习题2.1解答 1.现有10件产品,其中6件正品,4件次品。从中随机抽取2次,每次 抽取1件,定义两个随机变量X、Y如下: x={1.轴次抽到正品 ∫1,第次抽到正品 0,第次抽到次品。 0,第次抽到次品。 试就下面两种情况求(X,Y)的联合概率分布和边缘概率分布 (1)第1次抽取后放回;(2)第1次抽取后不放回 解(1)依题知(X,Y)所有可能的取值为(0,0),(0,1)(0),(11).因为 P(X=0,y=0)=P(X=0)·P(Y=0X=0) 4、44 P(X=0,y=1)=P(X=0)·P(Y=1X=0 66 P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0|X=1) 646 1010-25 P(X=1,=1)=P(X=1)P(Y=l|X=1) 6×6 所以(x,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为 0 P 0 P 号
21 习题 2.1 解答 1．现有 10 件产品，其中 6 件正品，4 件次品。从中随机抽取 2 次，每次 抽取 1 件，定义两个随机变量 X 、Y 如下： = 第 次抽到次品。 第 次抽到正品 1 1 0, 1, ; X = 第 次抽到次品。 第 次抽到正品 2 2 0, 1, ; Y 试就下面两种情况求 (X,Y) 的联合概率分布和边缘概率分布。 （1） 第 1 次抽取后放回； （2） 第 1 次抽取后不放回。 解 （1）依题知 (X,Y) 所有可能的取值为 (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) . 因为 ；25 4 10 4 10 4 ( 0, 0) ( 0) ( 0 | 0) 1 10 1 4 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；25 6 10 6 10 4 ( 0, 1) ( 0) ( 1| 0) 1 10 1 6 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；25 6 10 4 10 6 ( 1, 0) ( 1) ( 0 | 1) 1 10 1 4 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；25 9 10 6 10 6 ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) 1 10 1 6 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X 所以 (X,Y) 的联合概率分布及关于 X 、Y 边缘概率分布如下表为： Y X 0 1 i p 0 25 4 25 6 25 10 1 25 6 25 9 25 15 j p 25 10 25 15 1
(2)类似于(1),可求得 P(X=0,Y=0)=P(X=0)·P(Y=0|X=0) 3_2 P(X=0,=1)=P(X=0)P(Y=1|X=0) P(X=1,=0)=P(X=1)·P(=0|X=1) 644 P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1|X=1 6×5=5 所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为 0 Pi 音 告音 p. B 2.已知10件产品中有5件一级品,2件废品。现从这批产品中任意抽取3 件,记其中的一级品数与废品数分别为X、Y,求(X,Y)的联合概率分布和 边缘概率分布。 解依题知X、Y所有可能的取值分别为0,1,2,3及0,.2,故 P(X=0,y=0) P(X=0,y=1) C C2-C P(X=o,y P(X=1,y=0
22 （2）类似于（1），可求得 ；15 2 9 3 10 4 ( 0, 0) ( 0) ( 0 | 0) 1 9 1 3 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；15 4 9 6 10 4 ( 0, 1) ( 0) ( 1| 0) 1 9 1 6 1 10 1 4 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；15 4 9 4 10 6 ( 1, 0) ( 1) ( 0 | 1) 1 9 1 4 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X ；15 5 9 5 10 6 ( 1, 1) ( 1) ( 1| 1) 1 9 1 5 1 10 1 6 = = = = = = = = = C C C C P X Y P X P Y X 所以 (X,Y) 的联合概率分布及关于 X 、Y 边缘概率分布如下表为： 2. 已知 10 件产品中有 5 件一级品，2 件废品。现从这批产品中任意抽取 3 件，记其中的一级品数与废品数分别为 X 、Y ，求 (X,Y) 的联合概率分布和 边缘概率分布。 解 依题知 X 、Y 所有可能的取值分别为 0,1,2,3 及 0,1,2 ，故 ； 120 1 ( 0, 0) 3 10 3 3 = = = = C C P X Y ；20 1 ( 0, 1) 3 10 1 2 2 3 = = = = C C C P X Y ；40 1 ( 0, 2) 3 10 2 2 1 3 = = = = C C C P X Y ；8 1 ( 1, 0) 3 10 2 3 1 5 = = = = C C C P X Y Y X 0 1 i p 0 15 2 15 4 15 6 1 15 4 15 5 15 9 j p 15 6 15 9 1
