1.1.4乘幂与方根 复变函数与积兮变换 设复数x和2的三角表示式为 Z1=r(cos 0, +isin 0 ), 2=r(cos 0,+isin 0,). 根据乘法定义和运算法则及两角和公式, 1·z2=r1(cos日1+isin日1)·2cos2+isn2 r1·2(cos日c0sB2-sin1sina2) +i(sin 6, cos 0,+cos 8, sin 8, )1 x1·2=r12lc0s(61+2)+isin(1+2
1.1.4 乘幂与方根 (cos sin , z1 r1 q1 i q1） 2 2 2 2 z r (cosq isinq ）. (cos sin ) (cos sin ) 1 2 1 q1 q1 2 q 2 q 2 z z r i r i 1 2 1 2 1 2 r r [(cosq cosq sinq sinq ) 1 2 1 2 1 2 1 2 z z r r [cos(q q ) isin(q q )]. 设复数z1和z2的三角表示式为 1 2 1 2 i(sinq cosq cosq sinq )], 根据乘法定义和运算法则及两角和公式
于是 复变数与 25 Arg(z1z2)=Argz,+ Argz2 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两 和个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 变 应该注意的是Arg(x1x2)=Argz1+Argz2中的 换加法是集合的加法运算:即将两个集合中所有的 元素相加构成的集 Arg(x2)={+a|∈Arg,∈Ag2}
于是 Arg( ) Arg Arg . 1 2 1 2 z z z z 1 2 1 2 1 2 z z r r z z , 应该注意的是 Arg(z1z2 ) Argz1 Argz2 中的 加法是集合的加法运算：即将两个集合中所有的 Argz1z2 q1 q2 q1 Argz1 ,q2 Argz2. 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两 个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 元素相加构成的集合
两个复数相乘的几何意义 复变函数与积兮变换 设两个复数对应的向量分别为 G1=F(cos 0,+isin 0 z,=r(cos 0, +isin 0,) z1 6 先将x按逆时针方向 旋转角度2,再将模 变到原来的r倍,于是 所得的向量z就表示乘积孔12
两个复数相乘的几何意义 设两个复数对应的向量分别为 q 2 q o x y r 2 r 1r 2 z 1 z z 1 q 先将z1按逆时针方向 (cos sin , z1 r1 q1 i q1） 2 2 2 2 z r (cosq isinq ）. 旋转角度q 2 ,再将模 变到原来的r2倍,于是 所得的向量z就表示乘积 1 2 z z
利用数学归纳法可以证明:如果 复变数与积 Zk=rcos 0 +isin gk )(k=1, 2, . n) 数那么 r, cos(日+a2+…+6) +isin(1+2+…+6, 变特别地,如果 换 G1=Z,=,=Zn =r(cos 8+isin), 那么 z =r"(cos ne+ising)
利用数学归纳法可以证明：如果 (cos sin ) 1,2, , , k k k k z r q i q k n 1 2 1 2 1 2 [cos( ) n n n z z z r r r q q q 1 2 sin( )]. n i q q q 特别地, 如果 1 2 (cos sin ), n z z z r q i q (cos sin ). n n z r nq i nq 那么 那么
如果写成指数形式,即如果 复变函数与积兮变换 Zk =re(k=1, 2,, n),z=re 那么 ,(2+2+…+an) ine 12 = e z =r e 特别地,当|z=r1时, 32…n=…0(日1+B2+…+日n) +isin(61+2+…+6n), 变为 (cos 6+isin@)=(cos n0+isin ne)
如果写成指数形式，即如果 1,2, , , k i k k z r e k n q , i z re q 那么 1 2 1 2 1 2 , n i n n z z z r r r e q q q . n n in z r e q 特别地，当|z|=r=1时, 1 2 1 2 1 2 [cos( ) n n n z z z r r r q q q 1 2 sin( )], n i q q q 变为 cos sin (cos sin ). n q i q nq i nq