1I a +ax +L +an-x!=élyiuLXx,éa,i-éy,uyn-1e1n-1ua,+a,x,+L +an-x"=y2LX21-e Mié Mi=MMuemMia,ty.tetni!1t"-ia.+a,x,+L +a..VLXn11为了后面求解使用方便，我们据此编写一个Lagrange插值函数命令程序以方便调用function p=lagrange(x,y) %输入数据点生标向量x,y输出插值多项式系数pL=length(x);A=ones(L);β p=[an-1,an-2,L ,ar,a]for j=2:LA(:,j)=A(:,j-1).*x';计算插值多项式在x0处的值：endy0=polyval(p,x0)X-inv(A)*y';for i-1:Lp(i)=X(L-i+1);end
function p=lagrange(x,y) %输入数据点坐标向量x,y输出插值多项式系数p L=length(x); A=ones(L); for j=2:L A(:,j)=A(:,j-1).*x'; end X=inv(A)*y'; for i=1:L p(i)=X(L-i+1); end 为了后面求解使用方便，我们据此编写一个Lagrange插值函 数命令程序以方便调用. 计算插值多项式在x0处的值： y0=polyval(p,x0)
例1已知观测数据如下，求其插值多项式曲线00.20.30.40.50.60.70.80.910.1X-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2yclc:clf:clear:x=0:0. 1:1 ;y=[-. 447 1. 978 3. 28 6. 16 7. 08 7. 34 7. 66 9. 56 9. 48 9. 3 1plot(x,y,'k.','markersize,35)米蛋14axis([0 1 -2 16)12grid;龙格（Runge)现象10hold on8p=lagrange(x, y) ;6t=0:0. 01:1;u=polyval(p, t) ;plot(t, u,'r*')与数据点有明显的偏离。0随着分点的增加，大的起伏波动越明显插值问题中典型的“龙格（Runge）现象00.10.20.30.40.50.60.70.80.91
例1 已知观测数据如下，求其插值多项式曲线. x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y -.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2 clc;clf;clear; x=0:0.1:1; y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.3 11.2]; plot(x,y,'k.','markersize',35) axis([0 1 -2 16]) grid; hold on p=lagrange(x,y); t=0:0.01:1; u=polyval(p,t); plot(t,u,'r*') 与数据点有明显的偏离。 随着分点的增加，大的起伏波动越明显， -插值问题中典型的“龙格(Runge)现象 ” 龙格(Runge)现象
1例2对函数在[-5,5]上以1为步长进行划分11 + 20x作Lagrange插值，观察函数曲线与插值曲线的变化clc;clf;clear;x=-5:0. 1:5;龙格现象示意图y=1./(1+20*x .*x) :plot(x,y,'k--','linewidth2)axis([-5 5 -1.2 6])grid;hold onx=-5:5;y=1./(1+20*x .*x) ;p=lagrange(x, y) ;t=-5:0.1:5;高次多项式插值容易发生“龙格现象”，f=polyval(p, t) ;如何避免？plot(t,f,'r-')方法：采用分段低次多项式插值的方法
例2 对函数 ，在[-5,5]上以1为步长进行划分 作Lagrange插值，观察函数曲线与插值曲线的变化. clc;clf;clear; x=-5:0.1:5; y=1./(1+20*x .*x); plot(x,y,'k-','linewidth',2) axis([-5 5 -1.2 6]) grid; hold on x=-5:5; y=1./(1+20*x .*x); p=lagrange(x,y); t=-5:0.1:5; f=polyval(p,t); plot(t,f,'r-') 龙格现象示意图 高次多项式插值容易发生“龙格现象” ， 如何避免？ 方法：采用分段低次多项式插值的方法
3、分段线性插值(xk+1, fk+l)(k.k）Xx, =bX.....Xa=x.n-分段线性插值的MATLAB命令：y0=interp1(x,y,x0)其中x,y为已知数据点，yo为求得的插值函数在x0处的值
3、分段线性插值 . . 分段线性插值的MATLAB命令： y0=interp1(x,y,x0) 其中x,y为已知数据点，y0为求得的插值函数在x0处的值
校正值校正值刻度值刻度值例3已知某转子流量计在100~1000mL/min流量600100105.3605.8范围内，刻度值与校正200700207.2707.4值的关系如表所示.试300800308.1806.7用线性插值法计算流量计的刻度值为785时，实400900406.9908.0际流量为多少？5001000507.5107.9解：Matlab计算程序如下：X=[100,200, 300,400, 500, 600, 700,800, 900, 1000] ;Y=[105.3,207.2,308.1,406.9,507.5,605.8,707.4,806.7, 908. 0, 107. 9] ;Xk=780;这里：X和Y分别表示样本点的刻度值和校正值：Xk和Yk分别表示插值点的刻度值和校正值。Yk=interpl(X, Y, Xk)执行结果：Yk =786.8400
例３已知某转子流量计在 100～1000mL/min流量 范围内,刻度值与校正 值的关系如表所示.试 用线性插值法计算流量 计的刻度值为785时,实 际流量为多少？ 刻度值 校正值 刻度值 校正值 100 105.3 600 605.8 200 207.2 700 707.4 300 308.1 800 806.7 400 406.9 900 908.0 500 507.5 1000 107.9 解：Matlab计算程序如下： X=[100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000]; Y=[105.3,207.2,308.1,406.9,507.5,605.8,707.4,806.7,9 08.0,107.9]; Xk=780; Yk=interp1(X,Y,Xk) 执行结果：Yk = 786.8400 这里：X和Y分别表示样本点的刻度值和校正值； Xk和Yk分别表示插值点的刻度值和校正值