P(x=1,y=1) C.C22=:P(x=1y=2)=C21 P(X=2,X=0)= C-4:P(X=2,y=1) P(X=2,y=2)=0; P(x=3,y=0)≈C3 P(X=3,Y=1)=0 P(X=3,Y=2)=0 所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为: P125521 P 3.已知随机变量X、Y的概率分布分别为 -10 F 0 P 且P(X·Y=0)=1,求 (1)X和Y的联合概率分布;(2)P(X=Y) 解(1)因为 y=0)=(X=-1,Y=0)U(X=1,Y=0) U(X=0,y=0)U(X=0,Y=1) 所以 P(X·Y=0)=P(X=-1,y=0)+P(X=1,Y=0) +P(X=0,y=0)+P(X=0,Y=1) P1+p31+P21+p2=
23 ；4 1 ( 1, 1) 3 10 1 3 1 2 1 5 = = = = C C C C P X Y ；24 1 ( 1, 2) 3 10 2 2 1 5 = = = = C C C P X Y ；4 1 ( 2, 0) 3 10 1 3 2 5 = = = = C C C P X Y ；6 1 ( 2, 1) 3 10 1 2 2 5 = = = = C C C P X Y P(X = 2,Y = 2) = 0； ；12 1 ( 3, 0) 3 10 3 5 = = = = C C P X Y P(X = 3,Y = 1) = 0； P(X = 3,Y = 2) = 0； 所以 (X,Y) 的联合概率分布及关于 X 、Y 边缘概率分布如下表为： 3. 已知随机变量 X 、Y 的概率分布分别为 且 P(X Y = 0) = 1 ，求 （1） X 和 Y 的联合概率分布； （2） P(X = Y) . 解 （1）因为 ( 0, 0) ( 0, 1) ( 0) ( 1, 0) ( 1, 0) = = = = = = = − = = = X Y X Y X Y X Y X Y 所以 1 ( 0, 0) ( 0, 1) ( 0) ( 1, 0) ( 1, 0) 11 + 31 + 21 + 22 = + = = + = = = = = − = + = = p p p p P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ＝ X P -1 0 1 4 1 2 1 4 1 Y P 0 1 2 1 2 1 Y X 0 1 2 i p 0 120 1 20 1 40 1 12 1 1 8 1 4 1 24 1 12 5 2 4 1 6 1 0 12 5 3 12 1 0 0 12 1 j p 15 7 15 7 15 1 1
又根据∑∑P=1得P2+P2=0,从而P2=P2=0.于是由表 X pI p. p2 P141214 p3 p 可得 2=,P2=-P2=0 故(X,Y)的联合概率分布为 012012 P141212 p (2)由(1)知P(X=Y)=P(X=0,y=0)+P(X=1,Y=1)=0 4.设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y) ,x>0,y>0 其它。 试求:(1)常数A (2)(X,Y)关于X、Y的边缘概率密度;
24 Y X 0 1 i p -1 11 p 0 4 1 0 21 p 22 p 2 1 1 31 p 0 4 1 j p 2 1 2 1 1 Y X 0 1 i p -1 4 1 0 4 1 0 0 2 1 2 1 1 4 1 0 2 1 j p 2 1 2 1 1 又根据 1 2 1 3 1 = j= i= pij 得 p12 + p32 = 0 ，从而 p12 = p32 = 0 . 于是由表 可得 4 1 p11 = ， 4 1 p31 = ， 2 1 p22 = ， 0 2 1 p21 = − p22 = . 故 (X,Y) 的联合概率分布为 (2) 由(1)知 P(X = Y) = P(X = 0,Y = 0) + P(X = 1,Y = 1) = 0 . 4. 设二维随机向量 (X,Y) 的联合概率密度为 = − + 0, 其它。 , 0, 0; ( , ) ( 2 ) Ae x y f x y x y 试求：（1）常数 A ； （2） (X,Y) 关于 X 、Y 的边缘概率密度；
(3)P(0<X≤2,0<Y≤3) P(X+2Y≤1) (5)P(X<Y 解(1)由联合概率密度分的性质知 ∫C(xy)h=”4c“3b=1 4cd,ch=1,求得A=2 (2)当x>0时,有 f(x)=f(x, y )dy=Ce-ta2ray=e- 当x≤0时,有f1(x)=0 所以(x,Y)关于X的边缘概率密度为 f(x)=/e,x>0 0,x≤0. 同理可得(X,)关于Y的边缘概率密度为 >0 f2(y) 0 0. (3) P(0<X≤20<Y≤3)=[x2eyh 2 e-d (4)积分区域如图阴影部分 P(X+2Y≤1) 2
25 （3） P(0 X 2,0 Y 3) ； （4） P(X + 2Y 1) ； （5） P(X Y) . 解 （1）由联合概率密度分的性质知 ( , ) 1 0 0 ( 2 ) = = + + − + + − + − f x y dxdy dx A e dy x y ， 即 1 0 0 2 = + + − − A e dx e dy x y ， 求得 A = 2 . （2）当 x 0 时，有 x y x f x f x y dy e dy e − + − + + − = = = 0 ( 2 ) 1 ( ) ( , ) . 当 x 0 时，有 f 1 (x) = 0 . 所以 (X,Y) 关于 X 的边缘概率密度为 = − 0, 0. , 0; ( ) 1 x e x f x x 同理可得 (X,Y) 关于 Y 的边缘概率密度为 = − 0, 0. 2 , 0; ( ) 2 2 y e y f y y （3） P(0 X 2,0 Y 3) = − + 2 0 3 0 ( 2 ) dx 2 e dy x y − − = 2 0 3 0 2 2 e dx e dy x y (1 )(1 ) −2 −6 = − e − e . （4）积分区域如图阴影部分 P(X + 2Y 1) − − + = 1 0 2 1 0 ( 2 ) 2 x x y dx e dy 1 2 . ( ) 1 1 0 2 1 0 2 − − − − = − = − e e e dx x x y 1 x o y y=- 0.5x +0.5 0.5