具有可加性的两个离散分布 口设X~B(n,p,Y~B(n2,p),且独立， 则X+Y~B(n1+n2,p) 口设X~P(1),Y~P(2),且独立， 则X+Y~P(九+2)
具有可加性的两个离散分布 设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立， 则 X + Y ~ B ( n1+n2, p) 设 X ~ P (λ1), Y ~ P (λ2), 且独立， 则 X + Y ~ P (λ1+ λ2)
二、连续型分布的情形 (1)和的分布：Z=X+Y 例设X和Y的联合密度为fx,y),求Z=X+Y的密度 解：Z=X+Y的分布函数是： F)=P(ZZ)=PXK+Y≤z) (x.yddy 这里积分区域D={化，y):x+y≤ 是直线x+y=z左下方的半平面
例 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) (, ) D = f x y dxdy ∫∫ 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 二、连续型分布的情形 (1) 和的分布：Z = X + Y • z • z
F(a)=∬f(x,y)drd x+y≤Z 化成累次积分，得 Fz(z）=广[frf(x,y)dr]d =∫f(x,y)dy]l fz(2)=F(a)=f(2-y,y)d 由X和Y的对称性，f(亿)又可写成 fz(2)=F2(z)=f(x,z-x)dx 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式
化成累次积分,得 () (, ) Z xyz F z f x y dxdy + ≤ = ∫∫ () [ (, ) ] z y F z f x y dx dy Z ∞ − −∞ −∞ = ∫ ∫ [ (, ) ] z y f x y dy dx − ∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ () () ( , ) Z Z f z F z f z y y dy ∞ −∞ = = − ′ ∫ 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 () () (, ) Z Z f z F z f x z x dx ∞ −∞ = = − ′ ∫ 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式
特别，当X和Y独立，设(X,)关于X,Y的边缘 密度分别为fx),fy),则上述两式化为： f(2)=[fx(z-y)/y(y)dy f(z)=fx(x)f (z-x)dx 这两个公式称为卷积公式.记为 f()=fx(a)*f(=f(a)*fx (2)
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: () ( ) () Z XY f z f z y f y dy ∞ −∞ = − ∫ 这两个公式称为卷积公式 . 记为 () () ( ) Z XY f z f x f z x dx ∞ −∞ = − ∫ () () () () () Z XY YX fz f z fz fz f z = ∗=∗
推广：已知(X,Y)的联合密度f(xy) 求Z=aX+bY+c的密度函数， 其中a,b,c为常数，a,b≠0 a=62g- a=打r-h
推广：已知 ( X ,Y )的联合密度 f (x,y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函数, 其中 a,b,c为常数，a , b ≠ 0 1 () , | | Z z at c f z f t dt b b +∞ −∞ − − = ∫ 1 ( ) , | | Z z bt c f z f t dt a a +∞ −∞ − − = ∫