3.3随机变量的独立性 将事件独立性推广到随机变量 定义 设(XY)为二维随机变量若对任何 实数飞,y都有 P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y) 则称随机变量X和Y相互独立
3.3 随机变量的独立性 —— 将事件独立性推广到随机变量 设(X,Y )为二维随机变量若对任何 P(X ≤ x,Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) 则称随机变量 X 和Y 相互独立 实数 x, y 都有 定义
由定义知 (X,Y)相互独立 →F(x,y)=Fx(x)Fy(y) Va<b,c<d P(a<X≤b,c<Y≤d) =P(a<X≤b)P(c<Y≤d) Va,c∈R P(X>a,Y>c)=P(X>a)P(Y>c)
由定义知 ( X, Y ) 相互独立 F(x, y) F (x)F ( y) = X Y ( ) ( ) ( , ) , P a X b P c Y d P a X b c Y d a b c d = < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ ∀ < < ( , ) ( ) ( ) , P X a Y c P X a P Y c a c R > > = > > ∀ ∈
离散型 X与Y独立→对一切i,i有 Pi =PiP.i P(X=xY=y)=P(X=x)P(Y=Y) 连续型 X与Y独立→对任何x,y有 f(x,y)=fx(x)f(y)(ae.) 二维随机变量(X,Y)相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布
X与Y 独立 ( , ) ( ) ( ) i j i j 即 P X = x Y = y = P X = x P Y = y ij i j p p p = • • 连续型 f (x, y) f (x) f ( y) = X Y 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布 离散型 对一切 i , j 有 X与Y 独立 对任何 x ,y 有 (a.e.)
二维连续随机变量(X,Y)相互独立 →fx(x)=fxy()(f,()>0) f()=fx(vx)(fx(x)>0) 随机变量的函数 若X与Y相互独立,gx)与h(y)是两 个确定函数,则g)与h()也相互 独立
二维连续随机变量 ( X,Y ) 相互独立 f (x) = f (x y) ( f ( y) > 0) X X Y Y f ( y) = f ( y x) ( f (x) > 0) Y Y X X 随机变量的函数 若X与Y相互独立,g(x)与h(y)是两 个确定函数,则g(X)与h(Y)也相互 独立
由上结论知 若X,Y为相互独立的随机变量 则aX+b.cY+d也相互独立: X2,Y2也相互独立; 随机变量相互独立的概念 可以推广到n维随机变量 若 P(X1≤x,X2≤x,,Xn≤x) =P(X1≤x)P(X2≤x2)…P(Xn≤xn) 则称X,X2,,Xn相互独立
若 X ,Y 为相互独立的随机变量 则aX + b, cY + d 也相互独立; X 2, Y 2 也相互独立; 随机变量相互独立的概念 可以推广到 n 维随机变量 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 n n = P X ≤ x P X ≤ x P X ≤ x ( , , , ) 1 1 2 2 n n 若 P X ≤ x X ≤ x X ≤ x 则称 X 1, X 2 , , Xn 相互独立 由上结论知