y =  = = =3/8+3/8=6/8,   =1/8+1/8=2/8. 3 0 , 3 k P X k Y =  = = (X ,Y) 关于 X 的边缘分布 (X ,Y) 关于 Y 的边缘分布

概率论 2.设二维连续型随机变量(X,y)的联合分布函 数为 F(,y)=A(B+arctan )C+arctan 3 (1)求A、B、C的值, (2)求(X,)的联合密度, (3)判断X、Y的独立性

概率论 2. 设二维连续型随机变量 ( X Y, ) 的联合分布函 数为 ( , ( arctan )( arctan ) ) 2 3 x y F x y A B C = + + (1 A 、 ) 求 B 、C 的值 , (2 , ) 求 ( X Y ) 的联合密度 , (3) 判断 X、Y 的独立性

概率论 解(1)由F(+∞,∞)=0,F(∞,+∞o)=0 F(+∞,+∞)=0,得到 A(B+)C、兀、=0 2 A(B- )(C+)=0 2 A(B+,)C⊥兀、=1 解得A=2,B=C= 2

概率论 解 F (+ − = , 0 , ) F (− + = , 0 , ) F (+ + = , 0 , ) 由 得到 ( )( ) 0 2 2 π π A B C + − = ( )( ) 0 2 2 π π A B C − + = ( )( ) 1 2 2 π π A B C + + = 解得 . 2 π 2 B C= = 1 A , π = (1)

概率论 1丌 x、兀兀 3)F(x)=F(x,+∞)= +arctan(+-) 222 1兀 (+ arctan=)(-∞<x<+) 丌2 Fr()=F(+oo,y)=3(+arctan 2) 322 1兀 00<1<+0 丌2 +arctan)( 3 可见F(x,y)=Fx(x)F(y),(x,y)eR2 故X、Y相互独立

概率论 ( ) ( , ) F x F x X = + 2 1 ( arctan )( ) 2 2 2 2 π x π π π = + + 1 ( arctan ) 2 2 π x π = + ( ) −   + x ( ) ( , ) F y F y Y = + 2 1 ( arctan )( ) 2 3 2 2 π y π π π = + + 1 ( arctan ) 2 3 π y π = + ( ) −   + y ( , , ) ( ) ( ) 可见 F x y F x F y = X Y 故 X、Y 相互独立 . (3) ( ) 2 x y R , . 