6 向量组的秩 定义 设有向量组4，如果在A中能选出个向量a1, 2,a,满足 (1)向量组A0:a1,a2,a,线性无关 (2)向量组A中任意r+1个向量如果A中有r+1 个向量的调都线性相关 那么称向量组A是向量组4的一个最大线性 无关向量组简称最大无关组；最大无关组所含向 量个数称为向量组4的秩
定义 满 足 设有向量组 如果在 中能选出 个向量 , , , , , 2 1 a a A A r a r (1) : , , , ; 向量组A0 a1 a2 ar线性无关 ) , (2) 1 ( 1 个向量的话 都线性相关 向量组A中任意r + 个向量如 果A中 有r + . ( ); 0 量个数 称为向量组 的 秩 无关向量组 简称最大无关组 最大无关组所含向 那么称向量组 是向量组 的一个最大线性 r A A A ６ 向量组的秩
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩. 定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩. 推论1等价的向量组的秩相等
等价的向量组的秩相等． 定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩． 定理 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩． 推论１
推论2设Cmxn=Amxs Bsxn,则 R(C)≤R(A),R(C)≤R(B) 推论3（最大无关组的等价定义） 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组 B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示， 则向量组B是向量组A的一个最大无关组
推论２ ( ) ( ), ( ) ( ). , R C R A R C R B C m n Am s Bs n 设 = 则 推论３（最大无关组的等价定义） 设向量组 是向量组 的部分组，若向量组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 则向量组 是向量组 的一个最大无关组． B A B A B B A
7 向量空间 定义 设为维向量的集合，如果集合非空，且 集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合为向量空间. 所谓封闭是指在集合中可以进行加法及 数乘两种运算：若a∈V,b∈V,则a+b∈V;若a∈ V,∈R,则2a∈V
, , . : , , ; , V R a V a V b V a b V a V + 则 数乘两种运算 若 则 若 所谓封闭 是指在集合 中可以进行加法及 ７ 向量空间 定义 设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且 集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 合 为向量空间． V V V n V
一般地由向量组a1,a2,am所生成的向量 空间为 y==2al∈Ri=1,2,m 返回
, 1,2, , . , , , , 1 1 2 = = = = V x a R i m a a a i m i i i m 空间为 一般地 由向量组 所生成的向量